北师版选择性必修·第二册第二章 导数及其应用全章教学 课件10份打包

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§5简单复合函数的求导法则

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成____________，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的____________，记作____________，其中u为中间变量．

要点二复合函数的求导法则

复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝_______．即y对x的导数是__________________________．

x的函数

复合函数

y＝f(φ(x))

yu′·ux′

y对u的导数与u对x的导数的乘积

状元随笔

(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝af′(ax＋b)．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．()

(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.()

(3)函数f(x)＝ln(1－x)的导数是f′(x)＝.()

(4)函数f(x)＝sin2x的导数是f′(x)＝2cos2x．()

√

×

×

√

2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是()

A．y＝ln(x－2)B．y＝lnx＋x－2

C．y＝(x－2)lnxD．y＝ln2x

答案：AD

解析：函数y＝ln(x－2)是由函数y＝lnu和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln2x是由函数y＝lnu和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.

3．若函数f(x)＝3cos(2x＋)，则f′()等于()

A．－3B．3

C．－6D．6

答案：B

解析：由题意得f′(x)＝－6sin(2x＋)，

∴f′()＝－6sin

＝6sin

＝6×

＝3.

4．曲线y＝e－x在点(0，1)的切线方程为__________．

x＋y－1＝0

解析：∵y＝e－x，

∴y′＝－e－x，

∴y′|x＝0＝－1，

∴切线方程为y－1＝－x，

即x＋y－1＝0.

题型探究·课堂解透

题型一求复合函数的导数

例1求下列函数的导数

(1)y＝；

(2)y＝cos(2021x＋8)；

(3)y＝e1－3x；

(4)y＝ln(2x－6)．

解析：(1)设u＝φ(x)＝3－4x，则y＝f(u)＝＝u－4，

∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(3－4x)′＝(－4u－5)·(－4)＝＝.

(2)设u＝φ(x)＝2021x＋8，则y＝f(u)＝cosu，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(cosu)′·(2021x＋8)′

＝(－sinu)·2021

＝－2021sin(2021x＋8)．

(3)设u＝φ(x)＝1－3x，则y＝f(u)＝eu，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(eu)′·(1－3x)′＝eu·(－3)＝－3e1－3x.

(4)设u＝φ(x)＝2x－6，则y＝f(u)＝lnu，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(lnu)′·(2x－6)′＝×2＝＝.

方法归纳

复合函数求导的步骤

跟踪训练1(1)y＝(2x－1)4；

(2)y＝；

(3)y＝sin(－2x＋)；

(4)y＝102x＋3.

解析：(1)设u＝φ(x)＝2x－1，则y＝f(u)＝u4，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.

(2)设u＝φ(x)＝1－2x，则y＝f(u)＝＝，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝)′·(1－2x)′＝)·(－2)

＝＝.

(3)设u＝φ(x)＝－2x＋，则y＝f(u)＝sinu，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(sinu)′·(－2x＋)′＝cosu·(－2)

＝－2cos(－2x＋)．

(4)设u＝φ(x)＝2x＋3，则y＝f(u)＝10u，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(10u)′·(2x＋3)′＝(10u·ln10)×2＝(2ln10)102x＋3.

题型二复合函数的导数与曲线的切线问题

例2(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．

2x－y＝0

解析：设x>0，则－x，即实数a的取值范围为(，＋∞)．

题型三复合函数的导数在实际问题中的应用

例3某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．

解析：设f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝t＋.

由复合函数求导法则得

s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cosx·＝cos.

将t＝18代入s′(t)，

得s′(18)＝cos＝(m/h)．

它表示当t＝18h时，潮水的高度上升的速度为m/h.

方法归纳

将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．

跟踪训练3放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()

A．5太贝克B．75ln2太贝克

C．150ln2太贝克D．150太贝克

答案：D

解析：M′(t)＝，

由M′(30)＝＝－10ln2，

解得M0＝600，

所以M(t)＝，

所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝＝600×＝150(太贝克)．故选D.

易错辨析对复合函数求导不完全致错

例4函数y＝xe1－2x的导数y′＝____________．

(1－2x)e1－2x

解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′

＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′

＝e1－2x＋xe1－2x(－2)

＝(1－2x)e1－2x.

【易错警示】

出错原因纠错心得

对e1－2x的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错．复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导．

[课堂十分钟]

1．y＝5的导数是()

A．54

B．5

C．104

D．54

答案：A

解析：令u＝3x2＋2x，则y＝u5，∴u′x＝6x＋2，y′u＝5u4，

∴y′x＝y′u·u′x＝5.故选A.

