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文档简介
福建省三明市中村中学2021年高二数学文期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.△ABC中三个内角为A、B、C,若关于x的方程有一根为1,
则△ABC一定是()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形参考答案:B2.下列函数中,在上为增函数的是
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B3.如图,平行四边形ABCD中,,若的面积等于,则的面积等于().A. B.
C. D.参考答案:C4.已知P是△ABC所在平面内一点,,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C5.在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为()A. B. C. D.2参考答案:B【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据对应图形,求出对应的面积即可.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,则A(0,1),A到直线y=x﹣1,即x﹣y﹣1=0的距离d=,由得,即C(,﹣),由,得,即B(﹣1,﹣2),则|BC|==,则△ABC的面积S==,故选:B6.在的展开式中,的幂指数是整数的项共有(
)
A3项
B4项
C5项
D6项参考答案:C略7.方程表示一个圆,则实数的取值范围是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)或参考答案:D8.在正方体中,是棱的中点,则与所成角的余弦值为A.
B.
C.
D.参考答案:B略9.若且,则实数m=(
)A.1或-3 B.1或3 C.-3 D.1参考答案:A【分析】令代入,结合题中条件,即可求出结果.【详解】令,由可得,所以或,解得或.故选A【点睛】本题主要考查由二项展开式的系数和求参数,熟记二项式定理即可,属于常考题型.
10.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2参考答案:A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题.【分析】设正三棱锥的侧棱长为b,推出侧棱与底面边长的关系,求出侧棱长,然后求出表面积.【解答】解:设正三棱锥的侧棱长为b,则由条件知b2=a2,∴S表=a2+3××a2=a2.故选A【点评】本题考查棱锥的表面积,考查计算能力,是基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.原点到直线的距离等于 参考答案:12.函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=________.参考答案:1f′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),1<x<3,f′(x)<0;x<1或x>3,f′(x)>0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.13.已知函数,函数(a>0),若存在,使得成立,则实数的取值范围是
。参考答案:14.在等比数列{an}中,若a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,则=.参考答案:2【考点】等比数列的通项公式.【分析】由韦达定理得a3a15=8,由等比数列通项公式性质得:=8,由此能求出的值.【解答】解:∵在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,∴a3a15=8,解方程x2﹣6x+8=0,得或,∴a9>0,由等比数列通项公式性质得:=8,∴=a9=.故答案为:2.【点评】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.15.若两等差数列、的前项和分别为,且,则的值为
参考答案:略16.设x,y,z,且,则的最小值是
。参考答案:17.函数的定义域为__________.参考答案:【分析】根据函数的解析式有意义,得到相应的不等式组,即可求解函数的定义域,得到答案.【详解】由题意,要使此函数有意义,需2x-4≥0,即2x≥22,∴x≥2,所以函数的定义域为[2,+∞)【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解问题,其中解答中根据函数的解析式有意义,列出相应的不等式组是解答此类问题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净,下表是用清水(单位:千克)清洗该蔬菜1千克后,蔬菜上残留的农药(单位:微克)的统计表:
x12345y5854392910
(1)令,利用给出的参考数据求出关于的回归方程.(,精确到0.1)参考数据:,,其中,(2)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量不高于20微克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请估计至少需用用多少千克的清水清洗1千克蔬菜?(精确到0.1,参考数据)附:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.参考答案:(1)由题意得,,.∴(2)由(1)得,∴当时,即,解得所以为了放心食用该蔬菜,估计需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜.19..用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室.(1)若每间办公室刷什么颜色不要求,有多少种不同的粉刷方法?(2)若一种颜色的粉刷3间,一种颜色的粉刷2间,一种颜色的粉刷1间,有多少种不同的粉刷方法?(3)若每种颜色至少用一次,粉刷这6间办公室,有多少种不同的粉刷方法?参考答案:(1)(2);(3).20.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值.(1)求a,b的值;(2)求曲线f(x)在x=0处的切线方程.参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算;利用导数研究函数的极值.【分析】(1)由已知得f′(x)=6x2+6ax+3b,函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值,可得,由此能求出a,b的值.(2)确定切线的斜率,切点坐标,即可求曲线f(x)在x=0处的切线方程.【解答】解:(1)∵函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c,∴f′(x)=6x2+6ax+3b,∵函数f(x)在x=1及x=2取得极值,∴f′(1)=0,f′(2)=0.即,解得a=﹣3,b=4;(2)由(1)得f(x)=2x3﹣9x2+12x+8,f′(x)=6x2﹣18x+12,∴f(0)=0,f′(0)=12.∴切线的斜率k=12.切点为(0,8)由直线方程的点斜式得切线方程为:y﹣8=12x,即12x﹣y+8=0.21.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,若对于区间[1,2]上的任意两个实数,且,都有成立,求实数m的最大值.参考答案:(1)见解析(2).【分析】(1)先求导,再分类讨论,根据导数和函数的单调性的关系即可解决,(2)根据题意可得f(x2)-x22)<f(x1)-x12,构造函数,再求导,再分离参数,利用导数求出函数的最值即可.【详解】(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=x+m+=,m≥0时,f′(x)>0,故m≥0时,f(x)在(0,+∞)递增;m<0时,方程x2+mx+m=0的判别式为:△=m2-4m>0,令f′(x)>0,解得:x>,令f′(x)<0,解得:0<x<,故m<0时,f(x)在(,+∞)递增,在(0,)递减;(2)由(1)知,当m>0时,函数f(x)在(0,+∞)递增,又[1,2]∈(0,+∞),故f(x)在[1,2]递增;对任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2),故f(x2)-f(x1)>0,由题意得:f(x2)-f(x1)<,整理得:f(x2)-<f(x1)-,令F(x)=f(x)-x2=-x2+mx+mlnx,则F(x)在[1,2]递减,故F′(x)=,当x∈[1,2]时,-x2+mx+m≤0恒成立,即m≤,令h(x)=,则h′(x)>0,故h(x)在[1,2]递增,故h(x)∈[,],故m≤.实数的最大值为.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和和最值的关系,通过构造函数,利用函数单调性转化为导函数小于等于0恒成立来求参数范围,考查了的学生的运算能力和转化能力和分类讨论的能力,属于中档题.22.(本小题满分14分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=x2-x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?参考答案:(I)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时,要耗没(×403-×40+8)×2.5=17.5(升).所以,当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5.………5分
(II)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=(x3-x+8)·=x2+-(0<x≤120),
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