2022-2023学年河南省郑州市高新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是()

A.B.

C.D.

2.如果设汽车速度为，用不等式表示下面交通标志意义正确的是()

A.

B.

C.

D.

3.若，下列不等式成立的是()

A.B.C.D.

4.下列因式分解正确的是()

A.B.

C.D.

5.用反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设()

A.不平行B.不垂直于

C.不垂直于D.，都不垂直于

6.由生活经验，我们知道往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量记为，再往杯中加入克糖，此时糖水的含糖含糖量可表示为()

A.B.C.D.

7.校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点修建一个观赏亭，使点到三面墙的距离都相等则点在()

A.线段、的交点

B.、角平分线的交点

C.线段、垂直平分线的交点

D.线段、垂直平分线的交点

8.生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为()

A.

B.

C.

D.

9.如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，边在轴正半轴上，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转则第次旋转后，点的坐标为()

A.

B.

C.

D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

10.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．

11.等边三角形三边相等的逆命题为______．

12.为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水收费标准：当用水量未超过时，每立方米收费元；当用水量超过时，超过的部分每立方米收费元，设某户六月的用水量为应交水费元则______．

13.在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点、分别为，的中点，则的最小值是______．

14.定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”，已知在“等腰四边形”中，，，且为界线，则的度数为______．

三、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

计算：

16.本小题分

如图，三个顶点分别为，，．

请画出向左平移个单位长度后得到的此时的坐标为______平移过程中线段扫过的面积为______；

请画出关于原点对称的，面积为______．

如果可以通过一次旋转得到，则旋转中心的坐标为______．

17.本小题分

下面是某数学兴趣小组探索三角形的一条中位线和第三边中线关系的过程在如图中，运用尺规作三边的垂直平分线，分别与边、、交于点、、，连接、，请你一起完成探索过程．

使用直尺和圆规完成作图保留作图痕迹；

通过观察图形，猜想和互相平分，请你写出证明过程；

通过证明，可以得到结论______用文字表述：如三角形内角和

18.本小题分

我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子我们把形如，，，等的正整数叫“轴对称数”，例如：，，，，

写出一个最小的两位“轴对称数”：______．

任意一个三位及三位以上“轴对称数”与它个位数字的倍的差都能被整除．

例如；；．

设形如的三位“轴对称数”的百位数字为，十位数字为，则这个“轴对称数”可以表示为______．

运用所学说明形如的三位的“轴对称数”与它个位数字的倍的差能被整除．

如果形如的三位“轴对称数”与它的“换位轴对称数”形如的和等于百位数字与十位数字的平方差的倍其中，则称这个三位数为“智慧轴对称数”，例如的“换位轴对称数”为，两数的和为，百位数字与十位数字的平方差的倍，因为，所以不是“智慧轴对称数”如果一个三位数是“智慧轴对称数”，那么和需要满足的条件是______．

19.本小题分

中国产业转移发展对接活动河南在郑州隆重举行，本属活动以“开放，合作、发展、共赢”为主题，提出要重点培育新兴产业电子商务作为新兴行业，其迅速崛起带来了物流运输和配送的巨大需求某快递公司采购，两种型号的视觉技术机器人进行公斤以下的快递分拣，已知型机器人比型机器人每小时多分拣件快递，且型机器人分拣件快递所用的时间与型机器人分件快递所用的时间相等．

求型机器人每小时分拣快递的件数；

若快递公司共购进台机器人，型机器人售价万元台，型机器人售价万元台，要满足快递公司每小时分拣不少于件快递的需求，如何设计采购方案费用最少？

20.本小题分

小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，，，，，．

她发现如果将纸片沿着裁剪，拼到的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形通过证明和计算，她得到了这张纸片的面积．

