摩擦学原理润滑原理

摩擦学原理润滑原理第1页，课件共81页，创作于2023年2月流体润滑理论，是利用流体力学基本理论求解摩擦学的润滑问题，假定润滑剂为连续介质，它的流动服从牛顿定律。研究对象：粘性流体解决问题：润滑剂流动与作用力的关系解决方法：物理学的基本方程（粘性流体力学中的基本方程），结合流体润滑的特点进行简化计算第2页，课件共81页，创作于2023年2月7.1流体润滑的形式与状态

(1)流体动压润滑：

两个润滑表面的几何构形（楔形空间）、润滑剂的粘度效应（供油充分）、以及两个润滑表面的相对运动（大口进，小口出）来产生分离两个润滑表面的压力

径向滑动轴承液体动压润滑示意图(hydrodynamiclubrication)statusesandtypesinHydrodynamicLubrication

按润滑膜承载能力形成的机理：流体动压润滑、流体静压润滑、动静压混合润滑第3页，课件共81页，创作于2023年2月流体静压润滑：润滑剂供应系统提供的压力将两个润滑表面（可以有运动，也可以不运动）分离开设计重点：如何选择合适液压、气压系统，如供油泵的选择、油路的设计、节流方式与所需支撑性能的关系等。

液体静压轴承润滑示意图hydrostaticlubrication

第4页，课件共81页，创作于2023年2月按润滑介质分类：液体润滑和气体润滑(1)液体润滑：各种液体作润滑剂，由液膜将轴颈与轴瓦分开润滑介质；各种润滑油，但也有用水、液氢、液氦、液氧和高聚物优点：承载能力高、支撑刚度高、阻尼大、精度高、寿命长等缺点：(气体润滑相比)摩擦力大，温升高一般不用于高、低温环境(性能限制)等。Classificationoflubricationmedia

Liquidlubrication第5页，课件共81页，创作于2023年2月气体润滑：气体作润滑剂，由气膜将两个工作表面分开。润滑介质：空气，也用氢、氦、一氧化碳及水蒸汽等介质。与液体相比：气体的粘度低，粘度随温度变化小，化学稳定性好。优点：摩擦小、精度高、速度高、温升低、寿命长、耐高低温及原子辐射，对主机和环境无污染等。缺点：承载能力小、刚度低、稳定性差、对加工、安装和工作条件要求严格等。Liquidlubrication第6页，课件共81页，创作于2023年2月

Navier_Stokes方程从质量守恒的连续方程入手从受力分析的动力学出发运用牛顿粘性定律以及流体运动速度的表达式7.2流体润滑的基本方程第7页，课件共81页，创作于2023年2月7.2流体润滑的基本方程

包括流体力学中的连续方程、动力学方程、能量方程7.2.1连续方程经典力学中质量守恒定律在流体力学中的具体表达。用当地法推导。如图：取任意时间t前无穷小时间dt内，任意封闭控制面S围成的空间体积τ为研究对象。单位时间内：从面积元流出的液体质量：从封闭控制面S流出的液体总质量：由于体积τ内各空间点密度场值发生变化导致空间体积τ包含液体质量的减小量：根据空间体积τ不能“生成”或“消灭”液体质量，由质量守恒定律有：continuumequation

HydrodynamicLubricationBasicEquations

第8页，课件共81页，创作于2023年2月由高斯定理，将面积分改写为体积分，即代入上式有：因为S是任意选择的，相应τ也是任意的，故或或定常流场中流体连续性方程：密度与时间无关，即代入公式7.2为或7.2不可压缩流体：密度为常数，代入公式7.2为或第9页，课件共81页，创作于2023年2月在直角坐标系中，速度向量vn和梯度向量

的表达式为（7.5）（7.6）（7.7）式中，、、分别为沿x、y、z方向的速度。圆柱座标系下表达式可用座标变换求得。第10页，课件共81页，创作于2023年2月7.2.2流体动力学方程7.2.2流体动力学方程经典力学中牛顿第二定律、动量定理、动量矩定理在流体力学中的具体表达，用实体法推导。如图：取任意瞬时t，位于任意封闭控制面S围成的空体积τ内的流体团为研究对象。t瞬时质量力矢量场：t瞬时密度场：则空间点上单位体积的流体质量所受的体力整个流体团体力矢量和：t瞬时控制面S空间一点处单位外法线：空间点与面元相应n方向上的应力矢量：则作用于流体团外面力矢量和等于：根据动量定理，流体团的动量对时间的全导数等于作用于流体团的外力的主矢fluiddynamicsequations

