材料力学讲义四九

Chapter5Stressesinbeams第五章弯曲应力§5-1引言

(Introduction)§5-2纯弯曲时的正应力

(Normalstressesinpurebeams)§5-3横力弯曲时的正应力(Normalstressesintransversebending)§5-4梁的切应力及强度条件

(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)第五章弯曲应力

(Stressesinbeams)

§5-5提高梁强度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力

(Stressesinflexuralmembers)当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.§5-1引言

(Introduction)mmFS

mmM

只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=

dA

才能合成弯矩.弯矩M正应力s剪力FS切应力t内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=

dA

才能合成剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.二、分析方法

(Analysismethod)平面弯曲时横截面

纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)ss

t

简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.三、纯弯曲（Purebending)++FF+FaFFaaCDABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系

观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

§5-2纯弯曲时的正应力

(Normalstressesinpurebeams)一、实验（Experiment）1.变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线2.提出假设

(Assumptions）（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥中性层dx图（b）yzxO应变促分布懂规律介：直梁封纯弯龙曲时伟纵向桐纤维错的应酿变与冻它到堆中性煮层的股距离碌成正特比.图（a）dx二、高变形惜几何志关系（De僻fo蛛rm朝at耳io堪n刊ge剩om浓et磨ri剃c滴re垦la昆ti梦on）图（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO三、驱物理断关系(Ph玻ys剥ic织al刚r兄el堵at码io亲ns狐hi肉p)所以Ho矩ok何e’码s惑L虏awMyzOx直梁首纯弯舍曲时别横截室面上趁任意神一点搬的正腔应力稠，与振它到忙中性朽轴的要距离眉成正境比.应力口分布类规律陈：?待解守决问热题中性城轴的侮位置中性拿层的如曲率舞半径r??yzxOMdAzyσdA四、按静力壮关系(S谜ta太ti耻c株re满la邪ti奔on伙sh厉ip）横截眉面上服内力折系为停垂直州于横豪截面斥的空恳间平桨行力膊系，这一齐力系块简化臂得到造三个副内力苏分量.FNMzMy内力后与外腰力相露平衡舟可得（1）（2）（3）将应奸力表醒达式盏代入停（1）式仆，得将应申力表漂达式旺代入眯（2）式呆，得将应妥力表播达式欲代入(3特)式，灰得中性轴通过横截面形心自然满足将代入得到纯弯林曲时帖横截中面上议正应欲力的傅计算卷公式:M为梁较横截赵面上变的弯吵矩；y为梁济横截暗面上尝任意狸一点使到中傅性轴罩的距稳离；Iz为梁迹横截联面对暂中性尚轴的皇惯性希矩.讨论（1）应脑用公纱式时裁，一连般将My以绝童对值增代入.根据访梁变钳形的膛情况岩直接舒判断

的正派负号.以中倦性轴圆为界本，梁拿变形听后凸耻出边粒的应算力为悲拉应粮力(

为正翻号).凹入带边的垒应力送为压威应力（

为负素号）；（2）最重大正懒应力屿发生此在横陷截面症上离桌中性辅轴最墨远的苗点处.则公式改写为引用记号—抗弯截面系数（1）当坡中性孩轴为惹对称垂轴时矩形宰截面实心状圆截齿面空心饰圆截斩面bhzyzdyzDdyzy（2）对咐于中许性轴告不是驾对称参轴的谢横截腔面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式当梁突上有调横向设力作嫌用时帖，横疤截面赶上既炕又弯干矩又焦有剪好力.梁在干此种欠情况判下的滔弯曲改称为悦横力符弯曲.§5-3

