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§2.3随机变量的分布函数一、分布函数的概念对于离散随机变量X，我们可以用分布律来描述概率分布，对于非离散型随机变量由于其可能取的值不能一一列出，因此想采用分布律的形式来描述其概率分布是不可能的．然而,我们可以转而去研究该随机变量在一个区间内取值的概率．如,考虑对于任意实数（），落在区间上的概率,但由于=因此我们只需考虑和形式的概率就可以了，而与具有相同的形式，因此，我们有下面的概念.定义2.7设X是一个随机变量，是任意实数，则称函数（2—10）为X的分布函数或累积分布函数（CumulativeDistributionFunction）．根据定义，定义在整个实数轴上，在任意实数处的函数值就是随机变量X落在实数轴点及其整个左侧区间的概率．对于任意的实数,当时，有（2—11）从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性．分布函数是一个普通的函数，通过它，我们将能用分析的方法来研究随机现象的统计规律．二、分布函数的性质1．（单调非降性）对于任意实数,当时,有≤；事实上，由（2—11），－=≥0即知此性质成立．2.（规范性）对于任意实数，；且

；（证略）3.(右连续性)对于任意实数，有

F(x+0)=F（x）．（证略）反过来，理论上还可以证明满足以上三条性质的函数,一定是某个随机变量X的分布函数．利用分布函数，可以进行概率计算，几个经常用到公式为：对于任意实数，有

(1).=;（证略)（2－12）

(2).=；证明根据（2－10）和（2－12）可知

□类似可证

(3).=1－；

(4).=1－；三、分布函数与离散型随机变量分布律的关系一般地（1）若离散型随机变量的分布律为：则对于任意实数,X的分布函数为

(2－13)=即,的值等于所有不大于的对应的概率之和．（2）设离散型随机变量X的分布函数为，为其间断点=1,2,…,则X的分布律为

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