第11页，课件共81页，创作于2023年2月由于将上两式代入,则有因为体积τ是任意选择的,故即或奥高公式第12页，课件共81页，创作于2023年2月X方向有第13页，课件共81页，创作于2023年2月

7.2.3Navier-Stokes方程

为了求解流体力学的连续方程（7.1）和动量方程（7.11），还必须建立速度表达方式以及速度向量与应力张量关系的本构方程，即广义牛顿粘性定律。第14页，课件共81页，创作于2023年2月流体运动的表达第15页，课件共81页，创作于2023年2月第16页，课件共81页，创作于2023年2月

1．变形速率张量流体控制体受表面张力作用的运动会产生变形，通常用变形速率张量[

]表示

变形速率与流速间的关系通过微单元变形分析得到，在直角坐标系下，它们的关系为第17页，课件共81页，创作于2023年2月第18页，课件共81页，创作于2023年2月2．压力p前面已给出了直角坐标系下的应力张量表达式 （7.16）定义根据剪应力互等定律，因此，式（7.16）表示了一个二阶对称应力张量，根据应力张量的性质，应力张量中的法向应力之和

x+

y+

z为一个常量，通常这三个法向应力的平均值负数用流体压力p来表示，即： （7.18）式中，加入负号的用意是，流体所受的为压应力时，p为正值。pressure

第19页，课件共81页，创作于2023年2月3．广义牛顿粘性定律generalNewtonianviscositylaw假设润滑流体满足以下关系：(1)流体是连续的，应力张量与变形速率张量呈线性关系；(2)流体各向同性，其性质与方向无关；(3)当流体静止时，即变形速率为零时，流体中的压力就是流体静压力。（7-19）牛顿提出如果粘性流体作直线层状运动时，流体层之间的应力与其速度梯度成正比，即 （7.20）第20页，课件共81页，创作于2023年2月牛顿粘性定律第21页，课件共81页，创作于2023年2月第22页，课件共81页，创作于2023年2月式（7.20）称为牛顿粘性定律。将式（7.20）推广到三维流动的情况下，有：（，i，j=x,y,z）（7.21）张量形式的牛顿粘性定律可写成（7.22）式中，

m为流体控制单元的体变形

m=(

x+

y+

z)/3式（7.22）为广义牛顿粘性定律，它表示畸变应力张量与畸变变形速率张量间的比例关系。通常把满足式（7.22）的流体称为牛顿流体或stockes流体，不满足的称为非牛顿流体。第23页，课件共81页，创作于2023年2月4．Navier-Stokes方程将广义牛顿粘性定律式（7.22）代入流体动力学方程（7.11）消去各应力分量可得在直角坐标系下，对不可压缩流体与等温流动，因为

v=0，

=常数，式（7.23）变成

Navier-Stokesequation第24页，课件共81页，创作于2023年2月h0第25页，课件共81页，创作于2023年2月5．Navier-Stokes方程简化Navier-Stokes方程是一个二阶非线性偏微分方程，只有在极少数特殊情况下才能得到解析解。通常在略去高阶小量的基础上进行简化,采用归一化的处理。(偏微分方程，对其产生影响的是变量的变化率，而非变量值本身的大小)

（7.25）h0为润滑膜厚度方向上的长度单位，L为润滑膜另外两个方向上的长度单位，V为润滑膜厚度方向上的速度单位，Ux为润滑膜另外两个方向上的速度单位，ρ0、t0、μ0、p0和g分别为在给定情况下的密度、温度、动力粘度、压力值及体积力、重力加速度的相对单位h0为某已知点处的流体膜厚度。根据实验测量结果得知，流体润滑膜的厚度h0远小于x、z方向的结构特征尺寸。以x方向为例，如果润滑表面在x方向上的结构特征尺寸为L，则h0/L<<1，将式（7.25）带入式（7.24a），可得。