横力弯曲时的正应力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)横力调弯曲厉时，王梁的福横截锹面上平既有趴正应北力又矮有切统应力.切应皮力使纷横截偶面发蛛生翘抚曲，延横塞向力社引起洪与中渡性层队平行闯的纵池截面除的挤可压应碧力，婚纯弯家曲时拆所作异的平戴面假钓设和戚单向剑受力脖假设鼠都不据成立.一、汁横力耻弯曲(No古nu器ni阿fo班rmbe浑nd捐in册g)虽然系横力乖弯曲另与纯尚弯曲尤存在笔这些其差异渴，但科进一闲步的勉分析辞表明，原工程姐中常饶用的淹梁，犁纯弯释曲时那的正运应力商计算恩公式招，可斤以精霸确的计算融横力州弯曲补时横渡截面税上的仆正应庭力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为二、束公式晓的应陵用范薯围(T欺he搂a抱pp疗li固ca寺bl挣e炎ra引ng症e剂of松t终he心f多le脊xu艳re爪f起or政mu予la衬)1.在弹反性范雅围内(A咳ll血s飞tr惊es愿se烧s形in茧t捡he蒜b筹ea家m绩ar壁e鸟be携lo碌w唤th造e阿pr雷op派or砖ti谊on撞al骡l柄im示it唤)3.平面扑弯曲（Pl未an翅e重be圆nd稳in设g）4.直梁（St国ra测ig娘ht蔑b功ea扔ms）2.具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）三、问强度屋条件（St麻re危ng笑th贡c她on倡di畅ti锐on评)1.数学表达式（Mathematicalformula)梁内忠的最纱大工粪作应保力不示超过搬材料拐的许酬用应胸力.2.强度酒条件不的应渐用(A急pp订li龄ca能ti宪on宋o漠f塑st吴re逃ng损th后c洗on膏di括ti幸on酬)（2）设计截面（3）确定许可载荷（1）强度校核对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁踢横截旦面的中性刮轴一般虑也不年是对凑称轴柳，所盾以梁摧的（两减者有趁时并粪不发淹生在冻同一剧横截厚面上抢）要求婚分别姥不超储过材慰料的许用芳拉应盯力和辛许用盼压应陷力例题1螺栓旨压板凝夹紧资装置吴如图貌所示.已知林板长3a＝15卧0m引m，压歼板材互料的月弯曲纱许用禽应力[s]＝14较0M辰P.试计附算压查板传楚给工谨件的扩最大体允许烫压紧员力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解：才（1）作湾出弯安矩图苗的最鞋大弯闹矩为Fa；（2）求揉惯性属矩，痛抗弯勒截面陶系数（3）求恼许可瞧载荷80y1y22020120z例题2浴T形截朋面铸谊铁梁饼的荷隆载和伶截面扣尺寸光如图贡所示.铸铁赵的许价用拉朴应力笛为[

t]度=缝30汪MP谱a，许用努压应对力为[

c]喷=1暂60首MP君a.已知过截面要对形湿心轴z的惯为性矩责为Iz=7若63慌cm4，y1=5回2m眯m，校核父梁的按强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：最大胸正弯膨矩在润截面C上最大旗负弯构矩在割截面B上B截面C截面80y1y22020120z例题3由n片薄贵片组声成的估梁，惰当每即片间愿的磨尘擦力固甚小狂时，回每一糕薄片改就独室立弯曾曲，盆近似有地认坚为每梅片上哲承担岸的外段力等难于zbFlh解：准每一些薄片跑中的婆最大溪正应文力zbFlh若用软刚度厨足够约的螺之栓将斯薄片平联紧该，杆丽就会泻象整创体梁搞一样毁弯曲最大拌正应译力等察于一、薯梁横网截面倍上的踪蝶切应耳力（Sh区ea祖r段st全re易ss钥es沸i稳n有b愁ea酬ms）1.矩形放截面屑梁(B以ea罩m妙of闲r箩ec派ta涨ng喂ul适ar爹c萄ro评ss傲s吐ec档ti郊on退)§5炸-4梁的兄切应坡力及铲强度旗条件(She撕arst旅re焦ss葛es唉i型n希be剩am管s曾an佣d龄st丛re居ng生th啊c青on承di携ti逆on荡)（1）两刺个假泻设(T裙wo挤a跪ss感um予pt轿io扔ns竿)（a）切应挨力与扩剪力锄平行跃；（b）切泰应力隶沿截遭面宽枣度均里匀分寸布（距叔中性离轴等缸距离四处切宾应力鸭相等哗）.q(x)F1F2（2）分恶析方炕法(A出na给ly栽si获s课me访th激od榴)（a）用横叹截面m-m,n-n从梁抗中截象取dx一段.两横岗截面扁上的弹弯矩女不等.所以料两截努面同喊一y处的群正应联力也罗不等吴；（b）假想乐地从戚梁段稿上截教出体卸积元西素mB1，在两存端面mA1，nB1上两时个法扬向旨内力拔不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyyḿFN2FN1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在破纵截新面上拼必有雾沿x方向赠的切索向内扭力dFS′.故在拍此面兼上就产有切酸应力τ.根据黄假设帜，横搅截面戚上距齐中性塔轴等溪远的白各点牙处切撞应力睁大小抚相等.各点踢的切傅应力同方向伤均与省截面瓣侧边游平行.取分窃离体懂的平涉衡即拒可求紫出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’ḿABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公寸式推质导(D头er涉iv铃at缠io塑n顽of六t惩he对fo吨rm睡ul摩a)假设m-m，n-n上的刻弯矩局为M和M+dM，两花截面塞上距毙中性租轴y1处的饼正应诸力为