2．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为()

A．2x－y－3＝0

B．2x＋y－3＝0

C．ex－y－2e＋1＝0

D．ex＋y＋2e－1＝0

答案：A

解析：∵y＝e2x－4，求导得y′＝2e2x－4，

则当x＝2时，y′＝2e0＝2，所以切线的斜率为2.

又当x＝2时，y＝e2x－4＝e0＝1，所以切点为(2，1)．

所以切线方程为2x－y－3＝0.

故选A.

3．(多选题)下列导数运算正确的有()

A．′＝

B．′＝(x＋1)ex

C．′＝2e2x

D．′＝

答案：BC

解析：对于A，′＝′＝－x－2＝－，故错误；

对于B,′＝x′ex＋x′＝(x＋1)ex，故正确；

对于C,′＝′e2x＝2e2x，故正确；

对于D,′＝′＝，故错误．

故选BC.

4．已知f(x)＝sin，则f′＝____________．

－

解析：由f(x)＝sin，可得f′(x)＝cos·′＝，

故f′＝＝－.

5．设函数f(x)＝aexlnx＋.

(1)求导函数f′(x)；

(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．

解析：(1)由f(x)＝aexlnx＋，

得f′(x)＝(aexlnx)′＋′

＝aexlnx＋.

(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，

将x＝1代入切线方程得y＝2，

将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，

∴b＝2.

将x＝1代入导函数f′(x)中，

得f′(1)＝ae＝e，

∴a＝1.(共40张PPT)

7．1实际问题中导数的意义

7．2实际问题中的最值问题

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一导数的实际意义

在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以中学物理为例，速度是________关于________的导数，线密度是________关于________的导数，功率是________关于________的导数等．

要点二最优化问题

在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题．导数是解决最优化问题的一个重要工具．

路程

时间

质量

长度

功

时间

[基础自测]

1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4s时的瞬时速度为()

A．12B．－12

C．4D．－4

答案：A

解析：s′(t)＝－4(1－t)．

t＝4s时，s′(4)＝12.

所以瞬时速度为12.

故选A.

2．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为()

A．2和6B．4和4

C．3和5D．以上都不对

答案：B

解析：设其中一个数为x，则另一个数为8－x，y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，

令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.

当0≤x≤4时，y′0.

所以当x＝4时，y最小．

故选B.

3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()

A．B．

C．D．

答案：D

解析：设圆锥的高为xcm，体积为V(x)，则底面半径为cm，

V(x)＝πx(202－x2)(00；

当0，f(x)在区间(36，720)内为增函数，

所以f(x)在x＝36处取得最小值，

此时n＝－1＝19，即需要新建19个增压站才能使y最小．

方法归纳

利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．

跟踪训练2某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．

(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)

(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大．

解析：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以当t＝2时，f(t)max＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大．

(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝＋4x＋3.

对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．

当00，即g(x)在[0，2)上单调递增；

当2ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

构造函数

g(x)＝ex－x2＋2ax－1.

解析：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故f(x)单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．

f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，无极大值．

x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)

f′(x)－0＋

f(x)2(1－ln2＋a)

(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，

所以g(x)在R内单调递增．

于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，

都有g(x)>g(0)．

又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.

即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.

方法归纳

关于证明问题

首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关，如果有关则转化为相应的问题证明；其次是针对要证明的命题构造函数，再通过构造的函数性质证明，函数的证明问题往往都比较复杂，需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明．

角度2函数的零点问题

例4若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

解析：由f(x)＝0可得＝，令k(x)＝(x∈(0，＋∞))，

则函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，即直线y＝与函数k(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，k′(x)＝＝，令k′(x)＝0得x＝2，

当x∈(0，2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)2时，>0，所以当0时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点．

所以，若函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.

方法归纳

已知函数零点个数求参数的常用方法

(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．

跟踪训练3(1)若函数f(x)＝lnx＋－a有且只有一个零点，则实数a的值为________．

1

解析：由f(x)＝lnx＋－a，(00时，x2ln2时，f′(x)>0，f(x)在(ln2，＋∞)上单调递增．

所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，

且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－2ln2，

f(x)无极大值．

②证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.

由①得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，

故g(x)在R上单调递增．

所以当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，即x20，函数在(－1，1)上单调递增；当x>1时，y′0，当x∈(6，8)时，g′(x)0，可得01，

即有f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)．

(2)当x∈(1，＋∞)时，由(1)可得f(x)＝lnx－x＋1在(1，＋∞)递减，

可得f(x)0，所以x∈(0，1].故选D.

