中考数学真题：2020年长春市初中学业水平考试

2020年长春市初中毕业学业水平考试数学一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()第1题图A.－1B.－1.5C.－3D.－4.22.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入运营使用.79000这个数用科学记数法表示为()A.79×103B.7.9×104C.0.79×105D.7.9×1053.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()4.不等式x＋2≥3的解集在数轴上表示正确的是()5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D.通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是()A.sinA＝eq\f(BD,AB)B.cosA＝eq\f(AB,AD)C.tanA＝eq\f(AD,BD)D.sinA＝eq\f(AD,AB)第5题图6.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为()A.40°B.140°C.160°D.170°第6题图7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD.下列说法不一定正确的是()A.∠BDN＝∠CDNB.∠ADC＝2∠BC.∠ACD＝∠DCBD.2∠B＋∠ACD＝90°第7题图8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)，AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的一点，连结AC.点P在线段AC上，且AP＝2PC.函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象经过点P.当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是()A.0＜k≤2B.eq\f(2,3)≤k≤3C.eq\f(2,3)≤k≤2D.eq\f(8,3)≤k≤4第8题图二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费________元.10.分解因式：a2－4＝________．11.若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为________．12.正五边形的一个外角的大小为________度．13.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作eq\o(AD,\s\up8(︵))，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为________．(结果保留π)．第13题图14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2)，若抛物线y＝－eq\f(3,2)(x－h)2＋k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD＝eq\f(1,2)AB，则k的值为________．第14题图三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.(6分)先化简，再求值：(a－3)2＋2(3a－1)，其中a＝eq\r(2).16.(6分)现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神州首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．(图案为“神州首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B)．第16题图17.(6分)图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC.要求：(1)在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；(2)三个图中所画的三角形的面积均不相等；(3)点C在格点．第17题图18.(7分)在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证．绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力．今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19.(7分)如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.(1)求证：OE＝OF;(2)若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．第19题图20.(7分)空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014－2019年长春市空气质量级别天数统计表空气质量级别天数(天)年份优良轻度污染中度污染重度污染严重污染2014302157328136201543193871915820165123758155020176521162169220181232023901020191261803816502014－2019年长春市空气质量为“达标”和“优”的天数折线统计图第20题图根据上面的统计图表回答下列问题：(1)长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是________年．(2)长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为________天．平均数为________天．(3)长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是________年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为________．(精确到1%)(空气的质量为“优”的天数的年增长率＝eq\f(今年空气质量为“优”的天数－去年空气质量为“优”的天数,去年空气质量为“优”的天数)×100%)(4)你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21.