陕西省咸阳市市秦都区马泉中学2021年高三数学理测试题含解析

陕西省咸阳市市秦都区马泉中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在复平面内，复数(是虚数单位)对应的点在(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B略2.已知函数在处取得极值，令函数，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框内可填入的条件为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B由题意，，而，解得，故．由程序框图可知，当时，，选B．3.已知命题p：?x＞0，x+≥4；命题q：?x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（） A．p是假命题 B． q是真命题 C． p∧（￢q）是真命题 D． （￢p）∧q是真命题参考答案：解答： 解：对于命题p：∵x＞0，∴x+≥2=4，∴命题p为真命题；对于命题q：∵对?x∈R，2x＞0，∴命题q为假命题，￢q为真命题，故只有选项C为真命题．故选：C．点评： 本题综合考查了复合命题的真假，简单命题的真假判断等知识，属于中档题，解题的关键是：准确理解两个命题的真值情况．4.已知为虚数单位，则=A．0

B．3

C．

D．6参考答案：D5.对于函数，若，都是某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（

）A．不是“可构造三角形函数”B．“可构造三角形函数”一定是单调函数C．是“可构造三角形函数”D．若定义在R上的函数的值域是（e为自然对数的底数），则一定是“可构造三角形函数”

参考答案：D略6.已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为(

) A．3 B．﹣3 C．1 D．参考答案：A考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答： 解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为，则该几何体外接球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则（

）A．直线EF，AO是异面直线 B．直线EF，BB1是相交直线C．直线EF与BC1所成的角为30° D．直线EF，BB1所成角的余弦值为参考答案：C易知四边形为平行四边形，所以直线，相交；直线，是异面直线；直线，所成角的余弦值为，故选项C正确．9.函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有________①;

②;③; ④参考答案：①③④略10.设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（

）①存在一个实数λ，使=λ或=λ；

②|·|=||||；③；

④(+)//(－)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：3C①②④正确，易错选D。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_______________.参考答案：略12.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于10的概率为

．参考答案：13.（理）若实数t满足f(t)＝－t，则称t是函数f(x)的一个次不动点．设函数与反函数的所有次不动点之和为m，则m＝______参考答案：0略14.满足条件∪{1，2}={1，2，3}的集合M的个数是

．参考答案：415.计算:=

.参考答案：-4516.已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________参考答案：0【分析】曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.【详解】由消去得，则，由三角函数的定义得故.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.17.设，，，则的最小值为__________.参考答案：等号成立的条件是.，等号成立的条件是.故所求最小值为8.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）各项均为正数的数列,其前项和为，满足（），且.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）若，令，设数列的前项和为（），试比较与的大小，写出推理过程.参考答案：（Ⅰ）由得，,即………2分又,所以有,所以∴

所以数列是公比为2的等比数列.…………4分由得,解得.故数列的通项公式为……………6分（Ⅱ）因，即数列是首项为,公比是的等比数列…7分所以，

……9分∴随的增大而增大，所以，所以

……11分所以对任意的均有总成立

………12分（说明：学生做差也可以）19.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，过圆O外一点P分别作圆O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，过点A作PC的平行线交圆O于点D，BD的延长线交直线PA于点Q．（1）求证：AB2=PB?AD；（2）若PA=2AQ，AD=，QD=2．求PC的长．

参考答案：（1）见解析（2）【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：（1）证明：∵PO是圆O的切线，AD∥PB，∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，∴△PAB∽△BDA．∴，∴AB2=PB?AD；（2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，∴=∵AD=，QD=2，∴PB=3，QB=6．∵PO是圆O的切线，PA=2AQ，∴PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，∴PC==．【思路点拨】（1）证明△PAB∽△BDA，可得AB2=PB?AD；（2）利用PO是圆O的切线，PA=2AQ，可得PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，结合AD=，QD=2，求PC的长．20.在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求证：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得，即可证明：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为A=2B，所以由正弦定理，得，得，所以a=2bcosB．（Ⅱ）解：由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，因为b=2，c=4，A=2B，所以16cos2B=4+16﹣16cos2B，所以，因为A+B=2B+B＜π，所以，所以，所以．21.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为，直线l2的极坐标方程为，l1与l2的交点为M(I)判断点M与曲线C的位置关系；(Ⅱ)点P为曲线C上的任意一点，求|PM|的最大值．参考答案：22.某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（Ⅰ）请完成此统计表；（Ⅱ）试估计高三年级学生“同意”的人数；（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率．”参考答案：解：（I）被调查人答卷情况统计表：（II）∵由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数（人）（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．

专题：计算题；应用题．分析：（I）根据所给的男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分．（II）根据由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数．（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：（I）被调查人答卷情况统计表：（II）∵由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数（人）（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），