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§1.5、向量函数的积分1、体积分

设D是R3中的一个体积元V，在V中定义的函数。定义（体积分）：设是V的一个分割，，任取点，作和式：当时，若和式的极限存在，且与V的划分与的选取无关，则称这个极限为在V上的积分，记做§1.5、向量函数的积分1、体积分在R3空间，可以表示为：则：在R3空间，可以表示为：则：体积分的计算规则：(1)设为常向量，为数量函数，则：(2)设为常向量，为向量函数，则：(3)设为常向量，为向量函数，则：体积分的计算规则：(1)设为常向量，为数例1：设V是平面和三个坐标平面x=0,y=0

z=0所围的区域，求在V上的体积分。解：如图表示，则：分别计算三个分量的积分，首先：例1：设V是平面和同理：最后得：同理：最后得：2、曲面积分

设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面，我们可以定义沿一侧的积分。定义(曲面积分)：设在空间曲面上有定义，为的任意一个分割，记，任取点，作和式：当时，若和式的极限存在，且与的划分与的选取无关，则称这个极限为在上的积分，记做2、曲面积分在R3空间，可以表示为：若的法向量的单位向量为：则：所以：在R3空间，可以表示为：若例2：设是平面和三个坐标平面所围的闭曲面，求沿的外侧的曲面积分。解：如图表示，是分别表示三角形

OAB,OBC,OCA所围平面，代表ABC的所围三角形，则：对于，z=0，dz=0，则：同理：例2：设是平面对于，则：而：对于，则：而：所以：同理：最后得：所以：同理：最后得：例3：设是球面，求沿球面外侧的积分。解：对于球面来说，其任意点的法向分量为所以，沿球面外侧的积分为：例3：设是球面3、曲线积分

设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线，我们可以定义在曲线上的积分。定义(曲线积分)：设为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲线，任取分段点，把分成n个有向线段，定义，记，任取点，作和当，和式的极限存在且和曲线的划分与的选取无关，则称这个极限为沿曲线的曲线积分，记作3、曲线积分在R3空间，可以表示为：若的法向量的单位向量为：则：所以：在R3空间，可以表示为：若例4：设为平面与三个坐标平面的交线所围的闭曲线，曲线方向如图所示，求函数沿曲线正向的积分。解：由围成，

例4：设为平面同理：最后得：对于，z=0，dz=0，则：同理：最后得：对于4、Gauss公式和Stokes公式Gauss公式：设空间曲面是分片光滑的双侧闭曲面，其内部区域记为，设函数在和上连续，在内具有一阶偏导数，则：Stokes公式：设空间曲面是光滑的有界曲面，其边界l是一条分段光滑的闭曲线，设函数在和l上连续，在上具有一阶偏导数，则：4、Gauss公式和Stokes公式Gauss公式：设空间曲总结1、体积分体积分的定义体积分公式：2、面积分总结1、体积分3、线积分

4、Gauss公式和Stokes公式3、线积分作业：(1)设l为正向圆周，向量，求积分(2)设运动路径，端点

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