(8分)已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)甲车的速度为______千米/时，a的值为______；(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式；(3)当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．第21题图22.(9分)【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD(AB＞AD)，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处(点Q在点C的左侧)，如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠，如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则eq\f(AD),\s\do5(AB))＝________．第22题图23.(10分)如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点P从点A出发，沿折线AB－BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ交AC于点E，连接DP、DQ.设点P的运动时间为t秒．(1)当点P与点B重合时，求t的值．(2)用含t的代数式表示线段CE的长．(3)当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．(4)如图②，取PD的中点M，连接QM，当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．第23题图24.(12分)在平面直角坐标系中，函数y＝x2－2ax－1(a为常数)的图象与y轴交于点A.(1)求点A的坐标．(2)当此函数图象经过点(1，2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．(3)当x≤0时，若函数y＝x2－2ax－1(a为常数)的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．(4)设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(－1，－1)、F(－1，a－1)、G(0，a－1)．当函数y＝x2－2ax－1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一交点为P′(P′与P不重合)，过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′，若AA′＝2PP′，直接写出a的值．第24题图

2020长春市中考数学试题解析1.C【解析】设被叶子盖住的点表示的数为x，则－4＜x＜－2，则表示的数可能是－3.故选C.2.B【解析】将一个大于10的数用科学记数法表示，其形式为a×10n，其中1≤a<10，n的值为原数的整数位数减1，∴79000＝7.9×104.故选B.3.A【解析】四棱柱的侧面展开图是矩形．故选A.4.D【解析】解不等式得x≥1，在数轴上表示如选项D所示．5.A【解析】根据三角函数的定义可知：sinA＝eq\f(BD,AB).故选A.6.B【解析】∵∠BDC＝20°，∠BOC＝2∠BDC，∴∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°－40°＝140°.故选B.7.C【解析】由作图步骤可知，MN垂直平分BC，∴BD＝CD，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，故选项A正确；又∵BD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∵∠ADC是△BCD的一个外角，∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝2∠B，故选项B正确；∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴2∠B＋∠ACD＝90°，故选D正确；∵CD不一定平分∠ACB，∴∠ACD不一定等于∠DCB，故选项C错误．故选C.8.C【解析】如解图，过点P，作PD⊥x轴于点D，∵AB⊥x轴，∴PD∥AB，∴eq\f(PD,AB)＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(PC,AC)，∵AP＝2PC，∴AC＝3PC，即eq\f(PC,AC)＝eq\f(1,3)，∵点A(3，2)，∴AB＝2，∴eq\f(PD,2)＝eq\f(1,3)，∴PD＝eq\f(2,3)；当点C与点O重合时，则BC＝3，∴CD＝1，此时点P的坐标为(1，eq\f(2,3))，∴k＝1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)；当点C与点B重合时，点P的坐标为(3，eq\f(2,3))，∴k＝3×eq\f(2,3)＝2；∴k的取值范围是eq\f(2,3)≤k≤2.第8题解图9.30m＋15n【解析】根据题意得，购买m张成人票需花费30m元，购买n张儿童票需花费15n，∴共需花费(30m＋15n)元．10.(a＋2)(a－2)【解析】原式＝a2－22＝(a＋2)(a－2)．11.1【解析】根据题意得b2－4ac＝(－2)2－4×1×m＝4－4m＝0，解得m＝1.12.72【解析】正五边形的一个外角的度数＝eq\f(360°,5)＝72°.13.π－2【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴∠C＝45°，AC＝2eq\r(2)，∴阴影部分的面积＝eq\f(45×π×（2\r(2)）2,360)－eq\f(1,2)×2×2＝π－2.14.eq\f(7,2)【解析】∵点A的坐标(0，2)，点B的坐标(4，2)，∴AB＝4，∵CD＝eq\f(1,2)AB，∴CD＝2，设点C的坐标为(a，2)，则点D的坐标为(a＋2，2)，∴抛物线y＝－eq\f(3,2)(x－h)2＋k的对称轴为x＝a＋1，∴h＝a＋1，把点C(a，2)代入得2＝－eq\f(3,2)(a－a－1)2＋k，解得k＝eq\f(7,2).15.解：原式＝a2－6a＋9＋6a－2，＝a2＋7，当a＝eq\r(2)时，原式＝(eq\r(2))2＋7＝2＋7＝9.16.解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“保卫和平”的结果有1种，∴P(两张都是“保卫和平”)＝eq\f(1,9)，答：两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是eq\f(1,9).17.解：如解图所示，即为所求△ABC.