SimplifiedNavier-Stokesequation

第26页，课件共81页，创作于2023年2月（7.26）第27页，课件共81页，创作于2023年2月第28页，课件共81页，创作于2023年2月将全式除以并取,比较各项的系数，并略去式中ψ级小量项，引入雷诺数：Re=弗鲁德数，则式（7.26）可改写为（7.27）当，<<1时，惯性项，体力项可略去。这样式（7.27）变为无量纲方程（7.28）

取压力相对单位，此时式（7.28）变为（7.29）同样的方法可简化式（7.24b）和式（7.24c）得（7.30）（7.31）

惯性项体力项粘性项第29页，课件共81页，创作于2023年2月应力图第30页，课件共81页，创作于2023年2月写成有量纲形式为（7.33）（7.32）（7.34）如果动力粘度沿z方向为常数（7.37）（7.36）（7.35）第31页，课件共81页，创作于2023年2月7.3Reynolds方程7.3.1Reynolds方程的推导直接通过解简化后Navier-Stokes方来分析流体润滑的问题则仍然很困难，其原因在于速度边界条件的处理。Reynolds采用沿润滑膜厚度方向积分的方法较好的解决了这个问题，建立Reynolds方程。图7.3润滑区域坐标系示意图如图所示，对于两个作相对运动润滑表面，其运动情况如图7.3所示ReynoldsEquation

Reynoldsequationderivation第32页，课件共81页，创作于2023年2月由式（7.34）可知：压力p与z无关，将（7.32）和（7.33）式对z积分，得（7.38）（7.39）（7.40）对z再次积分根据已知速度边界条件（7.41）将式（7.41）代入式（7.40），可解得vx和vy，从而有：为两润滑表面间流体的速度表达式。（7.42）与压力梯度有关的速度剪切作用所引起的速度第33页，课件共81页，创作于2023年2月将式（7.42）代入连续方程（7.5），并沿润滑膜厚度z方向进行积分，有：（7.43）注意到式（7.43）的积分边界h是x、y的函数，式（7.43）式可写成：Reynolds方程（7.44）几何楔效应表面伸缩效应挤压、变密度效应第34页，课件共81页，创作于2023年2月7.3.2流体动压形成机理将式（7.44）右端展开，各项的物理意义如下：．1．动压效应当下表面以速度U运动时，沿运动方向的间隙逐渐减小，润滑剂从大口流向小口，形成收敛间隙。由于流量连续条件，必然产生如图所示的压力分布。此压力引起的压力流动将减少大口的流入流量，而增加小口的流出流量，以保持各断面的流量相等。formationprinciplesofhydrodynamics

当固体表面由于弹性变形或其它原因使表面速度随位置而变化时，将引起各断面的流量不同而产生压力流动。为了产生正压力，表面速度沿运动方向应逐渐降低。伸缩效应2．第35页，课件共81页，创作于2023年2月3．变密度效应4．当润滑剂密度沿运动方向逐渐降低时，各断面的容积流量相同，但质量流量不同，也将产生流体压力。变密度效应产生的流体压力并不高，但有可能使相互平行的表面具有一定的承载能力。两个平行表面在法向力作用下使润滑膜厚度逐渐减薄而产生压力流动挤压效应第36页，课件共81页，创作于2023年2月7.3.3Reynolds方程的边界条件与初始条件1.边界条件求解Reynolds方程时，需根据压力分布的边界条件来确定积分常数。压力边界条件一般有两种形式，即强制边界条件 自然边界条件当边界已知时s是求解域的边界;n是边界的法向。例：在（0

x

L）区域上的一维边界条件当出口边界未知时通常根据几何结构和供油情况不难确定油膜入口和出口边界boundaryconditionofReynoldsequation

第37页，课件共81页，创作于2023年2月2．初始条件对于速度或载荷随时间变化的非稳态工况的润滑问题，Reynolds方程含有挤压项。润滑膜厚将随时间变化，因此需要提出方程求解的初始条件。初始条件的一般提法是初始膜厚初始压力initialconditionofReynoldsequation