2．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()

A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)

答案：B

解析：f′(x)＝3x2＋a，由题意知3x2＋a≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以a≥－3x2在x∈(1，＋∞)上恒成立．所以a≥－3.故选B.

3．已知函数f(x)＝＋lnx，则有()

A．f(e)0，

所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

又20，则3x2－3>0.

即3(x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x0时，令f′(x)>0，则x2>b，所以x>或x0恒成立，

所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

方法归纳

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．

(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．

跟踪训练1求下列函数的单调区间：

(1)y＝ln(2x＋3)＋x2；

(2)y＝x2＋alnx(a∈R，a≠0)．

解析：(1)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为(－，＋∞)．

y′＝＋2x＝＝.

令y′>0，解得－－.所以函数的单调递增区间为.

令y′0时，函数的定义域是(0，＋∞)，于是有f′(x)＝x＋>0，所以函数只有单调递增区间(0，＋∞)．

②当a0，得x>；

由f′(x)＝x＋0时，f(x)只有单调递增区间(0，＋∞)；当a有解，而当x∈[1，4]时，＝－1(此时x＝1)，所以a>－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)

变式探究3本例中的条件“h(x)在[1，4]上单调递减”改为“h(x)在[1，4]上不单调，”则实数a的取值范围又如何呢？

解析：因为h(x)在[1，4]上不单调，所以h′(x)＝0在(1，4)上有解，即a＝＝－1在(1，4)上有解，

令m(x)＝，x∈(1，4)，则－10，得x>2或x0，若f(x)在(0，1]上是增函数，则a的取值范围为__________．

解析：由题意知f′(x)＝2a－3x2，且方程f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(0，1]上为增函数等价于f′(x)＝2a－3x2≥0对x∈(0，1]恒成立．即a≥x2对x∈(0，1]恒成立，只需a≥即可．由x∈(0，1]得x2∈，从而a≥.所以a的取值范围为.

题型三利用导数解决不等式问题

角度1比较大小

例3(1)若函数f(x)＝cosx＋2xf′，则f与f的大小关系是()

A．f＝f

B．f>f

C．f0的解集为()

A．(－∞，－4)

B．(－∞，－1)

C．(－1，4)

D．(－4，1)

答案：C

解析：由题意可知，函数f(x)的定义域是R.

因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)是定义域上的单调递增函数．

因为f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．

因为不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0可转化为f(1－x2)>－f(3x＋3)＝f[－(3x＋3)]，

所以1－x2>－(3x＋3)，即x2－3x－40，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)0成立，

∴F(x)在区间(－∞，0)上是增函数，

可得它在区间(0，＋∞)上也是增函数．

∵g(－3)＝0，可得F(－3)＝0，∴F(3)＝0.

当x>0时，F(x)＝f(x)g(x)f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为()

A．f(a)eaf(0)

C．f(a)＝eaf(0)D．不能确定

答案：B

解析：令F(x)＝，则F′(x)＝.

∵f′(x)>f(x)，∴F′(x)>0，∴F(x)在R上单调递增．

∴当a>0时，则有F(a)>F(0)，即>，

即f(a)>eaf(0)，故选B.

(2)设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式ex－1f(x)f(x)，∴F′(x)>0.

∴函数F(x)在R上单调递增．

∵ex－1f(x)1，

故不等式ex－1f(x)0在R上恒成立，解得a>.设函数y＝f(x)在某个区间内可导，则当f′(x)>0时，f(x)为增函数，其解集为函数f(x)的单调递增区间；当f′(x)0(f′(x)0(f′(x)0，解得x≥1.所以单调增区间是[1，＋∞)．

2．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)

C．f(a)1

答案：A

解析：因为f′(x)＝＝.当x∈(e，＋∞)时，1－lnxf(b)．

3．已知函数f(x)＝x－sinx，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0的解集是()

A．B．

C．(－∞，3)D．(3，＋∞)

答案：C

解析：因为f(x)＝x－sinx，所以f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f′(x)＝1－cosx≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0等价为f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x－1，

∴b≤－1.

5．已知f(x)＝aex－x－1.

(1)求f(x)的单调区间．

(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

解析：(1)因为f′(x)＝aex－1，

当a≤0时，有f′(x)0时，令f′(x)≥0，得ex≥，有x≥－lna.

f′(x)＜0，得x＜－lna.

