材料力学讲义六二

材料力学讲授:顾志荣第五章平面图形的几何性质

同济大学航空航天与力学学院

顾志荣材料力学第五章平面图形的几何性质

一静矩、形心及相互关系二惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径三平行移轴定理四转轴定理五形心主轴、形心主矩第五章平面图形的几何性质

为什么要研究平面图形的几何性质材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。第五章平面图形的几何性质

课堂小实验相同的材料、相同的截面积,截面的几何形状不同,承载能力差异很大。第五章平面图形的几何性质

研究平面图形几何性质的方法:化特殊为一般实际杆件的横截面第五章平面图形的几何性质

平面图形的几何性质包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、主惯性矩等第五铃章凭平面盛图形废的几舰何性她质一溪静矩得、形成心及土相互不关系zyOdAyz图形纸对于y轴的虹静矩图形裂对于z轴的益静矩第五抛章蓬平面抵图形狭的几株何性沙质/一敲静矩叔、形城心及妈相互减关系定义AzyOdAyzzyOzCCyC分力拨之矩削之和合力爽之矩第五豪章纳平面套图形场的几吸何性肢质/一娃静矩轻、形筛心及汤相互谋关系计算静矩支与形湖心坐颤标之顽间的来关系已知卖静矩朗可以繁确定乏图形禽的形嗽心坐扑标已知护图形扩的形按心坐若标可榴以确秧定静商矩第五闲章奸平面拿图形歌的几村何性没质/一绕静矩恼、形呜心及雄相互缎关系第五巡寿章朝平面音图形餐的几闸何性驳质/一盘静矩佩、形北心及士相互度关系组合楼图形默的静荡矩与幕形心删计算性质:①静矩喉是对沟某一用坐标散轴定怪义的,静矩彼与坐域标轴误有关②截奴面对副某一狸轴的惯静矩妥等于糠零,则该兼轴必选通过闻形心苍。③截面魂对通灯过形释心轴愧的静愧矩恒美等于陵零。啊即:第五描章偷平面解图形坏的几裂何性维质/一度静矩鬼、形协心及裹相互毁关系决定以因素:静矩碍与截往面尺扛寸、纤形状饱、轴号的位蒜置有照关。数值今范围:可以劝为正蝴、或拼负、利或等锋于零育。单吵位:慢mm3、cm3、m3第五希章约平面壮图形量的几枪何性奔质/一影静矩掠、形线心及衣相互毒关系例题帝试倍确定司图示钞梯形点面积构的形情心位恐置，忆及其候对底歌边的皱静矩外。解：图形据对底占边的拜静矩形心抄位置abhzyOC1C2第五带章尺平面抱图形唉的几助何性似质/一毁静矩恨、形冬心及持相互图关系第五尽章祖平面将图形堪的几率何性扣质二切惯鉴性矩哀、惯陈性积贝、极忧惯性独矩与轮惯性猎半径－图形堂对y轴的惯性遇矩－图形纪对z轴的惯性恢矩－图形斧对y雪z轴的惯性谢积－图形迫对O点的极惯繁性矩zyOdAyzA第五盐章猛平面波图形叹的几幅何性观质/二醋惯局性矩述、惯棍性积蛇、极刺惯性谱矩与质惯性策半径定义珍：－图形执对y轴的惯性云半径－图形袍对z轴的惯性锻半径zyOdAyz第五迷章衫平面术图形月的几垄何性域质/二涛惯侧性矩高、惯就性积净、极唇惯性势矩与劣惯性堤半径定义痒：第五灿章皮平面没图形效的几蹈何性章质/二搂惯配性矩沙、惯妥性积坡、极怎惯性载矩与纺惯性盲半径zyOdAyz计算酷：zyOdAyzA第五泼章棕平面偿图形五的几桶何性妇质/二膝惯递性矩债、惯梨性积亡、极竞惯性校矩与滑惯性钉半径惯性执矩与洞极惯沟性矩蚁之间漏的关皂系：性捡质梨：1、惯监性矩谣和惯区性积让是对木一定仍轴而懒定义买的，算而极孔惯矩袋，是街对点居定义恰的。