第38页，课件共81页，创作于2023年2月7.4求解润滑问题的其它方程7.4.1能量方程1．微分形式的能量方程能量方程是能量守恒定律或热力学第一定律在流体力学中的具体表达。在充满粘性流体的空间中，任意取瞬时t位于封闭控制面S内流体体积为V的流体团作为研究对象。根据能量守恒定律，该体积内流体动能的变化率等于单位时间内质量力和表面力对该流体团做的功，再加上单位时间该流体团热能的增量。流体团宏观动能和内能增量体力作用做功面力作用做功表面内外温差传导对流体团做功热辐射等做功energyequation

differentialenergyequation

第39页，课件共81页，创作于2023年2月采用奥斯特洛格拉得斯基—高斯公式统一成体积分，写成向量形式，如下：由于控制体V是任取的，而且被积函数是连续的，可得（7.47）（7.46）在式（7.47）式中，当温度变化范围不大时，可认为根据张量的微分定律有为定容比热；由连续方程（7.5），由广义牛顿粘性定律（7.22），则式（7.47）在直角坐标系中可写成（7.48）2．能量方程简化不考虑热辐射并假设润滑剂为不可压缩流体情况下，并采用以下无量纲表达式simplificationofenergyequation

第40页，课件共81页，创作于2023年2月（7.50）将上式代入式（7.48），除以，并略去高阶小量，则有（7.51）为Peclet数，它表示流体对流带走的热量与热传导带走的热量的比例关系，系数表示流体摩擦产生的热量与热传导带走的热量的比例关系。对能量方程进行无量纲化，取作为温度的相对单位（7.53）式（7.51）为第41页，课件共81页，创作于2023年2月如果Pe>>1时，可略去导热项，此时则有（7.54）对于气体润滑时，通常有Pe<<1，即对流项和摩擦项可略去，此时（7.55）式（7.53）-（7.55）有量纲形式分别为（7.56）（7.57）（7.58）对待每个具体润滑问题时，应知道所应用的方程在简化过程中略去了那些项以及它们的数量级，以便在必要时可根据计算精确度的要求，加以考虑。第42页，课件共81页，创作于2023年2月7.4.2气体状态方程润滑剂为气体时，通常可以认为其满足理想气体的有关方程，即，理想气体状态方程气体常数由于气体的内摩擦很小，在润滑过程中，通常可以认为气体的温度不发生变化，即，T=常数，因此式（7.63）可以写为：如果认为气体的内摩擦产生的热量完全由气体带走，则可称为绝热润滑过程，这时有：（7.65）（7.63）（7.64）

为气体的定压比热Cp和定容比热Cv之比，对于空气

=1.4。

7.4.3密度与温度的关系对于大部分润滑剂通常认为密度随温度的变化可以采用指数公式或线性关系表达式：gasstateequation

relationofdensityandtemperature第43页，课件共81页，创作于2023年2月7.4.4液体润滑剂密度与压力的关系于液体润滑剂通常认为密度与压力无关，但在压力变化较大的情况下也可以采用指数公式表达密度与压力的关系，即：（7.68）7.4.5粘度

与温度T的关系1．气体粘度

与温度T的关系一般认为有（7.69）T0=273.16K，

0为一个大气压下温度在0c时气体的动力粘度系数，n为温度指数（对空气n0.76，氢n0.69等），在估算时，高温时可取n0.5，低温时n1。

更为准确时，可采用Sutherland公式：（7.70）Ts为Sutherland常数，与气体性质有关,气体的粘度随温度升高而增大。其原因是由于温度升高，气体的内能增加，气体的分子运动加剧，从而使气体的粘度增大。relationofliquiddensityandpressurerelationofgasviscosityandtemperature

relationofviscosity

andtemperatureT第44页，课件共81页，创作于2023年2月2．液体粘度

与温度T的关系液体的动力粘度

与温度T的关系，通常也采用指数公式、幂函数或指数与幂函数组合的形式，如Reynolds粘度方程Slotte粘度方程Vogel粘度方程（7.71）（7.72）（7.73）双对数形式的Walther方程（7.74）G.Duffing提出了流体的运动粘度与温度关系的更广泛的表达式：（7.75）液体润滑剂当其温度升高时，液体膨胀，分子间距离增大，分子间相互作用力减小，导致液体的粘度随温度升高而减小。relationofliquidviscosityandtemperature