综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，

当a>0时，f(x)的单调递增区间是[－lna，＋∞)，递减区间是(－∞，－lna).

(2)f′(x)＝aex－1.若f(x)在(－∞，0]上单调递减，

则aex－1≤0在(－∞，0]上恒成立，即a≤，

而当x∈(－∞，0]时，≥1，所以a≤1；

若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以aex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立．

即a≥，而当x∈[0，＋∞)时，≤1.所以a≥1.

综上可得a＝1，故存在a＝1满足条件．(共41张PPT)

6．3函数的最值

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点函数的最值与导数

1．最大值点与最小值点

函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都________f(x0)．

函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都________f(x0)．

不超过

不低于

2．最大值与最小值

最大(小)值或者在______________取得，或者在______________取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的________进行比较，其中____________即为函数的最大(小)值．

函数的最大值和最小值统称为________．

极大(小)值点

区间的端点

函数值

最大(小)的值

最值

状元随笔

(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．

(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．

(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．()

(2)开区间上的单调连续函数无最值．()

(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．()

(4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．()

×

√

×

√

2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1，2]上的最大值、最小值分别是()

A．f(1)与f(－1)B．f(1)与f(2)

C．f(－1)与f(2)D．f(2)与f(－1)

答案：B

解析：f′(x)＝4－4x3，令f′(x)>0，

即4－4x3>0x1.

∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，

∴f(x)＝4x－x4在[－1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，故选B.

3．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()

A．无最值B．有极值

C．有最大值D．有最小值

答案：A

解析：f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．

4．已知函数f(x)＝sinx－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是________．

1

解析：f′(x)＝cosx－20，解得：x>，

令y′0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.

②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以＝f(0)＝0.

③当a0时，f(x)min＝－a3；

当a＝0时，f(x)min＝0；当a0”这一条件，求函数f(x)在[－a，2a]上的最值．

解析：f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，

令f′(x)＝0，得x1＝－0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．

解析：由题意知f(1)＝－3－c

因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.

对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．

由题意，知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，

从而f′(x)＝48x3lnx(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.

当01时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．

所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，

并且此极小值也是最小值．

所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．

整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.

所以c的取值范围为(－∞，－1].

易错辨析混淆极值与最值致错

例4已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝处取得极值．

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)求函数f(x)在[－4，1]上的最值．

解析：(1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因为在x＝－2和x＝处取得极值，

所以解得

所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.

(2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

因为f(－4)＝－11，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4.所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.

【易错警示】

出错原因纠错心得

没有比较端点值和极值的大小，错误认为极值就是最值．求区间的端点值和极值，并比较大小，取得最大的为最大值，最小的为最小值．

[课堂十分钟]

1．函数f(x)＝x2ex，x∈[－2，1]的最大值为()

A．4e－2B．0

C．e2D．e

答案：D

解析：因为f′(x)＝(x2＋2x)·ex＝x(x＋2)·ex，令f′(x)＝0，x＝0或x＝－2，所以f(x)在(－2，0)单调递减，在(0，1)单调递增．又f(－2)＝1，所以f(x)max＝e.故选D.

2．函数y＝x＋2cosx在[0，]上取最大值时，x的值为()

A．0B．

C．D．

答案：B

解析：y′＝1－2sinx，

令y′＝1－2sinx＝0，

得sinx＝.

又x∈[0，]，

∴x＝.

当x∈(0，)时，f′(x)>0，

当x∈()时，f′(x)0，

所以f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值．

当a>0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．

当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；

当x∈(－)时，f(x)单调递减，

所以当0单调________

f′(x)0B．f′(3)0时，f′(x)>0，当x0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：例如取f(x)＝x3(－10(即全部在x轴上方)，故排除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)0，故排除B，故选D.

(2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是()

答案：ABC

解析：A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC.

方法归纳

函数与导数图象间的关系

判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：

(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)0且越来越大f′(x)>0且越来越小

函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢

f′(x)0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.故选D.

(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()

答案：D

解析：当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满足，故选D.

题型二用导数研究不含参数的函数单调性

例2判断下列函数的单调性

(1)f(x)＝x2－lnx；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝x3＋.

