2021年湖南省益阳市安化第二职业中学高三数学文月考试题含解析

2021年湖南省益阳市安化第二职业中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.定义在（0，+∞）上的函数的导函数为，且对都有，则（

）（其中e≈2.7）A.

B.C.

D.参考答案：D由可得，因为从而可得，又因为，所以，可得，从而，即.则函数在上单调递减，由得即，从而选D.3.在△ABC中，关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0无实数根，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形参考答案：B【考点】三角形的形状判断．【分析】先运用正弦定理，把角化为边，再将方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△=4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0，即可判断三角形形状．【解答】解：由正弦定理，可得sinA=，sinB=，sinC=，则关于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0，即为（1+x2）a+2xb+（1﹣x2）c=0方程整理为（a﹣c）x2+2bx+a+c=0，根据题意得△=4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0，∴a2＞b2+c2，∴cosA＜0∴A为钝角，故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理，属于中档题．4.将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出设这个盖圆锥形底面半径r=，母线长l=R，高h==，由此能求出这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积．【解答】解：将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器，设这个盖圆锥形底面半径为r，则πR=2πr，解得r=，这个盖圆锥形母线长l=R，∴这个盖圆锥形的高h==，∴这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积：V====．故选：A．5.函数的零点所在的区间为

A．(-2，-l)

B．(-1，0)

C．(0，1)

D．(1，2)参考答案：C略6.某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为(

)A． B．C． D．参考答案：C7.（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8B．C．D．8，8参考答案：B【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：立体几何．【分析】：由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选B．【点评】：本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．8.命题“对任意都有”的否定是（

）A．对任意，都有 B．不存在，使得C．存在，使得 D．存在，使得参考答案：D略9.在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，，则的值是（

）A．55

B．11

C.50

D．60参考答案：A10.已知集合,，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中，常数项是______________.参考答案：15略12.已知实数a，b，c，d满足条件，求的最小值是_________参考答案：－2413.甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是。参考答案：14.（坐标系与参数方程选做题）．如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则

．参考答案：略15.如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为

参考答案：略16.已知

则不等式

的解集是______

____.参考答案：答案：17.设向量，，，若，则______.【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。参考答案：。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知过抛物线E：x2=2py（p＞0）焦点F且倾斜角的60°直线l与抛物线E交于点M，N，△OMN的面积为4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）设P是直线y=﹣2上的一个动点，过P作抛物线E的切线，切点分别为A、B，直线AB与直线OP、y轴的交点分别为Q、R，点C、D是以R为圆心、RQ为半径的圆上任意两点，求∠CPD最大时点P的坐标．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用点斜法写出直线l的方程为；结合△OMN的几何意义和三角形的面积求法求得p的值即可；（Ⅱ）设，由x2=4y得，易得切线PA、PB的直线方程，把点P的坐标代入得到直线AB的方程tx﹣2y+4=0，由R的坐标和圆半径的计算方法求得半径的长度，则当PC，PD与圆R相切时角∠CPD最大，所以利用锐角三角函数的定义和不等式的基本性质进行解答即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，所以直线l的方程为；由得：，法一：所以，O到MN的距离，∴p=2，抛物线方程为x2=4y；法二：，，故抛物线方程为x2=4y．（II）设，由x2=4y得，则切线PA方程为即，同理，切线PB方程为，把P代入可得，故直线AB的方程为即tx﹣2y+4=0，∴R（0，2）由得，∴，当PC，PD与圆R相切时角∠CPD最大，此时，等号当时成立，∴当时，所求的角∠CPD最大．综上，当∠CPD最大时点P的坐标为．法二：同解法一，得AB：tx﹣2y+4=0，注意到OP⊥AB，∴，∴当且仅当t2+8即时等号成立．19.（本题满分15分）已知：圆过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线与圆相切，与椭圆相交于A，B两点记

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）求的面积S的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）由题意知2c=2,c=1

因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.故a=所求椭圆方程为………………4分（Ⅱ）因为直线l:y=kx+m与圆相切所以原点O到直线l的距离＝1,即：m……………6分又由，（）设A（），B（），则………8分＝，由，故，即………10分（III）＝，由，得：………14分，所以：………15分20.已知函数（其中为常数，且）的图像经过点和点（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若函数，求的值域参考答案：略21.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，由此能求出这2人的累计得分X≤3的概率．（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，由已知得X1的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X1的分布列和E（X1）；小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X2，由已知得X2的所有可能取值为0，3，6，分别求出相应的概率，由此能求出X2的分布列和E（X2），从而得到他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．【解答】（本题满分12分）解：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，…因为P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）=，P（X=2）=×（1﹣）=，P（X=3）=（1﹣）×=，所以P（A）=P（X=0）+P（X=2）+P（X=3）=，即这2人的累计得分X≤3的概率为．…（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，由已知得X1的所有可能取值为0，2，4，P（X1=0）==，P（X1=2）==，P（X1=4）==，∴X1的分布列如下：X1024PE（X1）=0×+2×+4×=，…小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X2，由已知得X2的所有可能取值为0，3，6，P（X2=0）==，P（X2=3）==，P（X2=6）==，∴X2的分布列如下：X2036PE（X2）=0×+3×+6×=．…∵E（X1）＞E（X2），∴他们都选择方案甲进行投资时，