第45页，课件共81页，创作于2023年2月或由傅里叶导热定律：q为单位面积的热流矢量；

T为温度梯度；k为导热系数(单位是：W/mK)，不同流体有不同的导热系数。液体的导热系数一般随温度升高而下降（水除外），气体的导热系数则随温度的升高而增大。当温度为0C时，水的导热系数为0.556，矿物润滑油的导热系数可取为0.147，，空气的导热系数为0.024。7.4.6导热与冷却方程对于气体导热系数与温度的关系可近似由下式计算（7.78）采用Sutherland公式式中，k0、T0、n和Ts取决于气体种类。对于空气k0=0.02415W/mK；T0=273.16K；n=0.81；Ts=194K；对于氮气k0=0.0242W/mK；T0=273.16K；n=0.76；Ts=167K等。（7.79）heattransferequationandcoldequation

第46页，课件共81页，创作于2023年2月7.4.7牛顿冷却定律（7.80）式中：Q为通过壁面热流量；S为壁面的换热面积；Tw为壁面温度；Td为流体温度；

为对流换热系数(W/mK)，其值的大小表示对流换热的强度，影响值的因素较多，除了流体的物理性质、速度、温度和流动空间的大小外，还与壁面的温度、形状和放置位置有关。

Newton'scoolinglaw第47页，课件共81页，创作于2023年2月7．5弹性流体动压润滑理论7.5.1流体动压润滑与弹流润滑的差异1．膜厚形状随压力变化对于弹性流体动压润滑问题，Reynolds方程依然是产生流体动压的主要控制方程：（7.81）流体动压润滑和弹流润滑主要的差别之一：前者将被润滑的表面视作刚体，忽略了油膜压力对表面的作用，膜厚的形状不会变化。Theoryofelastic-hydrodynamiclubrication(EHL)

DifferencebetweenEHL

andHLvariationoffilmthicknesswithpressure第48页，课件共81页，创作于2023年2月考虑润滑表面的弹性变形，这样膜厚方程写成：（7.82）式中，h0(x,y)为初始膜厚形状，

(x,y)为弹性变形项。

在一些特殊结构型式中，考虑弹性变形影响可以提高设计、计算与分析的精度。将Reynolds方程（7.82）得到的压力（P）弹性力学方程求解变形的膜厚（H）循环迭代，直至获得收敛的压力和膜厚解第49页，课件共81页，创作于2023年2月2．粘度

随压力p变化弹流润滑与流体动压润滑的另一主要区别是，润滑剂的粘度也随改变。通常可分为二类：（1）低弹性模量的“软弹流润滑问题“：流体润滑膜所产生的动压力不是很大，但足以使润滑的表面发生明显的变形，所涉及到的材料通常是橡胶、塑料、石墨与其它软金属或非金属材料。（2）高弹性模量的“硬弹流润滑问题”：流体润滑膜产生的动压足够大，可以使润滑表面发生显著的弹性变形，润滑剂压粘特性也必须考虑。variationofviscositywithpressure第50页，课件共81页，创作于2023年2月当压力增加时，液体润滑剂分子间距离减小，分子间作用力增大，从而使其粘度增大。对于常用润滑油，当p<10MPa时，一般认为液体的粘度

不随压力p变化，当压力变化大于10MPa时，应考虑压力变化对粘度的影响。通常采用指数公式，即Barus方程：（7.83）式中，

0为给定压力p0时的粘度，为压粘系数，取决于流体的性质。在一些压力和温度变化较大的润滑情况下，需考虑压力和温度的变化对润滑油粘度的影响，这时，如采用指数函数则有（7.85）式中，α、β分别为压粘、温粘指数，pa、Ta分别为参考工况下的压力和温度，

a为该工况下的粘度值。还有一些比如幂函数形式，压粘、温粘方程等，较复杂但现实性实际较符合第51页，课件共81页，创作于2023年2月7.5.2弹性力学的基本方程点接触弹流润滑问题基本上都是基于Hertz接触理论，系统地阐述了弹性体在较小的载荷作用下的接触状态，预测了接触区的形状以及它们的尺寸大小随着载荷的增加而增加的规律。基于其实验结果并为了方便地计算局部变形，一种简化：每一个物体均可看作是一个弹性半空间体，载荷作用在平面的一个小的椭圆区域上。basicequationofelasticity

局限性：无摩擦表面及理想弹性固体。因此，为了更为准确的计算接触表面的弹流润滑问题，人们发展了多种计算方法，其中有限元法和有限差分法是最为广泛采用。第52页，课件共81页，创作于2023年2月1．力平衡方程