解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝2x－＝，

因为x>0，所以x＋1>0，

令f′(x)>0，解得x>，

所以函数f(x)在(，＋∞)上单调递增，

令f′(x)0，(x－2)2>0，

令f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增；

令f′(x)0，得x1，

所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增；

令f′(x)0(或f′(x)0且x∈(0，5)，可得0，试讨论函数f(x)的单调性．

解析：函数的定义域为(0，＋∞),

f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝，

①当01，

∴x∈(0，1)和(，＋∞)时，f′(x)>0；

x∈时，f′(x)1时，00；

x∈)时，f′(x)1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．

变式探究本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？

解析：a>0时，讨论同上；

当a≤0时，ax－10，x∈(1，＋∞)时，f′(x)1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．

方法归纳

在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准：

(1)按导函数是否有零点分大类；

(2)在大类中再按导数零点的大小分小类；

(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．

跟踪训练3已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．

解析：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

f′(x)＝ex(ex－a)＋ex·ex－a2＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．

①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．

②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝lna.

当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0.

故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．

③若a0.

故f(x)在上单调递减，在上单调递增．

易错辨析讨论函数单调性时忽略定义域致错

例4已知函数f(x)＝，判断函数f(x)的单调性．

解析：函数f(x)的定义域为(0，1)

f′(x)＝.

由f′(x)＝0，可得x＝e.

则当0e时，f′(x)>0，f(x)为增函数．

【易错警示】

出错原因纠错心得

忽略了函数f(x)的定义域．在讨论函数的单调性时，要特别注意函数的定义域．

[课堂十分钟]

1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()

答案：C

解析：由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数，观察选项易知C正确，故选C.

2．如果函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是()

A．递增B．递减

C．先减后增D．先增后减

答案：A

解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，

又函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在(0，＋∞)上f(x)递增．故选A.

3．“m0)，

当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)＝0，则x＝，

∴当0时，f′(x)>0，

∴f(x)在上单调递减，在上单调递增；

综上，当a≤0时，f(x)单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；

当a>0时，f(x)单调递减区间是，单调递增是(，＋∞)．(共31张PPT)

§1平均变化率与瞬时变化率

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一平均变化率

对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)

变为f(x2)，它的平均变化率为____________．通常我们把自变量的变化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化________称作函数值y的________，记作________．这样，函数的平均变化率就可以表示为________的改变量与________的改变量之比，

即＝____________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的________．

x2－x1

改变量

Δx

f(x2)－f(x1)

改变量

Δy

函数值

自变量

快慢

状元随笔

函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．

要点二瞬时变化率

对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0),则函数的平均变化率是＝____________＝________________．

当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在________的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在________变化的快慢．

x0点

一点处

状元随笔

平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)Δx趋近于0表示Δx＝0.()

(2)平均速度与瞬时速度有可能相等．()

(3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．()

(4)一物体的运动方程是S＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是at0.()

×

√

√

√

2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()

A．6.3B．36.3

C．3.3D．9.3

答案：A

解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89

∴＝＝＝6.3，故选A.

3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()

A．6B．18

C．54D．81

答案：B

解析：＝＝18＋3Δt，

s′＝＝＝18，故选B.

4．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．

8

解析：平均变化率为＝＝8.

题型探究·课堂解透

题型一求函数的平均变化率

例1已知函数f(x)＝2x2＋1，

(1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率；

(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．

解析：(1)由f(x)＝2x2＋1

得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.0802

Δx＝2.01－2＝0.01

∴＝＝8.02.

(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)

∴＝＝4x0＋2Δx.

方法归纳

1．求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.

第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1).

第三步，求平均变化率＝.

2．求平均变化率的一个关注点

求点x0附近的平均变化率，可用的形式．

跟踪训练1函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是()

A．2B．2x

C．2＋ΔxD．2＋(Δx)2

答案：C

解析：∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，

∴＝＝2＋Δx.

故选C.

题型二平均变化率的实际应用

例2甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？

解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，

但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，

故0)

∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)

＝5×(3＋Δt)2－5×32

＝5×Δt×(6＋Δt)

∴＝＝30＋5Δt，

当Δt趋于0时，趋于30，

∴在t＝3时的瞬时速度为30m/s.

方法归纳

求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤

1．求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

2．计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止；

3．将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率．

跟踪训练3一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a.

解析：∵s＝at2＋1，

∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1.

于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1－(4a＋1)－4a·Δt＋a·(Δt)2，

∴＝＝4a＋a·Δt，

当Δt趋于0时，趋于4a.

依据题意有4a＝12.

∴a＝3.

易错辨析不能正确识图致误

例4A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有()

A．两机关单位节能效果一样好

B．A机关单位比B机关单位节能效果好

C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率

比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大

D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大

答案：B

解析：由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.

