上海市嘉定区某学校2022-2023学年数学高一年级上册期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1.函数f（x）=|x-2Hnx在定义域内零点的个数为（）

A.OB.1

C.2D.3

2.在R上定义运算。：AQB=A（1-B）,若不等式（1一。）。（*+“）<1对任意的实数xGR恒成立，则实数a的取值范

围为（）

A.—l<a<lB.0<a<2

_1331

2222

3.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，SAJ_平面ABC,ABJ_BC且AB=BC=LSA=J^,则球0的表面积

是（）

3

A.4;rB.-万

4

4

C.3万D.一71

3

4.已知。=logs；,-05

b=log2V3,c=O.3,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<hD.h<c<a

5.已知角a满足2cos2a=cos1?+a）N0,则sin2a=

17

A——B.—

88

17

c.—D.-

88

6.圆炉+炉―4x+6y=0和圆始+产―6*=0交于A,8两点，则A8的垂直平分线的方程是（）

A.x+j+3=0B.2x—j—5=0

C.3x—y—9=0D.4x-3j+7=0

7.下列说法不正确的是（）

A.奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点B.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交

C.若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为4毛，则为+%=()D.若奇函数的图象与y轴相交，交

点不一定是原点

8.若函数“X)的定义域为。，满足：①/(x)在D内是单调函数；②存在区间，使/(x)在目上的值域为,

则称函数“X)为"O上的优越攵函数”.如果函数/(力=一凶+2是“(O,+8)上的优越攵函数”，则实数攵的取值范

围是()

A.(―1,0)

B.[-1,0)

C.(0,1]

D.(0,1)

9.log63-log96=()

1

A.-B.3

3

10.已知某种树木的高度/⑺(单位：米)与生长年限f(单位：年，twNQ满足如下的逻辑斯谛(Logistic)增长

6

模型：/(O=1+eo,5,+2＞其中e为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0,则该种树木生长至3米高时，大约经过

的时间为()

A.2年B.3年

C.4年D.5年

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

冗(4

11.已知一＜a＜»,且cos]a—■———,贝(Jcosa的值为____

216)5

12.古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，

并称之为“无字证明”.如图，0为线段A3中点，C为A3上异于。的一点，以A3为直径作半圆，过点C作A3的

垂线，交半圆于O,连结过点C作。。的垂线，垂足为E.设AC=a,CB=b,则图中线段

0D=^-=x,线段。。=疝=丁，线段_______=¥=z；由该图形可以得出入，%z的大小关系为

2a+b

D

AB

13.给出下列四个命题：

TT

①函数y=2sin(2x—y)的一条对称轴是x=；

②函数尸tanx的图象关于点(1,0)对称；

③正弦函数在第一象限内为增函数；

3

④存在实数a,使sina+cosd=—.

2

以上四个命题中正确的有—(填写正确命题前面的序号).

14.声强级L(单位：dB)由公式L=101g(6］给出，其中I为声强(单位：W/n?).声强级为60dB的声强是声

强级为30dB的声强的倍.

15.已知0<a<5</?<兀，cos(/?-?)=g,sin(a+夕)=.,贝|jsin(a+?)=,

16.一个扇形周长为8,则扇形面积最大时，圆心角的弧度数是.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n57r

(2)用“五点法”做出/(x)在区间「二的简图

66

18.在AABC中，角A8,C所对的边分别为a,满足好吊3=舟854.

(1)求角A的大小

(2)若a=A,且〃+。2=23,求AABC的面积

19.函数/(x)的定义域为O,若存在正实数k,对任意的xe。，总有I/(x)-f(-x)\<k,则称函数f\x)具有性质P(k).

(D判断下列函数是否具有性质P(D,并说明理由.

①f(x)=2021；②g(x)=x；

(2)已知/(x)为二次函数，若存在正实数匕使得函数Ax)具有性质P(Z).求证：f(x)是偶函数；

(3)已知a>0,左为给定的正实数，若函数.7"(%)=1<岖2(4、。)一》具有性质「(口，求”的取值范围.

20.已知函数J.(x)=sinx+GCOSX

(1)求不等式/(x)Wl的解集；

(2)将“X)图像上所有点的横坐标缩短为原来的搭(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移g个单位长度，得到函

数g(x)的图像.求g(x)在区间一不三上的值域

TTTT

21.在①两个相邻对称中心的距离为一，②两条相邻对称轴的距离为不，③两个相邻最高点的距离为乃，这三个条件

22

中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解

问题：函数./1(%)=以%(5+0)(3>0,0<火<])的图象过点(0,；),且满足.当ae]。,1时，

求sina的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1、C

【解析】分别画出函数y=lnx(x>0)和y=|x—2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.

2、C

【解析】根据新定义把不等式转化为一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得结论

【详解】V(x—a)O(x+a)=(x—a)(l—X—a),

，不等式(x—a)O(x+a)<L

即(x—a)(l—x-'aKl对任意实数x恒成立，即X2—X—a2+a+1>0对任意实数x恒成立，

所以A=l-4(-a2+a+l)<0,

解得一彳<a<—,

22

故选:C.