式中，X，Y，Z为x，y，z方向上的作用力，σx，τxy，τxz，σy，τyx，τyz，σz，τzx，τzy分别为为x，y，z方向上的应力张量。2．形变与位移的关系（7.89）（7.90）式中，u,v,w为x，y，z方向上的位移，

x,

y,

z,

xy,

yz,

zx为应变张量。relationofdeformationandmotion

xyzδxτxyτxzY第53页，课件共81页，创作于2023年2月3．广义虎克定律（7.91）式中，E为弹性模量，

为泊松比。generalHook'slaw

第54页，课件共81页，创作于2023年2月（7.93）将广义虎克定律和形变与位移的关系代入受力平衡方程，并整理后可得作用力与位移的关系：

（7.92）

为体积形变，

和

分别为模量系数，即第55页，课件共81页，创作于2023年2月对于点接触弹流润滑问题，可以近似假设为半无限体上作用一个集中力P的情况。半无限体内各点的位移可通过联立求解受力平衡方程、形变与位移的关系、广义虎克定律和力与位移的关系得出，即在弹性流体润滑情况下，仅有表面的Z方向上的位移对弹性流体润滑性能有影响，即Z=0时的w位移：

式中r为集中力P所作用点与变形所在点的距离Px,y,zr7.5.3弹性变形的简化求解simplifiedsolutionofelasticdeformation

第56页，课件共81页，创作于2023年2月对于分布载荷而言，如果假定是边界平面上单位面积内的载荷密度，则在该单位面积上有相当于作用了一集中载荷x,y,zr这时载荷作用点到半无限体表面上一点的距离r为即：弹流润滑区域中的弹性变形量为：则i点的Z方向上的位移为式中ν1、ν2分别为接触区表面1和表面2的泊松比，E1、E2分别为接触区表面1和表面2的弹性模量。第57页，课件共81页，创作于2023年2月式中D(idx,jdy)=称为影响函数。xy计算网格的划分dxdyNM而对于下图所示的网格划分情况下，对于任意一个矩形单元内施加单位均布载荷时，接触表面的弹性变形则可写为：式中a=xi-dx/2、b=xi+dx/2、c=yj-dy/2、d=yj+dy/2，Eˊ＝为等效弹性模量。

如果采用数值积分技术则积分式可转换为离散函数的求和式：第58页，课件共81页，创作于2023年2月图7.5给出两个任意形状物体相接触时接触点附近的几何关系。两物体在各自的两个正交主平面上接触点的主曲率半径分别为R1x、R1y和R2x、R2y。正交主平面与公切面的交线为坐标轴X1、Y1及X2、Y2，两组坐标轴相互夹角为

。

图7.5 点接触问题的一般情况在工程问题中，通常

=0。如果忽略高阶微量，则两物体邻近接触点的表面可用以下方程表示（7.99)沿z轴方向上两物体表面间的距离s为（7.100）通过适当选取X和Y坐标轴方向，总可以使方程（7.100）不含xy项，于是两物体表面间的距离表示为（7.101）点接触润滑膜厚度表达式

点接触的一般情况是椭圆接触，即接触区为椭圆。两个任意形状的物体的接触可以表示为以接触点处的两个主曲率半径构成的椭圆体相接触。expressionoffilmthickness

第59页，课件共81页，创作于2023年2月式中，A、B常数与两物体的几何形状有关，它们的数值为由式（7.101）可知，在XOY平面上，s的等值线是一族椭圆。若将两物体沿Z轴方向施加载荷压紧，弹性变形后的接触区将具有椭圆边界。工程实际中，最普遍的点接触问题是两个接触物体的主平面相互重合，即图7.5中的

角为0或90。所以任何点接触问题都可看作图7.6所示的一个弹性椭球与一个刚性平面的接触问题，对于图7.6所示的点接触情况，接触点和接触平面之间的润滑膜厚度可表示为：图7.6点接触问题的示意图式中，hc为接触中心点的润滑膜厚度，

(x,y)为相对于接触中心点(xc,yc)的润滑表面上各点的弹性变形，Rx、Ry分别为接触点在x、y方向上的曲率半径。第60页，课件共81页，创作于2023年2月点接触应力与接触区尺寸

根据Hertz接触理论，点接触应力在接触区内按照椭球体规律分布。如果以a、b分别表示接触区椭圆的长、短半轴，当接触椭圆的短轴方向与X轴相重合时，接触应力p为：（7.104）最大Hertz接触应力pH为（7.105）式中，W为总载荷。在工程设计中，接触椭圆的尺寸a和b的数值可以采用下列公式计算（7.106）根据