【易错警示】

出错原因纠错心得

两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变化率都取负值，平均变化率比较大小易错，易错选C.识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢要弄清．

[课堂十分钟]

1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()

A．1B．－1

C．2D．－2

答案：B

解析：平均变化率为＝－1.

故选B.

2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为()

A．3Δt＋6B．－3Δt＋6

C．3Δt－6D．－3Δt－6

答案：D

解析：＝＝－6－3Δt.

故选D.

3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为________．

解析：＝＝.

4．在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)，求：

(1)t＝20，Δt＝0.1时Δs与；

(2)t＝20时的瞬时速度．

解析：(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)

＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202

＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，

＝＝210.5(m/s)．

(2)∵＝

＝5Δt＋210，

当Δt趋于0时，趋于210，

所以在t＝20时的瞬时速度为210m/s.(共27张PPT)

§2导数的概念及其几何意义

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一导数的概念

设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝___________＝.

当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝＝.

固定的值

要点二割线的定义

函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．

要点三切线的定义

当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．

要点四导数的几何意义

函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的___________．

斜率

点A

点A

切线的斜率

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()

(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()

(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()

(4)函数f(x)＝0没有导函数．()

×

×

×

×

2．函数在某一点的导数是()

A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比

B．一个函数

C．一个常数，不是变数

D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

答案：C

解析：由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数．

故选C.

3．设函数y＝f(x)可导，则等于()

A．f′(1)B．3f′(1)

C．f′(1)D．以上都不对

答案：A

解析：由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.

故选A.

4．抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________．

y＝－4x

解析：

＝

＝

＝－4＋Δx

令Δx趋于0，则f′(－2)＝－4，

在点(－2，8)处的切线方程为：y－8＝－4(x＋2)，

即y＝－4x.

题型探究·课堂解透

题型一在某一点处导数的实际意义

例1建造一幢面积为xm2的房屋需要成本y万元．假设函数y＝f(x)在x＝100处的导数为f′(100)＝0.1，请解释它们的实际意义．

解析：f′(100)＝0.1表示建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1000元/m2，也就是说当建筑面积为100m2时，每增加1m2的建筑面积，成本就要增加1000元．

方法归纳

结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理解的量．

跟踪训练1某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3，y是x的函数，若函数y＝f(x)在x＝27处的导数f′(27)＝，试解释它的实际意义．

解析：当时间为27min时，水流量增加的速度为m3/min，也就是说当时间为27min时，每增加1min，水流量增加m3.

题型二求函数在某点处的导数

例2利用导数的定义，求函数y＝f(x)＝＋2在点x＝1处的导数．

解析：∵Δy＝

＝

∴＝

当Δx趋于0，知函数f(x)＝＋2在x＝1处的导数为－2，

∴f′(1)＝－2.

方法归纳

求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法

(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求＝；

(3)当Δx趋于0时，得f′(x0)．

跟踪训练2求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．

解析：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)

＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx

＝2(Δx)2＋16Δx

∴＝＝2Δx＋16.

当Δx趋于0时，＝16，∴f′(3)＝16.

题型三求曲线在某点处的切线方程

例3已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．

解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，

∴切点P(2，4)，

∵＝＝，

∴当Δx趋于0时，

曲线y＝x3＋在x＝2处的导数y′＝4，

∴曲线y＝x3＋在点(－2，－1)处的切线方程为：y－4＝4(x－2)．

即4x－y－4＝0.

方法归纳

求曲线在某点处的切线方程的步骤

(1)求斜率：求出曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率f′(x0)；

(2)写方程：用点斜式y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)写出切线方程；

(3)变形式：将点斜式变为一般式．

跟踪训练3求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．

解析：＝＝＝

当Δx趋于0时，f(x)＝在x＝－2处的导数为f′(－2)＝－，

∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，

即x＋2y＋4＝0.

易错辨析对切线的理解不全面致误

例4已知曲线f(x)＝上的一点P(0，0)，求曲线在点P处的切线方程．

解析：＝＝＝，

当Δx趋于0时，割线的倾斜角无限趋近于，

斜率不存在，故曲线在点P处的切线为y轴，

即切线方程为x＝0.

【易错警示】

出错原因纠错心得

误认为函数在点P处的导数不存在，则曲线在该点处的切线就不存在．函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件．因此，在求曲线上某点处的切线方程时，如果导数不存在，可由切线的定义来求切线方程．

[课堂十分钟]

1．函数y＝x2在x＝1处的导数为()

A．2xB．2＋Δx

C．2D．1

答案：C

解析：＝＝2＋Δx，

当Δx趋于0时，函数y＝x2在x＝1处的导数为2.

