2021-2022学年湖南省长沙市农科院子弟中学高三数学文期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省长沙市农科院子弟中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，下列结论中错误的是

（

）A-.的图象关于点中心对称

B.的图象关于直线对称C.的最大值为

D.既是奇函数，又是周期函数参考答案：C略2.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点P，若，则△POF的面积为（

）A．2

B．3

C.4

D．5参考答案：AF（1，0），K（﹣1，0），准线方程为x=﹣1，设P（x0，y0），则|PF|=x0+1=5，即x0=4，不妨设P在第一象限，则P（4，4），∴SPKF=×|FO|×|y0|=×1×4=2．

3.函数在区间上的最小值是

（）A.

B.

C.

D.2参考答案：C略4.将二项式（x+）6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，求出所含有理项及无理项的个数，利用插空排列得到无理项互不相邻的事件数，由古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由，可知，当r=0，2，4，6时，为有理项，则二项式（x+）6展开式中有4项有理项，3项为无理项．基本事件总数为．无理项互不相邻有．∴无理项互不相邻的概率是P=．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查了排列组合及古典概型概率计算公式，是中档题．5.已知是终边在第四象限的角，cos=,则tan2等于（

） A． B．

C．

D．参考答案：D略6.数列中，如果数列是等差数列，则A.

B.

C．

D.参考答案：C7.设集合A={1,2,3,4}，N，则A∩B=A．{1,2,3,4} B．{－3,－2,－1,0,1,2,3,4} C．{1,2,3} D．{1,2}参考答案：C，故，选C.

8.有下列四种变换方式：①向左平移，再将横坐标变为原来的；

②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来的，再向左平移；

④向左平移，再将横坐标变为原来的；其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是(

)A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】直接利用函数的图象的平移变换，由正弦曲线y=sinx的图象变为的图象，即可得到选项．【解答】解：正弦曲线y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象，再将横坐标变为原来的，变为的图象；将正弦曲线y=sinx的图象横坐标变为原来的，得到函数y=sin2x的图象，再向左平移，变为的图象；故选A．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意两种变换的方式的区别．9.的展开式的常数项是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略10.已知a、b均为非零向量，命题p：a·b>0，命题q：a与b的夹角为锐角，则p是q成立的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点为抛物线上一点，若点到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为

.参考答案：略12.二项式的展开式的第二项的系数为12，则

参考答案：

313.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为：

；参考答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值

解：由平面中关于点到线的距离的性质，根据平面上关于线的性质类比为空间中关于面的性质，我们可以推断在空间几何中有：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值14.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为_______________.参考答案：略15.已知集合,

参考答案：16.已知是奇函数,则的值是

.参考答案：17.已知定义域为（﹣∞，+∞）的偶函数f（x）的一个单调递增区间是（2，6），关于函数y=f（2﹣x）①一个递减区间是（4，8）②一个递增区间是（4，8）③其图象对称轴方程为x=2

④其图象对称轴方程为x=﹣2其中正确的序号是．参考答案：②③【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件即可判断出f（x）在（﹣6，﹣2）上递减，并且其图象关于x=0对称，这样分别解﹣6＜2﹣x＜﹣2和2﹣x=0即可求出函数y=f（2﹣x）的一个递增区间和图象的对称轴方程．【解答】解：解2＜2﹣x＜6得，﹣4＜x＜0；解﹣6＜2﹣x＜﹣2得，4＜x＜8；∵f（x）是偶函数，在（2，6）上递增；∴f（x）在（﹣6，﹣2）上递减；∴y=f（2﹣x）在（4，8）上递增；f（x）关于y轴对称，即关于x=0对称；解2﹣x=0得，x=2；∴y=f（2﹣x）关于x=2对称；即函数y=f（2﹣x）的对称轴为x=2；∴②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线的参数方程（参数）和圆的极坐标方程。（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆C的位置关系。参考答案：（1）由，消去得直线的普通方程为，由，两边同乘以，得，代入互化公式得：，整理得圆的直角坐标方程为。（2）圆心（1，1）到直线的距离为，所以，直线与圆相交。19.(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，

，四边形BCClB，为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．

(1)求证：AB1平面A1BC；

(2)求二面角C-AA1-B的余弦值．参考答案：（1）略（2）【知识点】单元综合G12（1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，

所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1，

因为AB∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B，

又因为AB1?平面AA1B1B，所以CB⊥AB1，

又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1⊥A1B，

因为CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC；

（2）解：过B作BD⊥AA1于D，连接CD

因为CB⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1，

因为CB∩BD=B，所以AA1⊥面BCD，

又因为CD?面BCD，所以AA1⊥CD，

所以，∠CDB就是二面角C-AA1-B的平面角．

在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，

所以cos∠CDB==．【思路点拨】（1）证明AB1⊥面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，证明CB⊥平面AA1B1B，利用四边形A1ABB1为菱形可证；

（2）过B作BD⊥AA1于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C-AA1-B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C-AA1-B的余弦值．20.（本题满分10分）如图，多面体ABCDS中面ABCD为矩形，

（1）求多面体ABCDS的体积；

（2）求AD与SB所成角的余弦值；

（3）求二面角A—SB—D的余弦值．

参考答案：解：（I）多面体ABCDS的体积即四棱锥S—ABCD的体积。

所以…………3分

（II）由题可知DA、DA、DC两两互相垂直，

如图建立空间直角坐标系

AD与SB所成的角的余弦为…………6分

（III）设面SBD的一个法向量为

又

设面SAB的一个法向量为

，

所以所求的二面角的余弦为

…………10分

解法二：（I）同解法一

（II）矩形ABCD，=

AD//BC，即BC=a，

要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角。…………3分

在中，由（1）知面ABCD。

CD是CS在面ABCD内的射影，且

BC与SB所成的角的余弦为

从而SB与AD的成的角的余弦为…………6分

（III）

面ABCD。

BD为面SDB与面ABCD的交线。

SDB

于F，连接EF

从而得：

为二面角A—SB—D的平面角

在矩形ABCD中，对角线

中，

由（2）知在

而

为等腰直角三角形且

，

所以所求的二面角的余弦为…………10分略21.已知数列是首项为，公比的等比数列。设

，数列满足；

（1）求证：数列成等差数列；

（2）求数列的前项和；（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）由已知可得，，为等差数列，其中.

……………4分

（2）

①

②（1）-②得

……………8分（3）

当时，，当时，，若对一切正整数恒成立，则即可，即或.

……………13分略22.（12分）甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．

(1)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得分，求乙所得分数的概率分布和数学期望．参考答案：解：（1）设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得，∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为