多边形的外角和学案人教版八年级数学上册

11.3多边形及其内角和11.3.3多边形的外角和【知识重点】1.定理多边形的外角和等于360°.多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的，n边形的外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°.特别解读1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.2.多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.2.常见应用(1)已知外角度数求正多边形的边数；(2)已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为360°【经典例题】【例1】根据下列条件解决问题：(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.解题秘方：根据多边形的外角和定理计算.【同步练习】一、选择题1．【2020·北京】正五边形的外角和为()A．180° B．360°C．540° D．720°2．【2021·襄阳】正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是()A．3B．6C．9D．123．【2021·毕节】若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为()A．540° B．720°C．900° D．1080°4．【2020·西藏】一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是()A．8 B．9C．10 D．115．【2020·德州】如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，共走路程为()A．80米 B．96米C．64米 D．48米第5题图第8题图6．【2021·眉山】正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为()A．1∶3 B．1∶2C．2∶1 D．3∶17．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是()A．12 B．13C．14 D．158．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是()A.α－β＝0B.α－β＜0C.α－β＞0D.无法比较α与β的大小9．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是()二、填空题10．多边形的外角和等于.11．若正n边形的一个外角是36°，则n＝______.12．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________.13．一个六边形截去一个角后，所形成的多边形的内角和是.三、解答题14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍．求这个多边形的边数．15．一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．16．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9∶2，求这个多边形的边数．17．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°.(1)求此多边形的边数；(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？18．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等．求代数式h·(m－k)n的值．19．【2021·交大附中期末】(1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；(2)请你用文字描述上述关系；(3)用你发现的结论解决下面的问题：如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．参考答案【经典例题】【例1】根据下列条件解决问题：(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.解题秘方：根据多边形的外角和定理计算.(1)解：设该多边形的边数为n.根据多边形的外角和为360°，得n×72°＝360°，解得n＝5．∴该多边形的边数为5.(2)解：∵多边形的外角和为360°，∴360°÷30°=12.故这个正多边形的边数为12.【同步练习】一、选择题1．【2020·北京】正五边形的外角和为(B)A．180° B．360°C．540° D．720°2．【2021·襄阳】正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是(B)A．3B．6C．9D．123．【2021·毕节】若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为(D)A．540° B．720°C．900° D．1080°4．【2020·西藏】一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(C)A．8 B．9C．10 D．115．【2020·德州】如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，共走路程为(C)A．80米 B．96米C．64米 D．48米第5题图第8题图6．【2021·眉山】正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为(D)A．1∶3 B．1∶2C．2∶1 D．3∶17．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(C)A．12 B．13C．14 D．158．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是(A)A.α－β＝0B.α－β＜0C.α－β＞0D.无法比较α与β的大小9．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是(B)【解析】由新多边形的内角和是其外角和的2倍，可得新多边形内角和为360°×2＝720°，进而得到新多边形的边数为6.对照各选项进行判断即可.二、填空题10．多边形的外角和等于.【答案】360°11．若正n边形的一个外角是36°，则n＝______.【答案】1012．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________.【答案】300°13．一个六边形截去一个角后，所形成的多边形的内角和是.【答案】540°或720°或900°三、解答题14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍．求这个多边形的边数．解：设多边形的边数为n，(n－2)·180°＝360°×2，∴n＝6.15．一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的每个内角是x°，相邻外角是y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3.故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．16．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9∶2，求这个多边形的边数．解：设这个多边形一个内角的度数为9x，则一个外角的度数为2x，根据题意，得9x＋2x＝180°，解得x＝eq\f(180°,11).360°÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(180°,11)))＝11，所以这个多边形的边数为11.17．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°.(1)求此多边形的边数；解：设此多边形的边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180，根据题意得(n－2)·180＋x＝1350，∴n＝9＋eq\f(90－x,180).∵n为正整数，且0＜x＜180，∴90－x＝0，∴x＝90，则n＝9.即此多边形的边数为9.(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？解：由(1)知此多边形确定的内角的度数为180°－90°＝90°.18．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等．求代数式h·(m－k)n的值．解：∵m边形从一个顶点出发的对角线有(m－3)条，∴m＝7＋3＝10.∵n边形没有对角线，∴n＝3.∵k边形有k条对角线，∴eq\f(k,2)(k－3)＝k，得k＝5.∵正h边形的内角和与外角和相等，∴h＝4.∴h·(m－k)n＝4×(10－5)3＝500.19．【2021·交大附中期末】(1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；解：设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∴∠1＋∠5＋∠2＋∠6＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.(2)请你用文字描述上述关系；解：在一个四边形中，两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．(3)用你发现的结论解决下面的问题：如图③，AE，DE分别