《关于一道几何概型题的讨论与思考》

-1-关于一道几何概型题的讨论与思考前段时间，在本市中学数学教师微信群中讨论了一道概率题，题目如下：如图1，已知等腰RT∆ABC中，∠C=图1（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM有位老师提出这样的疑惑：“请教各位老师，这道题为什么一个用长度另一个用角度测量?”，也许是问题不够具体，微信群中的讨论并不热烈，仅收到两条有效回复，现摘抄如下：回复一：“第一个是几何概型中的长度之比，第二个是角度之比，问题方向不一样”；回复二：“我觉得应该是研究对象不一样，（1）是点M，它的运动轨迹是一条线段；（2）是射线扫过的面积，类似于一个扇形，半径相同的情况下，面积之比即圆心角之比”.暂时对两条回复不做评价，以上讨论引起了我的兴趣，我将这个题目收藏，利用晚自习给自己所带两个班级的学生测试了一下，其中甲班给出了完整的两小题，乙班去掉了第（1）小题，只给出第（2）小题.结果收上来发现效果完全不一样，甲班学生两小题基本上都正确，但乙班效果就差一些.在批阅过程中，发现了乙班同学的三种主要解法，整理如下：解法一：如图2，设AC=BC=1，在线段BC上取一点D，使∠CAD=30°.在RT∆ACD中,CD=AC∙tan30°=33.由条件，点MPA图2解法二：如图2，在线段BC上取一点D，连接AD，使得∠CAD=30°，记事件“∠CAM<30°”为事件A,由条件可知，所有基本事件是以点A为端点在∠CAB内所作的射线AM,经过的角度为45°，而所求事件A包含的基本事件是从解法三：设AC=BC=a，记事件“∠CAM<S∆ACM=P简单的统计了一下，乙班48位同学中选用解法一的有27人，选用解法二的有17人，解法三的有4人.第（2）小题的正确解法应是解法二，但为什么会有这么多学生选用解法一，我觉得非常有必要去了解一下他们的想法.先请三种解法的学生代表将各自解答过程在黑板上板演出来.我：同学们，黑板上三位同学的解法有什么区别吗？底下学生你一句我一句，“方向不一样”、“角度不一样”、“这是与角度有关的”、“这是与面积有关的”.我：这题正确解答是解法二，解法一与解法三是错误的.很多选择解法一的同学激动了，急切的想知道这是为什么，我没有直接回答，而是转身将原题完整的呈现出来，让他们仔细阅读这两小题，再进行比较.我继续问：两小题中的随机试验是什么？基本事件又是什么？学生A（解法二）：第（1）小题中的随机试验是在线段BC上随机取点，基本事件是线段BC上的点M；而第（2）小题的试验是在∠CAB内所作的射线AM，基本事件是∠CAB内以A为端点射线A学生B（解法一）：虽然基本事件不同，但它们之间应该是等价的.因为一条射线AM就对应线段BC上的一个点M你们能帮助B同学将这个问题解释一下吗？此刻，其他同学几乎表现出了和学生B同样的困惑.我没有直接回答这个问题,而是在图2中增加了一条线段CE交AB于E、交AD于F，并解释：如图3所示，射线AM与线段CF的交点个数等于其与CD的交点数，同样射线AM与线段CB的交点个数等于其与CE图3学生顿悟，这显然是不对的.学生的困惑看似解决了，但为什么会有这么多学生出现相同的错误，值得我去一探究竟，仔细梳理一下，不难发现主要有以下三个方面的原因：首先是基本事件的确定失误，概率是建立在随机试验之上，面对一个概率问题，首先要明确其试验条件，知道试验内容，如何去操作，要能够准确把握好试验本质及试验可能的结果.原试题表达无任何问题，题（1）是在线段BC上任取一点M，基本事件是线段BC上的点M，题（2）是在∠CAB内作射线AM，基本事件是∠CAB内以A为端点的射线A其次是“数量关系”的理解有误，课堂上，我通过在图中增加一条线段CE解答了学生B的疑惑，但我心里还是不安的，因为我没有直接回答“为什么两小题中基本事件数量相同，但最后结果不一样？”这一核心问题.要弄清这个问题，我们先要正确理解“数的关系”与“量的关系”.“数”是由度量产生的，具有主观性，可以人为改变.“量”是事物的一种能度量的属性，是一种客观存在，不随人的意志改变而改变，是一种测度(长度、面积、体积或角度)关系.学生B认为两小题中的基本事件“数量相同”，这儿的“数量相同”是指在∠CAB内所作射线AM的条数与线段BC上点M最后是对几何概型理解有误，从古典概型到几何概型，从有限到无限，学生对几何概率模型理解重点还是停留在基本事件“个数”上，而非相关测度的“大小”上，出现这种结果的主要原因归根结底还是对几何概型中的“等可能性”理解存在偏差.这里的“等可能”意义可以这样去理解：向面积为SΩ的区域Ω等可能的随机投点，设在区域Ω中有一个面积为SA的小区域A，则点落入区域A中的可能性大小与SA经过交流讨论，问题基本解决了，通过这件事，也引发了我的一些思考.我们平时的教学是否有缺憾？几何概型相对于古典概型难度较大，而教材上的内容又比较简单.我们在平时的教学中可能更多关注的是试验结果有限还是无限，是不是等可能的.面对随机试验，急于确定是古典概型还是几何概型，或是其它概率模型，若是几何概型，关注其是与长度、面积、体积还是角度有关.基本上是教给学生一些事实，而思想方法的澄清几乎空白.学生能理解概率是建立在随机试验之上吗？基于学生现阶段的认知水平，能理解几何概型吗？可能会出现哪些疑点与困惑？我们又该如何去克服？作为教师，是否对所教内容做到了心中有数？是否对自己所教学生的理解能力有一定的判断？能否做到在理解教学的基础上对授课内容进行有效设计，并能及时做好反馈与评价工作？我们的专业知识是否扎实？在人教A版教材主编寄语中提到“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，但什么是数？什么是量？数和量是什么关系？在现行的教材中均无专业解答，很多老师对它们的理解还是有偏差的，亦或没有意识去关注它们的差异，进而导致我们的学生不能正确去研究、分析数量关系.所以，弄清“数量关系”是数学教学中一个非常重要和关键的问题，值得关注，特别是数学专业教师要在平时的教学中注意培养学生的“数感”.通过对这一问题研究，使我意识到要加强业务学习，努力提升自己专业水平必要性.教材内容安排是否科学？几何概型安排在古典概型之后，这是新增内容.学习几何概型主要是为了解决随机模拟的需要，课标要求仅限于初步体会几何概型的意义，但受教学条件所限，在平时的教学中信息技术与教学内容整合不到位，随机模拟试验做的少,这部分内容给人的感觉是为了解决计算而计算，相应的拓展、延伸内容也是围绕几何概型的计算而进行的，学生建立概念体系较困难.为了更好的理解和计算概率，个人觉得在现行教材基础上有必要引入样本空间、事件域、概率空间等概念，这样就可以用样本空间、事件域、概率三者去描述一个随机试验的数学模型.对于给