同桌小智经过思考，过点作的垂线，然后沿着裁剪，将拼接到的左侧，这样就拼出了两个等腰直角三角形和，通过证明和计算，他也得到了这张纸片的面积．

你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形的面积．

21.本小题分

小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点、点，当时，得到图，作点关于的对称点，连接，．

请在图中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______．

证明≌；

证明四边形是平行四边形．

当，时，直接写出的度数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

故选：．

根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

2.【答案】

【解析】解：根据题意得：．

故选：．

根据限速，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：、，

，

故A不符合题意；

B、，

，

故B不符合题意；

C、，

，

故C符合题意；

D、，

，

故D不符合题意；

故选：．

根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；

B、，故B符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、，不属于因式分解，故D不符合题意；

故选：．

根据因式分解的定义，然后对于每一个多项式都先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

5.【答案】

【解析】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，

假设不平行，

故选：．

根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．

本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

6.【答案】

【解析】解：由题意，加入克糖后，糖水总量为克，糖总量为克，

此时糖水的含糖含糖量．

故选：．

依据题意，根据糖水中的含糖量，进而计算可以得解．

本题主要考查了溶液中溶质的含量计算，解题时要理解题意，准确列式．

7.【答案】

【解析】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，

使点到三面墙的距离都相等，点是、角平分线的交点．

故选：．

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可判断．

本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．

8.【答案】

【解析】解：由图中心的五角星可得空白的平行四边形的内角为，所以另一个内角为，

所以镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为．

故选：．

根据平面图形镶嵌的定义和平行四边形的性质解答即可．

本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：观察图象可知，点旋转次一个循环，

余数为，

点的坐标与相同，

点的坐标为．

故选：．

观察图象可知，点旋转次一个循环，利用这个规律解决问题即可．

本题考查坐标与图形的变化旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．

10.【答案】

【解析】解：由题意得：，

解得，

故答案为：．

根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．

本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．

11.【答案】三边相等的三角形是等边三角形

【解析】解：等边三角形三边相等的逆命题为三边相等的三角形是等边三角形，

故答案为：三边相等的三角形是等边三角形．

根据逆命题的概念解答即可．

本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

12.【答案】

【解析】解：根据题意得：，

．

故答案为：．

利用应交水费超过的部分，即可得出关于的函数关系式，此题得解．

本题考查了函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：连接，

点、分别为，的中点，

，

当时，的值最小，此时的值也最小，

由勾股定理得：，

，

，

，

故答案为：．

当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．

本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．

14.【答案】或或

【解析】解：是四边形的界线，

是等腰三角形．

，

如图，当时，

，

是正三角形，

．

，

，

．

如图，当时，

．

，

四边形是正方形，

如图，当时，过点作于，过点作于，

，

，．

，

四边形是矩形．

．

，

，

．

，

．

，

，

，

．

综上，的度数为或或．

故答案为：或或．

由是四边形的等腰线，可以得出是等腰三角形，从图，图，图三种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和的直角三角形性质就可以求出的度数．

本题考查了“等腰四边形”的定义和性质的运用，“等腰四边形”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，正方形的性质和判定的运用，的直角三角形的性质的运用．解答如图这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．

15.【答案】解：原式

．

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，为所作，的坐标为，

平移过程中线段扫过的面积；

故答案为：，；

如图，为所作，

面积；

故答案为：；

如图，点旋转得到．

故答案为：．

利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可；

用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算面积；、

利用、和，它们相交于点，从而写出点的坐标即可．

本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

17.【答案】三角形的中位线和第三边上的中线互相平分

【解析】解：如图所示；

和互相平分，

证明：连接，，

是的中点，是的中点，

是的中位线，

，

是的中点，是的中点，

是的中位线，

，

四边形是平行四边形，

和互相平分；

三角形的中位线和第三边上的中线互相平分，

故答案为：三角形的中位线和第三边上的中线互相平分．

根据题意作出图形即可；

连接，，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的性质即可得到结论．

根据平行四边形的性质即可得到结论．

本题考查了作图基本作图，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．

18.【答案】

【解析】解：因为“轴对称数”是正整数，且最小的正整数是，

所以最小的两位“轴对称数”是：，

故答案为：；

由题知，这个“轴对称数”是：，

故答案为：；

令形如的三位“轴对称数”的百位数字为，十位数字为，

则该“轴对称数”可表示为：，

它个位数字的倍为：，

因此两者的差为：，

又为正整数，为非负整数，

则是的倍数，

所以形如的三位“轴对称数”与它个位数字的倍的差能被整数；

形如的三位“轴对称数”可表示为：，

它的“换位轴对称数”可表示为：，

则它们的和为：，

又与的平方差的倍可表示为：，

由题知，两者相等时，这个三位数为“智慧轴对称数”，

所以，即，

又，故，

所以和满足的条件是：，

故答案为：．

由“轴对称数”是正整数，再根据“轴对称数”的表示形式，便可求出最小的两位的两位“轴对称数；

用相应数位上的数字成数位，再相加，便可表示出该“轴对称数”；

先用代数式分别表示出形如的三位“轴对称数”以及它个位数字的倍，然后将它们相减，并化简所得结果，最后验证结果是的倍数即可；

先表示出该三位“轴对称数”与它的“换位轴对称数”的差，再表示出与平方差的倍，由两者相等，建立等式，对此等式变形化简，可得出和之间满足的关系．

本题考查了用字母表示数，及代数式的运算．

19.【答案】解：设型每小时分拣快递件，则型分拣件，

由题意可得：，

解得：，

经检验：是原分式方程的根，

答：型机器人每小时分拣快递件．

设型机器人台，则型机器人台，总费用为万元，

由可知：型机器人每小时分拣快递件，型机器人每小时分拣快递件，

由题意可知：且，

解得：，

，

整理得：，

，

随的增大而增大，

当，即型机器人台，型机器人台时总费用最少．

答：采购型机器人台，型机器人台时总费用最少．

【解析】根据型机器人比型机器人每小时多分拣件快递，且型机器人分拣件快递所用的时间与型机器人分件快递所用的时间相等，列出方程解之即可；

根据每小时分拣不少于件快递的需求列