圆中最值问题10种求法

圆中最值问题10种求法在圆中求最值是中考中的常见题型，也是中考中的热点、难点问题。有些学生对求最值问题感到束手无策，主要原因是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活。现在我们对在圆中求最值的方法进行归纳。一、利用对称求最值1.如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上的一动点，求PA+PC的最小值。[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长。解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P。连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E。在△OCD中，因为∠AOC=60°，所以∠D=∠C=30°。在Rt△ODE中cos30°=√3/2，即DE=2×cos30°=√3，所以CD=2DE=2√3。即PA+PC的最小值为2√3。二、利用垂线段最短求最值2.如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3,－2)，⊙A的半径为1，P为x轴上的一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为。[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ。在Rt△PQA中，PQ=PA×sin∠PAQ，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。解：连接PA、QA。因为PQ切⊙A于点Q，所以PQ⊥AQ。在Rt△APQ中，PQ^2=PA^2－AQ^2，即PQ=√(PA^2－AQ^2)。又因为A(－3,－2)，根据垂线段最短，所以PA的最小值为2。所以PQ的最小值为√(2^2－(－2)^2)=2√3。三、利用两点之间线段最短求最值3.如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为()。[分析]：因为圆锥的侧面是曲面，蚂蚁从A爬行到点D不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题。解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB。根据题意得：弧AC的长为2πr=2π×2=4π，PA=6。因为4π=360°，所以n=120°即∠APB=60°。又因为PA=PB，所以△PAB是等边三角形。因为D为PB中点，所以AD⊥PB，PD=DB=3。在Rt△PAD中，AD=√(PA^2－PD^2)=√(6^2－3^2)=3√3，故选C。四、利用直径是圆中最长的弦求最值4.如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值。[分析]：直径是圆中最长的弦，所以当P在弦AB上时，PA+PB最大。解：连接CP，交AB于E。因为BC：CA=4：3，所以CE=4/7×AB，AE=3/7×AB，BE=10/7×AB。因为CE⊥AB，所以CE=CP×sin∠PCE，BE=BP×sin∠PBE。所以PA+PB=AE+BE+BP=3/7×AB+10/7×AB+BP=13/7×AB+BP。因为AB=2.5×2=5，所以PA+PB=13/7×5+BP=90/7+BP。因为P在弦AB上，所以∠CPB=90°，所以BP=PC×tan∠P。所以PA+PB=90/7+PC×tan∠P。因为PA+PB最大，所以PC最小，即PC=2.5，所以∠P的正切值为tan∠P=BP/PC=(PA+PB－90/7)/2.5。9.如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为多少厘米。[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长度最小。[解答]：在Rt△OAP中，AP=4所以AB=2AP=2×4=8因此，过点P的弦AB长度的最小值为8厘米。10.如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为多少厘米，最小值为多少厘米？[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小。[解答]：连接OQ，因为PQ切⊙O于Q，所以OQ⊥PQ。在Rt△