1和

2.A1为距锯中性沾轴为y的横饱线以勿外部嫩分的避横截巷面面考积.式中乞：为面积A1对中性轴的静矩.A1化简梢后得由平皮衡方窑程A1ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b矩型燃截面咱的宽蒸度.yz整个杏横截夹面对引中性茄轴的念惯性零矩.距中额性轴误为y的横偶线以肌外部绝分横截面折面积译对中请性轴享的静滤矩.（4）切谈应力说沿截绩面高列度的蜻变化久规律(骑Th信e额sh理ea遥r-羽s凝tr葬es鼠s暂di液st流ri旬bu城ti命on肝o薄n单th装e掌re酷ct你an芳gu丈la纺r娇cr浑os阔s雅se宪ct案io就n塑)

沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.y1nBmAxyzOyA1B1m1可见爆，切瞎应力巷沿截劝面高耗度按狂抛物筑线规筋律变仰化.zτmaxy=±h/2（即弱在横盟截面零上距队中性躁轴最践远处见）t=0y=0（即芳在中防性轴筒上各烧点处判），扑切应过力达慎到最近大值式中，A=bh为矩形截面的面积.z截面摊静矩薪的计武算方锻法A为截悼面面旋积为截面的形心坐标A12.工字适形截饼面梁（工-s棉ec招ti护on逝b厌ea傻m)假设倒求应捆力的闪点到背中性骗轴的铲距离弊为y.研究拳方法杀与矩寇形截扣面同议，切这应力冲的计集算公股式亦贱为Hoyxbzhd—腹板的荷厚度Ozydxy—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.tminozytmaxτmax（a）腹绑板上扣的切捐应力戒沿腹与板高窄度按滚二次蜘抛物雾线规籍律变报化；（b）最驶大切暑应力背也在茶中性岭轴上.这也闹是整亦个横笛截面堂上的既最大聋切应洪力.tmi签ntma补x式中:—中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩.ydzO假设晨：（a）沿腐宽度k-k'上各廊点处狐的切顶应力均汇货交于O'点；（b）各紧点处皮切应六力沿y方向轿的分读量沿宽度记相等.在截卷面边欠缘上抽各点程的切危应力挪的方千向与傍圆周笋相切.3.圆截锹面梁(B风ea漆m胀of掘ci捎rc慕ul穴ar轮c淘ro智ss司s飞ec笨ti密on霜)Ozytmax最大垃切应糊力发玩生在设中性惕轴上ydzO式中为圆截面的面积.4.圆环辟形截边面梁(C饮ir每cu热la罚r闷pi杂pe菌b胆ea委m)图示裹为一直段薄邀壁环迷形截窜面梁.环壁扬厚度挂为

，环隆的平冲均半饲径为r0，由于

«r0故可佛假设（a）横毫截面嗓上切塔应力莲的大宝小沿显壁厚层无变滨化；（b）切瓦应力钱的方惕向与欠圆周川相切.zyr0δ式中A=2

r0

为环赵形截加面的牧面积横截蝇面上勤最大打的切各应力顶发生者中性早轴上蒙，其骄值为zyr0δ二、板强度斩条件（St吩re拌ng康th耻c历on蚀di盒ti乘on）三、征需要恨校核奇切应品力的秩几种献特殊刘情况（1）梁莲的跨更度较曲短，M较小革，而FS较大乏时,要校酿核切耀应力商；（2）铆她接或龄焊接料的组歌合截肿面,其腹否板的故厚度递与高柔度比瓦小于贞型钢的相预应比检值时心，要育校核茅切应稀力；（3）各向轿异性延材料(如木户材)的抗妙剪能蒙力较鲜差，要校榜核切支应力.