2、任何瓣平面侍图形著对于榴通过钞其形啄心的笛对称朝轴和贡与此殊对称预轴垂爱直的福轴的逐惯性穴积为束零。3、对椒于面京积相躺等的骑截面找，截句面相谢对于凶坐标蛮轴分鬼布的国越远退，其愉惯性忠矩越春大。第五脆章窑平面宰图形刷的几橡何性先质/二化惯盛性矩周、惯滋性积课、极撕惯性唤矩与已惯性架半径决定青因素:截面椅形状鲁、尺款寸、边轴的孔位置饺。数值喉范围:惯性镇矩、极惯垒性矩讨和惯桌性半惑径恒济为锈正;惯性驾积可量以为剖正、咬为负版、为普零。单运位:惯性惩矩、倚极惯汗性矩酱和惯咳性积剩的单牢位相同,均为mm4、cm4、m4惯性库半径:勤mm、cm、m第五嫌章迈平面码图形阁的几已何性奏质/一碰静矩帝、形晓心及情相互椒关系例题呈矩钩形截滨面惯性矩的计算hozybydy同理：第五逼章北平面去图形罚的几费何性蚁质/一抬静矩堤、形怎心及旗相互形关系例题舞圆截条面惯掉性矩涌、极鸡惯性技矩计天算ddACyz第五资章胳平面煤图形托的几弟何性缴质/二巷惯冶性矩肢、惯刊性积诊、极卷惯性确矩与燃惯性设半径第五鹅章舅平面失图形墨的几议何性险质三揉平准行移挪轴定圣理移轴糊定理是指疲图形谣对于被互相专平行晴轴的破惯性而矩、其惯性哄积之竿间的陷关系互。即筹通过谋已知钟图形使对于敲一对锻坐标励的惯擦性矩忘、惯裹性积督，求芒图形栏对另属一对配坐标亮的惯赖性矩魄与惯菜性积发。第五糕章拨平面秃图形躲的几扫何性罚质/三仍平艳行移信轴定缩慧理zcycyzOadA在所收有相爷互平烂行的轻坐标母轴中降，图奶形对脖形心沙轴的萌惯性兔矩为齐最小炎，但点图形拒对形服心轴冠的惯侮性积费不一校定是图最小第五肝章槽平面立图形趣的几匹何性个质/三峡平舟行移运轴定猜理应用倒平行愉移轴杨定理绵应注点意的尾问题两平睛行轴布中，紫必须杂有一挥轴为幕形心锄轴,截面亚对任宇意两孕平行轴挎的惯扮性矩坝间的绳关系,应通诱过平今行的伯形心渔轴惯紫性矩俩来换著算。第五批章遮平面猴图形谊的几咱何性权质/三靠平湿行移兔轴定匠理例题座试斧求图尽示三拍角形卧：（1）对z轴静锡矩；柳（2）对z轴的蓬惯性膝矩；碗（3）对z1轴的介惯性咳矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzc例题顷图剑示为邻三个府等直伸径圆侦相切六的组锅合问唤题,求对结形心强轴zc的惯故性矩.O1O2O3zcO2、O3到zc轴的岸距离O1到zc轴的懂距离四动转鹅轴定绣理第五贷章踪蝶平面驴图形训的几流何性储质所谓转轴选定理是研妙究坐非标轴纱绕原喝点转塌动时记，图妨形对树这些败坐标仅轴的滑惯性作矩和雀惯性叹积的捐变化矛规律煤。第五诱章榜平面榨图形医的几疏何性放质/四吴转瘦轴定并理zyOz1y1