3、A

【解析】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，

VSAJ_平面ABC,SA=72.AB±BC且AB=BC=1,

.,.AC=Vi+T=>/2，SA_LAC,SB±BC,

SC=j2+2=2•,•球O的半径R=；SC=1...球。的表面积S=47rR2=4k

故选A

点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键

4、B

【解析】利用函数单调性及中间值比大小.

【详解】a=log3<log31=0,h=log2V3>log21=OKh=log2V3<log,2=1,故

c=OL>0.3°=1，

故avbvc.

故选：B

5、B

【解析】2cos2cr=cos(f+a)

2(cos2a-sin2a)-2(cosa+sina)(cosa-sina)一堂(cosa-sina)00,

••cosa+sma=——，

4

两边平方整理得l+2sinacos==l+sin2a=-,

8

7

•••sin2a=—♦选B

8

6、C

【解析】两圆公共弦的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆的圆心，从而可得答案.

【详解】解：A3的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，

圆好+产―4x+6y=0的圆心为(2,-3),

圆好+产-6x=0的圆心为(3,0),

则两圆圆心所在直线的方程为*过=£匚，即3x-j-9=0.

0+33-2

故选：C.

7、D

【解析】对于AB,举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可

【详解】对于A,/(幻=，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确，

X

对于B,/'(>)=二是偶函数，其图象关于)'轴对称，但与y轴不相交，所以B正确，

x~

对于C,若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为4当，则两个交点关于)'轴对称，所以％+々=()，

所以C正确，

对于D,若奇函数与y轴有交点，则/(0)=-/(-0),故/'(0)=0,所以函数必过原点，所以D错误，

故选：D

8、D

【解析】由于f(x)=-|x|+2是“(0,+o。)上的优越攵函数”且函数在(0,+oo)上单调递减，由题意得人>。>0,

[.k

-a+2--

<问题转化为y=女与y=M2-x)在x〉0时有2个不同的交点，结合二次函数的性质可求

,ck

—b+2=—

、b

【详解】解：因为/(1)=-1月+2是“(0,+8)上的优越攵函数”且函数在(0,+8)上单调递减,

若存在区间［a,可，使/(x)在可上的值域为

-a+2=&

a

由题意得力>a>0,

k

—b+2=—

b

所以％=a(2-a),k=b(2-b),

即、=攵与丫=》(2-幻=-"-1『+1在》〉0时有2个不同的交点,

根据二次函数单调性质可知0<%<1,即攵e(O,l)

故选：D

9、D

【解析】利用换底公式计算可得答案

1

［详解1>og63-log96=log63•—=log63-=1

log69210g632

故选：D

10、C

【解析】根据题意，列方程，即可求解.

【详解】由题意可得，令/⑺=］+摄»2=3,即l+e4”+2=2,解得：U4.

故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11—3—4^3

10

7T

【解析】根据同角的三角函数的关系，利用a+-结合两角和的余弦公式即可求出

O

7T

【详解】•：-<a<7t9

2

7115万

:.—<a——<一

366

(71.(71、.兀

cosa=cos=cosa----cos-------sina-----sin—

I6J6I6)6

4V331-3-4石

-x---------x—=------------

525210

故答案为三子

【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，两角和的余弦公式，属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值，便

可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键

12、①.DE②.x>y>z

【解析】利用射影定理求得二，结合图象判断出x，»z的大小关系.

【详解】在RtzXABZ）中，由射影定理得a>2=ACxCB，即y2=ab,y=而.

在Rt^OCD中，由射影定理得CD°=DExOD,

ab2ab

-----r--------=z

即/血内”=5a+ba+b

根据图象可知QD>8>DE,即x>y>z.

故答案为：DE;x>y>z

13、(D@

5%5万n57r

【解析】对于①,将X==代入得sin=1,・..x二五是对称轴,命题正确;

12~6~1

对于②，由正切函数的图象可知，命题正确;

71

对于③，正弦函数在2k7T,2k7T+-上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确;

71

对于④，sinx+cosx=V2sinXH---，最大值为0,不正确;

4

故填①②.

14、1000

【解析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求60dB、30dB对应的声强，即可得结果.

【详解】由题设，101g（各）=60,可得/2=1（）-6,

101g(金)=30,可得Ao=10",

...声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的，=1000倍.

,30

故答案为：1000.

4+6及

15^-------

15

【解析】由已知条件结合所给角的范围求出sin］夕一?］、cos（a+/7）,再将

IjrIjr

sin^«+—=sin+J展开即可求解

TTTTTTj77"

【详解】因为工＜夕＜不，所以一〈尸一一＜—,

2444

又因为cosfp-/1，。，所以:＜尸

I4；3442

所以可尸4卜卜府卜号卜^^二半,

因为0＜々＜一9一＜/＜"，所以一＜a+/?v—t

2222

因为sin(a+〃)=*,所以cos(a+1)=-yll-sin2(a+/3)=一,

（a+夕）一万一?I

所以sin[J=sin

sin(a+/?)cos吒-cos

41f3"|2724+672

53I5j315

故答案为：Q6近.