可以得到ka和kb的数值。弹性接触问题的重要特征（1）应力与载荷成非线性关系，由（7.104）式可以看出，点接触时最大的接触应力与载荷的立方根成正比。（2）接触应力的大小与材料的弹性模量和泊松比有关stressanddimensionofcontactaerainpointcontact第61页，课件共81页，创作于2023年2月对于线接触的问题可以用半径分别与接触点的曲率半径相等的两个圆柱体的接触来近似，见图7.8a。这两个圆柱体接触还可以进一步通过数学变换转化为一个当量圆柱与一个平面的接触见图7.8b，只要使它们构成的间隙形状相同就满足润滑力学的要求。h0hxR2R1h0hxR(a)(b)图7.8油膜间隙与当量圆柱图7.8a所示的两个圆柱所构成的间隙即油膜厚度可以由几何关系求得，如：（7.108）式中，R称为当量曲率半径，如图7.8b所示。R满足以下关系：（7.109）第62页，课件共81页，创作于2023年2月如果两个圆柱的中心处于接触点的同一侧，即，R1为筒状圆柱的内半径，且R1>R2，当量曲率半径R则为（7.110）图7.8b的间隙形状和图7.8a的间隙形状采用相同的润滑膜厚度表达式，因此它们的润滑情况是等效的。此外，根据线弹性等效原则，还可以用一个具有当量弹性模量E'的弹性圆柱与一刚性平面的接触来代替弹性模量分别为E1和E2，泊松比分别为

1和2的两个弹性圆柱的接触，使当量弹性圆柱的接触变形将等于两个弹性圆柱接触时的变形之和。这一当量弹性模量为

（7.111）综上所述，两个任意截面的弹性柱体的线接触润滑问题，经过几何变换和弹性变换，最终可转换为具有当量曲率半径R和当量弹性模量E‘的弹性圆柱与刚性平面的接触问题。它们的润滑性能是等效的。线接触时接触应力与接触区尺寸

如图7.9所示，两个弹性圆柱在载荷W作用下相互挤压，接触线扩展成为一个狭长的面。如前所述，两个弹性圆柱的接触，可等效为一当量弹性圆柱和一刚性平面的接触问题，因此在弹流润滑研究中，可以将接触区视为平面。stressanddimensionofcontactaerainlinecontacts第63页，课件共81页，创作于2023年2月图7.9线接触问题的示意图根据Hertz弹性接触理论，接触区的半宽b为（7.112）式中，R为当量曲率半径；E'为当量弹性模量；L为圆柱长度。在接触区上，表面的接触应力依照半椭圆规律分布，即（7.113）其中，p为接触应力；pH为最大接触应力，它可按下式计算（7.114）主应力的最大值都发生在接触表面，但由它们所构成的45

剪应力的最大值却发生在表层内。

第64页，课件共81页，创作于2023年2月7.5.4点、线接触弹性流体动压润滑的粘压效应与相关问题

对于硬弹性流体动压润滑问题，由于摩擦副的载荷集中作用，接触区内的压力很高，因而在润滑计算中要同时考虑接触表面的弹性变形和润滑剂的粘压效应。Грубин在1949年提出的弹流润滑入口区分析方法，首次将Reynolds流体润滑理论和Hertz弹性接触理论联系起来处理弹流润滑问题，并提出线接触等温弹流润滑问题的近似解。线接触的弹性变形如图7.11点划线表示半径为R的弹性圆柱与刚性平面在无载荷条件下相互接触的情。当施加载荷W以后，两表面相互挤压而产生位移，此时变形后的情况如图中实线所示。显然，在接触应力作用下，接触区以外的表面也产生变形，使表面的曲率半径增大。图7.11Hertz线接触的变形根据Hertz理论，在接触区以外的任何买润滑膜厚度方程为（7.116）