ma或xF例题4一简渔易起鸣重设泻备如渔图所子示.起重妄量(包含腔电葫夫芦自逐重)F=扬30kN.跨长l=资5重m.吊车眼大梁AB由20录a工字险钢制烤成.其许蜂用弯徐曲正们应力[

]=尊17异0M迷Pa摇,许用宪弯曲仗切应捉力[

]=氏1艰00耗MP世a，试校备核梁孩的强康度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：榜此吊训车梁斗可简拾化为够简支肝梁，羡力F在梁秆中间晚位置妈时有判最大柿正应卖力.（a）正垂应力里强度贴校核由型钢表查得20a工字钢的所以堂梁的谨最大去正应爸力为+FSmax5mABFC（b）切籍应力致强度炼校核在计灵算最挽大切柔应力子时，绪应取识荷载F在紧占靠任墨一支蓝座例撤如支饥座A处所帜示，贪因为染此时世该支化座的登支反交力最程大，窃而梁供的最夹大切沿应力永也就疼最大.查型嚼钢表济中，20肠a号工旨字钢扶，有d=7mm据此图校核慎梁的撕切应故力强船度以上买两方条面的俱强度爽条件惠都满包足，轿所以北此梁辟是安第全的.例题5简支朱梁AB如图堡所示.l＝2m，a＝0.跑2m惑.梁上励的载晋荷为q为10发kN青/m，F＝20眯0k粮N.材料站的许湿用应据力为[

]=玻16徐0M雷Pa，[

]＝10焦0M六Pa，试童选择舒工字批钢型码号.解：乌（1）计鄙算支窑反力晌做内介力图.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m（2）根汗据最总大弯踪蝶矩选纱择工惧字钢绒型号查型窃钢表嗓，选天用22奔a工字秃钢，挤其Wz＝30控9c弱m3FRAFRB（3）校招核梁溪的切睛应力腹板然厚度d=0竹.7灾5c钓m，由碑剪力负图知煎最大竿剪力旺为21慎0k墙N查表得τma凶x超过[t]很多菠，应苏重新景选择额更大吃的截腥面.现已25登b工字逗钢进评行试壶算查表得d=1cm所以模应选序用型塑号为25方b的工滨字钢.例题6对于慈图中如的吊拴车大讲梁，息现因街移动碗荷载F增加脚为50丛kN，故朽在20第a号工拜字钢浩梁的呜中段姓用两笛块横盯截面厚为12侧0m破m1忙0m零m而长滨度2.标2m搭m的钢伸板加毯强加效强段陶的横粘截面飘尺寸随如图造所示.已知距许用征弯曲旬正应价力[

]=撕15填2M扎Pa，许用睬切应浩力[

]=鸡95黎MP催a.试校注核此里梁的宴强度.2.2m200z22012010解：盼加强雨后的址梁是鞠阶梯黑状变鞠截面号梁.所以别要校族核（3）F移至朋未加痕强的扔梁段辞在截标面变袖化处岛的正游应力.（2）F靠近捷支座绕时支座肌截面旗上的切应筑力；（1）F位于点跨中抄时跨丹中截倦面上的壳弯曲童正应造力；（1）校乒核F位于组跨中铺截面柱时的斜弯曲忽正应凯力查表得20a工字钢62华.5盆kN·m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA最大弯矩值为跨中经截面盲对中农性轴山的惯摆性矩币为200z22012010略去瓦了加钥强板晃对其挣自身或形心紫轴的垒惯性培矩.抗弯截面系数（2）校割核突哲变截网面处燃的正伯应力元，也纺就是裂校核瞎未加应强段迁的正沈应力蛮强度.2.猪2mF1.扯41双m2.阔5m5mABCD1.煤4mFRBFRA50.4kN·m该截洒面上冈的最纳大弯脉矩为从型杆钢表达中查船得20旅a工字忧钢梁不槽能满烫足正叼应力科强度吉条件.为此雷应将谨加强概板适雀当延蚕长.（3）校舰核阶抄梯梁创的切亦应力F靠近旗任一灯支座示时，绸支座些截面塞为不悼利荷皇载位属置请同誓学们尽自行转完成俊计算.§5煎-5提高樱梁强两度的华主要另措施（Me剥as永ur赔es本t拦o会s胡tr码en侧gt