(答案不唯一)第17题解图图①中△ABC是钝角三角形，面积为eq\f(1,2)，图②中△ABC是直角三角形，面积为1，图③中△ABC是锐角三角形，面积为eq\f(3,2).18.解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，根据题意得eq\f(360,3x)－eq\f(80,x)＝20，解得x＝2，经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19.解：(1)证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD的交点为O，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC,∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE＝OF.(2)由(1)知OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵∠BEO＝90°，BE＝5，∴tan∠OBE＝eq\f(OE,BE)＝eq\f(2,5).20.解：(1)2018；【解法提示】由折线统计图，可以看出2018年的达标天数最多；(2)7，8；【解法提示】将2014年—2019年重度污染的天数按照从小到大的顺序排列为：1，5，5，9，13，15，第3和第4个数据分别是5和9，∴中位数为7；x＝eq\f(1,6)×(1＋5＋5＋9＋13＋15)＝8.(3)2018，89%；【解法提示】从折线统计图中，可以看到2018年空气质量为“优”天数增长快，比2017年空气质量为“优”的天数增加了58天；空气质量为“优”的天数的增长率＝eq\f(123－65,65)×100%≈89%.(4)2018年空气质量好．理由：2018年空气质量达标天数最多，严重污染和中度污染天数为0，重度污染天数最少．21.解：(1)40，480【解法提示】甲车的速度为80÷2＝40千米/时；a＝240×2＝480；(2)根据函数图象，可知乙车出发后，y与x是一次函数关系，设乙车出发后，y与x的函数关系式为y＝kx＋b，把点(2，80)，(6，480)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝80,6k＋b＝480))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝100,b＝－120))，∴乙车出发后，y与x的函数关系式为y＝100x－120；(3)由题意知，乙车的速度为240÷(6－2)＝60千米/时，设甲车出发x小时后，甲、乙两车相距100千米，根据题意得：40x＋60(x－2)＝240－100或40x＋60(x－2)＝240＋100，解得x＝eq\f(13,5)或x＝eq\f(23,5)，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶了eq\f(13,5)小时或eq\f(23,5)小时．22.解：【问题解决】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由折叠的性质可得：AD＝ED，∠A＝∠DA′E＝90°，∴四边形ADA′E是矩形，又∵AD＝ED，∴四边形ADA′E是正方形．【规律探索】△PQF是等腰三角形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由折叠的性质可得：∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴PQ＝FQ，∴△PQF是等腰三角形．【结论应用】eq\f(\r(3),5).【解法提示】∵四边形PGQF是菱形，∴PQ＝PF，又∵PQ＝FQ，∴PQ＝FQ＝PF，∴△PQF是等边三角形，∴∠PFQ＝60°，∴∠PFD＝120°，由折叠性质得：∠PFD′＝∠PFD＝120°，∠A＝∠D′，AD＝D′Q，DF＝FD′，∴∠D′FQ＝∠PFD′－∠PFQ＝120°－60°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，CD＝AB，∴∠D′＝90°，设FQ＝a，∴FD′＝eq\f(1,2)a，D′Q＝eq\f(\r(3),2)a，∴DF＝eq\f(1,2)a，AD＝eq\f(\r(3),2)a，∵QC＝PQ，∴QC＝FQ＝a，∴AB＝CD＝DF＋FQ＋QC＝eq\f(5,2)a，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(\f(\r(3),2)a,\f(5,2)a)＝eq\f(\r(3),5).23.(1)当点P与点B重合时，5t＝4.解得t＝eq\f(4,5).(2)在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，sinA＝eq\f(3,5)，cosA＝eq\f(4,5).如图①，当点P在AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP·cosA＝4t.∴CE＝AC＋AE＝5－4t.如图②，当点P在BC上时，在Rt△PCE中，PC＝7－5t，cosC＝sinA＝eq\f(3,5).∴CE＝PC·cosC＝eq\f(3,5)(7－5t)＝eq\f(21,5)－3t.(3)先考虑临界值等腰直角三角形PDQ，那么PE＝DE.如图③，当点P在AB上时，在Rt△APE中，PE＝AP·sinA＝3t.而DE＝AC－AE－CD＝5－4t－2t＝5－6t，由PE＝DE，得3t＝5－6t.解得t＝eq\f(5,9).如图④，当点P在BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC·sinC＝eq\f(4,5)(7－5t)＝eq\f(28,5)－4t.而DE＝CD－CE＝2t－eq\f(3,5)(7－5t)＝5t－eq\f(21,5)，由PE＝DE，得eq\f(8,5)－4t＝5t－eq\f(2,5)，解得t＝eq\f(49,45).再数形结合写结论．当△PDQ为锐角三角形时，0<t<eq\f(5,9)，或eq\f(53,50)<t<eq\f(7,5).第23题解图(4)t的值为eq\f(5,18)或eq\f(6,5).【解法提示】如饥解图⑤，当点P在AB上时，延长QM交BC于点N.作QG⊥AB于G，作DH⊥BC于H.由QM∥AB，M是PD的中点，可知N是BH的中点．在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝eq\f(4,5)PQ＝eq\f(24,5)t.在Rt△DCH中，HC＝eq\f(3,5)DC＝eq\f(6,5)t.由BC＝BH＋HC＋HC＝eq\f(24,5)t＋eq\f(24,5)t＋eq\f(6,5)t＝3，解得t＝eq\f(5,18).如图⑥，当点P在BC上时，作PK⊥QM于K.由Q