令，称为拉梅常数elasticdeformationoflinecontact

viscosity-pressureofEHLandrelatedprobleminpointandlinecontact第65页，课件共81页，创作于2023年2月则得：考虑粘压效应的Reynolds方程。将Reynolds方程（7.81）作无限长简化，即略去Z方向上的压力变化，并将Barus粘压关系式，即有（7.118）若假设诱导压力，则式（7.118）可改写为：（7.119）将式（7.119）代入式（7.118），即可求得考虑粘压效应的Reynolds方程（7.120）式（7.120）表明：经过变量变换以后，用诱导压力q来代替压力p，则考虑粘压关系的Reynolds方程与等粘度的Reynolds方程的形式相同。第66页，课件共81页，创作于2023年2月1．在接触区绝大部分的压力很高，以致e-

p趋于0，因而诱导压力趋于1/a，即常数。如果在接触区内q值为常数，则，根据方程（7.120）得知，此时，即接触区内油膜厚度是个常量，即在接触区内形成平行间隙。2．由于接触区内的油膜压力比接触区以外的入口区(x<-b)的压力高得多，因此可以认为，弹性柱体的变形只取决于接触区内的Hertz压力分布，也就是说在接触区以外仍然保持无油膜时的弹性变形，其润滑膜厚度可按下式计算（7.121）3．如图7.12所示，入口区形成收敛间隙所产生的流体动压p在x=-b处应满足压力相等的条件，即q=1/

。根据这一条件便可求得油膜厚度h0值。

图7.12压力分布和油膜形状。Грубин理论只限于入口区分析，但在出口区情况更为复杂，也需要对Hertz压力分布和变形进行修正，否则不能满足流量连续条件。这是由于在接触中心处只存在速度流动。但在x=+b处，出口区除速度流动之外还存在相当强的压力流动，总流量要比接触中心的大得多。线接触弹流润滑问题分析与讨论第67页，课件共81页，创作于2023年2月线接触的弹流润滑润滑膜厚度方程接触区的半宽b

R为当量曲率半径；E‘为当量弹性模量；L为圆柱长度第68页，课件共81页，创作于2023年2月接触应力最大接触应力最大剪切应力

剪切应力最大值

zx,max=0.301po，作用在距表面0.786b处，它对接触疲劳磨损有重要作用。第69页，课件共81页，创作于2023年2月为了维持流量连续条件，出口区表面的弹性变形趋于恢复，使间隙减小形成颈缩。通常颈缩处的最小油膜厚度hmin约是按Грубин公式求得h0的75%。由于颈缩的存在，在相应的位置上将出现二次压力峰。颈缩和二次压力峰是弹流润滑的重要特征。Грубин膜厚公式

将入口区的润滑膜厚度方程（7.121）代入考虑粘压效应的Reynolds方程（7.120）得到（7.122）进行无量纲化处理，令由润滑膜方程得H=H0+

（7.124）

（7.123）将（7.123）、（7.124）式代入（7.122）式，则Reynolds方程无量纲形式变为

Грубин

formulaoffilmthickness

第70页，课件共81页，创作于2023年2月（7.125）假设边界条件：当X=-

时，Q=0如要求计算X=-1处的Q值。所以可以采用下列定积分，即（7.126）在该积分式中，H0与X无关，

为X的函数。因此可采用数值积分方法对于一系列的H0数值求出定积分值，然后将结果整理成经验关系式，即有（7.127）如前所述，在x=-b处应满足q=1/

的条件，则可得

。将这一结果代入（7.127）式，并代入EL=

E，，经整理得（7.128）第71页，课件共81页，创作于2023年2月油膜厚度参数速度参数材料参数载荷参数（7.129）式（7.199）给出了平均油膜厚度的近似值，通常它比测量值约大20%左右。Грубин提出的入口区分析弹流问题的近似方法被广泛地引用来处理弹流润滑的其它问题。例如，对于球与平面接触的弹流润滑，相当于Грубин理论的膜厚公式为（7.130）Грубин公式采用Dowson提出的无量纲参数来表示。这组无量纲参数为第72页，课件共81页，创作于2023年2月膜厚参数粘性参数弹性参数椭圆率采用上述无量纲参数，椭圆接触问题的四个润滑状态区的最小油膜厚度计算公式为1．刚性一等粘度润滑状态（7.135）实际最小油膜厚度与刚性润滑理论算得的油膜厚度相比较的大小粘度变化表面弹性变形的大小点接触问题的润滑状态图

1979年Hamrock和Dowson提出了椭圆接触的润滑状态图，采用四个无量纲参数，即第73页，课件共81页，创作于20