故选C.

2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()

A．不存在B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直D．与x轴斜交

答案：B

解析：∵f′(x0)＝0，

∴点(x0，f(x0))处切线的斜率为0.

故选B.

3．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()

A．0>f′(xA)>f′(xB)

B．f′(xA)f′(xB)>0

答案：B

解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0，故C不正确．故选AD.

3．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是()

A．极大值点x＝－1B．极大值点x＝0

C．极小值点x＝0D．极小值点x＝1

答案：C

解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′0得04

所以函数y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)和(4，＋∞)上单调递减，在(0，4)上单调递增．

所以函数y＝－x3＋6x2＋m在x＝4处取得极大值．

所以－43＋6×42＋m＝13.

解得m＝－19.

题型探究·课堂解透

题型一求函数的极值(点)

例1(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

答案：D

解析：由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x0；当－22时，f′(x)>0，则函数f(x)有极小值f(2)，故选D.

(2)求下列函数的极值：

①f(x)＝x3－x2－3x；

②f(x)＝x4－4x3＋5；

③f(x)＝.

解析：①函数的定义域为R.

f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．

令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.

由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：

当x＝－1时，f(x)有极大值.

当x＝3时，f(x)有极小值－9.

x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)极大值极小值

②因为f(x)＝x4－4x3＋5，

所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．

令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22，无极大值．

x(－∞，0)0(0，3)3(3，＋∞)

f′(x)－0－0＋

f(x)不是极值极小值

③函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，

且f′(x)＝.

令f′(x)＝＝0，得x＝e.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

故当x＝e时函数取得极大值，且f(e)＝，无极小值．

x(0，e)e(e，＋∞)

f′(x)＋0－

f(x)极大值

方法归纳

(1)求函数极值的步骤

(2)求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点．

跟踪训练1(1)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是()

A．函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)

B．函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)

C．x＝－2是函数的极小值点

D．x＝2是函数的极小值点

答案：BD

解析：由题意，当02，f′(x)>0；当－20

即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，

因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；

故A、C错，B、D正确．

故选BD.

(2)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()

A．－1B．－2e－3

C．5e－3D．1

答案：A

解析：∵f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，∴f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.又x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1.

∴f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1，令f′(x)0，解得a0)在(－∞，＋∞)上无极值点”，则实数a的取值范围如何？

解析：若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点

则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数

即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立

因为a>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，

则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.

解得a≥，

故实数a的取值范围是.

变式探究3本例条件“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点”改为“函数f(x)＝－x(lnx－1)有两个不同的极值点”，则实数a的取值范围又如何？

解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－lnx

令f′(x)＝ax－lnx＝0，可得a＝

令h(x)＝，则由题意可知直线y＝a与函数h(x)的图象有两个不同的交点．

h′(x)＝，令h′(x)＝0得x＝e

可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．

∴h(x)≤h(e)＝,当x趋向于＋∞时，h(x)趋向于零．

故实数a的取值范围为.

方法归纳

(1)已知函数极值点的个数求参数取值范围的一般思路：求导后分离参数，转化为直线与曲线的交点问题．

(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．

跟踪训练2(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝________，b＝________．

2

9

解析：因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

所以即

解得或

当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上是增函数，无极值，故舍去．

当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．

因为当x∈(－3，－1)时，f(x)是减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.

(2)若函数f(x)＝x2＋alnx在区间(1，＋∞)上存在极小值，则实数a的取值范围为________．

a1，得a0时，令f′(x)>0，得x>a或x0)．

当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．

当a>0，x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，

x∈时，g′(x)0时，函数g(x)单调递增区间为，函数g(x)单调递减区间为.

(2)由(1)知f′(1)＝0.

①当a≤0时，f′(x)单调递增，

所以x∈(0，1)时，f′(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．

②当01，由(1)知f′(x)在内单调递增，所以x∈(0，1)时，f′(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．

③当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．

④当a>时，00，f(x)单调递增，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x).

易错辨析对函数取极值的充要条件把握不准致误

例5已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．

18

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

由题意，得即

解得或

当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

X(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

显然函数f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，此时f(2)＝18.

当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，

此时f(x)没有极值，不符合题意．

综上可知，f(2)＝18.

