中考数学真题：2019年吉林初中学业水平考试

吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学试题一、单项选择题(每小题2分，共12分)1.如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为()第1题图A.3B.2C.1D.－12.如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为()3.若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是()A.a＋1B.a－1C.a×1D.a÷14.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为()A.30°B.90°C.120°D.180°第4题图5.如图，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为()第5题图A.30°B.45°C.55°D.60°6.曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更了地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是()A.两点之间，线段最短B.平行于同一条直线的两条直线平行C.垂线段最短D.两点确定一条直线第6题图二、填空题(每小题3分，共24分)7.分解因式：a2－1＝________.8.不等式3x－2>1的解集是________．9.计算：eq\f(y,2x2)·eq\f(x,y)＝________.10.若关于x的一元二次方程(x＋3)2＝c有实数根，则c的值可以为________(写出一个即可)．11.如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC.若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝________°.第11题图如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD.若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为________．第12题图13.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这楼的高度为________m.14.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°.D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在eq\o(AB,\s\up8(︵))上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是________(结果保留π)．第14题图三、解答题(每小题5分，共20分)15.先化简，再求值：(a－1)2＋a(a＋2)，其中a＝eq\r(2).16.甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢．用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．第16题图17.已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6.(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x＝4时，求y的值．18.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE，DF.求证：△ABE≌△CDF.第18题图四、解答题(每小题7分，共28分)19.图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A，B，C，D均为格点．按下列要求画图；(1)在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；(2)在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°.第19题图20.问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂，如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？第20题图反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________(填写序号)．(1)bc＋d＝a;(2)ac＋d＝b;(3)ac－d＝b.21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°，求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1cm)．(参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)第21题图22.某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．(1)该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分区域居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是________；(2)该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查，供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项，现根据调查结果绘制如下统计图．请根据统计图回答下列问题：第22题图①这次接受调查的居民人数为________人；②统计图中人数最多的选项为________；③请你估计该地区城区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题(每小题8分，共16分)23.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y(km)与各自行驶的时间x(h)之间的关系如图所示．(1)m＝________，n＝________；(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．第23题图24.性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________．第24题图理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8＋4eq\r(3)，则它的面积为________；(2)如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH.①求证：∠EFG＋∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________(用含α的式子表示)．六、解答题(每小题10分，共20分)25.如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为BC上一点，BE＝AB，连接AE.动点P，Q从点A同时出发，点P以eq\r(2)cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD－DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x(s)，在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2)．(1)AE＝________cm，∠EAD＝________°；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当PQ＝eq\f(5,4)cm时，直接写出x的值．26.如图，抛物线y＝(x－1)2＋k与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0，－3)，P为抛物线上一点，横坐标为m，且m>0.(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．第26题图