15

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知角的三角函数值的符号确定角的范围进而可求角的正弦或余弦，将

所求的角用已知角表示即&+?=（&+夕）一（夕一?）.

16、2

【解析】设扇形的半径为小则弧长为/=8-2小结合面积公式计算面积取得最大值时，•的取值，再用圆心角公式即

可得弧度数

【详解】设扇形的半径为广，则弧长为/=8-2厂，S=1r（8-2r）=-r2+4r=-（r-2）2+4,

/4

所以当r=2时S取得最大值为4,此时/=8-2义2=4,圆心角为6=-=—=2（弧度）

r2

故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）万；（2）答案见解析

【解析】（1）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化简/（幻=sin+即可得解；

（2）列表，描点，即可作出图像.

【详解】(1)/(x)=cos[^x+~^j+2sin%cos%

二-cos2x+—sin2x=sin|2xd■一

22I3

所以函数的最小正周期7=奇=乃；

（2）列表

7T71717万5冗

X

~~612~12~6

c兀713"

2xH—0n2兀

3~2~2

/（X）010-10

作图如下:

18、(1)A=—(2)273

3

【解析】(1)利用正弦定理可以得到taM=G，即可求出角A的大小；(2)利用余弦定理并结合(1)中的结论，可

以求出8c=8,代入三角形面积公式即可

【详解】(1)由于asin6=®cosA,结合正弦定理可得sinAsinB=VisinBcosA,

由于sinBwO,可得sinA=gcosA,BPtanA=>/3>

TT

因为Ae(0,7i),故A=2.

3

(2)由A=§,a=Vr5>且。2+(?2=23，代入余弦定理cJ=。2+c?—2)ccosA，

即15=23—>c,解得%=8,则AABC的面积S=LbcsinA=2j5.

2

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题

19、(1)/(x)具有性质。⑴；g(x)不具有性质P⑴；(2)见解析；⑶[2”,21

【解析】(1)根据定义即可求得“X)具有性质P⑴；根据特殊值即可判断g(x)不具有性质。⑴；

(2)利用反证法，假设二次函数/(x)不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；

,x\

a芝,再根据f(x)=log(4A+a)-x具有性质P(k),得到

(J2

(4"+a)

log--<k,解不等式即可.

2-4+1J

【详解】解：(1)••-/(%)=2021,定义域为R,

则有11(力一/(一切=0,

显然存在正实数攵=1,对任意的xeR,总有1/。)一/(一处区1,

故.，(x)=2021具有性质P⑴；

•jg(x)=x,定义域为R,

则Ig(x)-g(-x)1=卜一(一力|=|2x|,

当x=2时，|g(2)-g(-2)|=|2x2|=4>左=1,

故不具有性质尸(1)；

(2)假设二次函数/(x)不是偶函数，

设/(力=加+桁+。(4。0),其定义域为R,

即3),

贝!JI1="2+Zzx+c—(a(—x)-+/7(—x)+c=12M,

易知，"(x)—/(—x)|=|2加是无界函数，

故不存在正实数A,使得函数f(x)具有性质。伏)，与题设矛盾,

故/(x)是偶函数；

(3)/(幻=1呜(4'+。)一x的定义域为R,

|/(x)-/(-x)|

-x

=1°§2(4'+。)-x-(log2(4+a)+x)|

=卜082(4'+a)-log2(4'+cij—2x|

a-4V+1

4*+a

4X+a

a-4'+1

/(x)=隰(4-+o)-x具有性质P(k),

即存在正实数丸对任意的xeR,总有l/(x)-/(-x)区左，

即回(中4、+41卜)3

即音小，

即2*&'+“a,

a-4*+1

4*+a

即2"<-S—<2*,

a-4A+l

2,

即2%小方*

即+a-<2'+a-2T<2k~x+a-2k+x,

通过对比解得：

即ae[2-*,21.

【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则,

仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾;

③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.

、…乃…11^1•

20、(1)2%万+二,2攵乃~1——,kEiZ.

_26J

(2)|^—2,5/3J.

【解析】(1)利用辅助角公式化简函数/(%)的解析式，根据正弦函数的性质可求得答案；

(2)根据函数的图象变换得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的性质可求得g(x)的值域.

【小问1详解】

解：因为/(犬)=sinx+Gcosx=2sinx+工BPsinfx+yj<1,

所以2k7iH---WxH—W2kjrH--------即2kiH—<xW2火乃H--------keZ,

6369269

jrI17T

...的解集为2k7T+—,2k7r+--,keZ

【小问2详解】

解：由题可知g(x)=2sin12(x—/+(=2sin^x~~，

当—工《尤<一时，—万K2x—工〈工，所以—4Wsin2x——>所以—242sin(2x—

3333I3)2I3；

所以g(x)在区间-上值域为[-2,6]

21、选①②③，答案相同，均为叵逆

4

7Tfl)TT

【解析】选①②可以得到最小正周期7=2、］=兀，从而得到。=2,结合图象过的点［0,'J,可求出°=从而

得至！|/(x)=cos(2x+m),进而得到cos(a+1)=—$，接下来用凑角法求出sina的值；选③，可以直接得到最