【易错警示】

出错原因纠错心得

认为f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充要条件，得到或，事实上，当a＝－3，b＝3时，f(x)没有极值，从而得到错误答案．一般地，若f′(x0)＝0，且f′(x)在x＝x0两侧符号相反，则函数f(x)在x＝x0处存在极值；若f′(x)在x＝x0两侧符号相同，则函数f(x)在x＝x0处不存在极值．因此，在根据极值条件求参数的值的问题中，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，检验每一组解对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍．

[课堂十分钟]

1．设函数f(x)＝xex＋1，则()

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

答案：D

解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)

令f′(x)＝0，得x＝－1，

易知x＝－1是函数f(x)的极小值点，故选D.

2．已知函数f(x)＝2lnx＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝()

A．－2B．2

C．0D．1

答案：A

解析：f′(x)＝＋a，由题意知f′(1)＝2＋a＝0.

解得a＝－2

故f(x)＝2lnx－2x，f′(x)＝－2，令f′(x)>0得01，故f′(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x＝1是极大值点，符合题意，故选A.

3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()

A．－1C．a6D．a2

答案：C

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)

由题意知3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的实数根

所以Δ＝4a2－4×3×(a＋6)>0

解得a6.

故选C.

4．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．

y＝－

解析：令y＝f(x)＝xex

则f′(x)＝(1＋x)ex

令f′(x)＝0得x＝－1

此时f(－1)＝－

故函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.

5．设f(x)＝alnx＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

解析：(1)因为f(x)＝alnx＋x＋1.

故f′(x)＝.

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＝0，

解得a＝－1.

(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋x＋1(x>0)，

f′(x)＝－＝

＝.

令f′(x)＝0，解得x1＝1，

x2＝－.

当x∈(0，1)时，f′(x)0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．

故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．(共32张PPT)

§3导数的计算

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一几个常用函数的导数

函数导数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________

f(x)＝xf′(x)＝________

f(x)＝x2f′(x)＝________

f(x)＝x3f′(x)＝________

f(x)＝

f′(x)＝________

f(x)＝

f′(x)＝________

0

1

2x

3x2

－

要点二基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________

f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝________

f(x)＝sinxf′(x)＝________

f(x)＝cosxf′(x)＝________

f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝________

f(x)＝exf′(x)＝________

f(x)＝logax(a>0且a≠1)

f′(x)＝________

f(x)＝lnx

f′(x)＝________

0

αxα－1

cosx

－sinx

axlna

ex

状元随笔(1)几个基本初等函数导数公式的特点

①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．

②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．

③对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．

(2)函数与其导函数奇偶性的关系

①常数的导数是0.

②奇函数的导函数为偶函数．

③偶函数的导函数为奇函数．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)′＝.()

(2)(log3x)′＝.()

(3)′＝cos.()

(4)若y＝e3，则y′＝e3.()

×

×

×

×

2．(多选题)下列导数运算正确的是()

A．(lnx)′＝xB．(ax)′＝xax－1

C．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－5x－6

答案：CD

解析：由导数公式得C、D正确．故选CD.

3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线方程是()

A．x＋y＋1＝0B．x－y－2＝0

C．x－y＋1＝0D．x＋y－2＝0

答案：C

解析：y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A(0，1)，故切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选C.

4．函数f(x)＝sinx，则f′(6π)＝________．

1

解析：f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.

题型探究·课堂解透

题型一利用导数公式求函数的导数

例1求下列函数的导数

(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log3x；(4)y＝cos.

解析：(1)y′＝(x－2)′＝－2x－3＝－；

(2)y′＝()′＝′＝；

(3)y′＝(log3x)′＝；

(4)∵y＝cos＝sinx，

∴y′＝(sinx)′＝cosx．

方法归纳

求简单函数的导数有两种基本方法

(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．

跟踪训练1(1)(多选题)下列求导运算不正确的是()

A．(cosx)′＝sinxB．′＝lnx

C．′＝xax－1D．′＝

答案：ABC

解析：(cosx)′＝－sinx，A错误；′＝－，B错误；′＝axlna，C错误；′＝，D正确．故选ABC.

(2)已知f(x)＝，则f′＝________．

解析：f′(x)＝′＝，

∴f′＝＝.

题型二利用导数公式求函数在某点处的导数

例2质点的运动方程是s＝sint，

(1)求质点在t＝时的速度；

(2)求质点运动的加速度．

解析：(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴v＝cos＝.

即质点在t＝时的速度为.

(2)∵v(t)＝cost，

∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint．

方法归纳

1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．

2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)