dAyzy1z1已知：Iy、Iz、Iyz、

求：Iy1、Iz1、Iy1z1第五红章蹲平面耻图形志的几甜何性炮质/四弹转唇轴定赢理zyOz1y1

dAyzy1z1第五键章猾平面慈图形择的几竭何性袭质/四偿转授轴定毅理图形齿对一攻对垂挡直轴串的惯兔性矩完之和昏与转尽轴时的角朽度无果关，狮即在稠轴转延动时修，其纠和保生持不俯变。第五昏章胶平面歌图形燥的几课何性提质/四欺转盘轴定箱理zyOz0y0

0

0dAyzy0z0y0、z0－通过O点的幸主轴第五严章凶平面晕图形盆的几滑何性疯质/四燃转烂轴定浩理当

改变月时，Iyl、Izl的数榴值也俊发生妖变化咏，而当

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0时，僚二者沃分别秀为极港大值猾和极食小值醒。Iy0、Iz0－主惯性械矩zyOz0y0

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0dAyzy0z0第五竭章缎平面飘图形弟的几挥何性辅质/四仙转赏轴定摩理主惯塑性矩功：第五枕章塌平面兰图形狗的几船何性蛙质/四绒转桃轴定长理对于醉任意获一点窑（图段形内趋或图缎形外针）都丝式有主走轴，而通纤过形贺心的绑主轴泡称为形心州主轴，图铅形对调形心主轴两的Iy惯性诵矩称往为形积心主粱惯性山矩，染简称形心主矩。工隐程计摄算中苍有意票义的针是形魄心主混轴与劳形心主矩倦。第五敲章坚平面需图形倘的几照何性叔质/四岁转狸轴定阔理五住形桥心主拥轴、陕形心坚主矩第五仔章完平面确图形抗的几嗓何性岸质第五论章岗平面译图形绢的几弹何性童质/五酸形硬心主猎轴、遮形心筋主矩1主惯涝性轴秒、主肥惯性献矩对于僻任何闯形状词的截唐面,总可拦以找毁到一朋对特亭殊的航直角解坐标,使截拍面对锣于这铜一对澡坐标菊轴的栽惯性米积等芒于零骑。惯月性积置等于室零的职一对丝式坐标蚊轴就甚称为贺该截炕面的植主惯拢性轴,而截秧面对脆于主坚惯性身轴的乎惯性稻矩称愁为主罚惯性稻矩。第五劝章饺平面皂图形米的几麦何性码质/五蛾形愿心主阳轴、氏形心穗主矩2形心熊主惯蚁性轴招、形克心主捧惯性糊矩当一劝对主掌惯性到轴的霜交点不与截糊面的炎形心着重合山时,他们量就被牲称为垫该截薯面的哑形心冠主惯锯性轴推。而邀截面里对于涂形心干主惯养性轴脊的惯腔性矩呆就称惠为形筝心主砍惯性订矩。第五愧章既平面恼图形从的几垄何性坝质/五缝形绿心主咳轴、湿形心叉主矩(1讯)如果平面搅图形绝有一狡条对孙称轴,则此谅轴必蕉定是停形心鼓主惯佩性轴,而另哑一条吃形心主惯处性轴补通过邪形心,并与胖此轴词垂直.观察谅法确间定形井心主洞轴的无位置:第五领章惨平面服图形常的几她何性用质/五堵形汇心主寇轴、淹形心忍主矩(2傍)如果他平面饺图形追有两亮条对右称轴,则此扔两轴俘都为驰形心顿主惯魄性轴.第五催章兴平面羽图形由的几夸何性杰质/五四形附心主眠轴、栏形心密主矩(3他)如果赶平面秒图形大具有护三条兰或更煎多条咳对称娘轴,那么迅通过胞证明突后可棉以知衣道:过该笨图形窄形心咬的任忽何轴堤都是摇形心岗主惯鹊性轴,而且驰该平嘴面图犁形对用于其乳任一兽形心刘惯性馋轴的妻惯性浇矩都厅相等。第五虫章恢平面趟图形奴的几置何性攻质/五汇形垃心主伙轴、更形心蹲主矩对于脾没有吧对称勺轴的疗截面,其形料心主抖惯性莲轴的头位置沈通过转轴戚定理确定。第五披章偏平面箭图形浑的几柏何性妥质/五址形勉心主莫轴、烘形心救主矩(1躁)矩形粱截面健的形路心主趁惯性她矩常见张截面阀的形安心主浪矩:(2嚷)圆形给截面乎的形联心主厌惯性标矩例题：求图示截面形心轴YC和ZC的惯性矩解：1.取参考轴Z2.求形心则a1＝2凤cm待，a2＝2语cm抽。3.求对形心轴的惯性矩Zz2zcz1yc1cc26cm2cm6cm2cmy1y2a2a1yc12（yc）在下婆列关占于平云面图疮形的困结论腰中，忘（纺）邀是错品误的钟。A.图形盏的对猫称轴婶必定搭通过迈形心浆；B.图形以两个街对称福轴的拆交点屡必为给形心治；D.使静求矩为满零的迷轴必当为对宜称轴铜。C.图形扛对对榆称轴则的静造矩为兆零；D在平逐面图辆形的妖几何赴性质颜中，巩（顾）的崖值可致正、抱可负敞、也围可为笋零。A.静矩羽和惯蚂性矩疾；B.极惯栗性矩循和惯亚性矩贿；C.惯性后矩和确惯性伙积；D.静矩惧和惯扑性积抽。D课程趴练习里题图示湖任意惊形状辽截面搂，它拐的一撇个形绒心轴zc把截何面分掌成Ⅰ和Ⅱ两部壳分，慰在以跌下各揪式中电，（农）一聚定成布立。ⅠⅡZCC课程偏练习抽题

图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对