eq\a\vs4\al\co1(2019年吉林省卷数学解析)一、单项选择题1.D【解析】蝴蝶在数轴上原点的左侧，则其所在点表示的数为负数，故选D.2.D【解析】俯视图为从上向下观察物体得到的视图，该几何体俯视图如选项D所示．3.B【解析】逐项分析：选项逐项分析正误Aa＋1＞a×Ba－1＜a√Ca×1＝a×Da÷1＝a×4.C【解析】∵360°÷3＝120°，∴至少需要旋转120°.5.B【解析】∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝100°.又∵∠AOP＝55°，∴∠BOP＝100°－55°＝45°.6.A【解析】∵线段AB比折线AB短，∴原理为两点之间，线段最短．二、填空题7.(a＋1)(a－1)8.x＞1【解析】解3x－2＞1，则3x＞3，解得x＞1.9.eq\f(1,2x)【解析】eq\f(y,2x2)·eq\f(x,y)＝eq\f(1,2x).10.任意一个非负数皆可【解析】∵一元二次方程(x＋3)2＝c有实数根，(x＋3)2≥0，∴c≥0.11.60【解析】∵BC∥DE，∴∠CED＝∠C＝50°，∵∠BAC＝70°，∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝60°.12.20【解析】∵BD⊥DA，且点E为AB的中点，∴DE＝BE＝eq\f(1,2)AB.∵△BCD沿BD翻折后与△BED重合，∴DE＝BE＝BC＝CD＝5.∴四边形BCDE的周长为20.13.54【解析】同一时刻，竹竿和楼的影子为平行投影关系，则eq\f(竹竿高,竹竿影长)＝eq\f(楼高,楼影长)，即eq\f(1.8,3)＝eq\f(楼高,90)，解得楼高为54m.14.25π－48【解析】如解图，连接OC，∵四边形ODCE为平行四边形，且∠DOE＝90°，∴四边形ODCE为矩形．在Rt△ODC中，OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(82＋62)＝10，∴S阴影＝S扇形OAB－S四边形ODCE＝eq\f(1,4)π×102－8×6＝25π－48.第14题解图三、解答题15.解：原式＝a2－2a＋1＋a2＋2a(2分)＝2a2＋1.(3分)当a＝eq\r(2)时，原式＝2×(eq\r(2))2＋1＝5.(5分)16.解：根据题意，画树状图如下：第16题图(3分)由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有4种，且取出的扇子和手绢都是红色的结果有1种，所以P(扇子和手绢都是红色)＝eq\f(1,4).(5分)【一题多解】根据题意，列表如下：甲结果乙红扇子绿扇子红手绢(红扇子，红手绢)(绿扇子，红手绢)绿手绢(红扇子，绿手绢)(绿扇子，绿手绢)(3分)由表可以看出，所有等可能出现的结果共有4种，且取出的扇子和手绢都是红色的结果有1种，所以P(扇子和手绢都是红色)＝eq\f(1,4).(5分)17.解：(1)设y＝eq\f(k,x).(1分)∵x＝2时，y＝6.∴6＝eq\f(k,2).(2分)解得k＝12.∵y＝eq\f(12,x).(3分)(2)把x＝4代入y＝eq\f(12,x)，得y＝eq\f(12,4)＝3.(5分)18.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.(2分)由作图，得AE＝CF，(3分)∴△ABE≌△CDF.(5分)19.解：答案不唯一，以下答案供参考．(1)(3分)第19题解图①(2)(7分)第19题解图②20.解：设竹签有x根，山楂有y个．(1分)根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋4＝y，,8（x－7）＝y.))(3分)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝104.))(5分)答：竹签有20根，山楂有104个．【一题多解】设竹签有x根．(1分)根据题意，得5x＋4＝8(x－7)．(3分)解得x＝20.5x＋4＝5×20＋4＝104.(5分)答：竹签有20根，山楂有104个．反思归纳(2)21.解：如解图，过点C作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90°.(1分)在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，∵cos∠CAF＝eq\f(AF,AC)，(3分)∴AF＝AC·cos∠CAF＝30cos43°＝30×0.73＝21.9.(5分)∴CE＝BF＝AB＋AF＝170＋21.9＝191.9≈192(cm)．(7分)第21题解图∴花洒顶端C到地面的距离CE约为192cm.22.解：(1)方案三(2分)(2)①1000(4分)②手机(5分)③80×eq\f(260＋400,1000)＝52.8(万人)．∴该地区城区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数约为52.8万人．(7分)23.解：(1)4，120(2分)(2)设y关于x的函数解析式为y＝kx(0≤x≤2)．∵图象过(2，120)∴2k＝120.解得k＝60.∴y关于x的函数解析式为y＝60x.(4分)设y关于x的函数解析式为y＝k1x＋b(2≤x≤4)．∵图象过(2，120)，(4，0)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k1＋b＝120，,4k1＋b＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－60，,b＝240.))∴y关于x的函数解析式为y＝－60x＋240.(6分)∴y关于x的解析式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60x（0≤x≤2）,－60x＋240（2≤x≤4）))，(3)当x＝3.5时，y＝－60×3.5＋240＝30.∴当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km。(8分)24.解：性质探究eq\r(3)(2分)理解运用(1)4eq\r(3)(3分)(2)①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，(5分)∴∠EFG＋∠EHG＝∠EGF＋∠EGH＝∠FGH.(6分)②5eq\r(3)(7分)类比拓展2sinα(8分)25.解：(1)3eq\r(2)，45(2分)(2)当0＜x≤2时，如解图①，过点P作PF⊥AD于点F.第25题解图①∵AP＝eq\r(2)x，AQ＝2x，∴PF＝AP·sin45°＝x.∴y＝eq\f(1,2)AQ·PF＝eq\f(1,2)×2x·x＝x2，即y＝x2.(4分)第25题解图②当2＜x≤3时，如解图②，连接PD.∵DQ＝2x－4，DF＝4－x，∴y＝S△DAP＋S△DPQ＝eq\f(1,2)AD·PF＋eq\f(1,2)DQ