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文档简介
第五节
函数的微分第二章一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与运算法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的定义x0DxDx)2x0Dx(DxA
=
x20x0关于△x
的线性主部Dx
fi
0
时为高阶无穷小故称为函数在x0
的微分设薄片边长为x
,面积为A
,则A
=x2
,当x
在x0
取得增量D
x时,面积的增量为引例:
一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0
变到x0
+
Dx
,
问此薄片面积改变了多少?定义:若函数(A
为不依赖于△x
的常数)的微分,记作，即在点
x0
的增量可表示为=
ADx
+
o(Dx)dy
=
ADx问题:
什么样的函数可微？微分怎样求？则称函数
y
=
f
(x)
在点可微,而AD
x
称为证:“必要性”已知在点 可微
,
则Dxfi
0Dxfi
0
Dx\
lim
D
y
=
lim
(
A
+
o(Dx)
)
=
A故D
y
=
f
(x0
+
Dx)
-
f
(x0
)
=
ADx
+
o(Dx)Dx在点 的可导,
且在点x0
可微的必要条件是定理:函数在点 处可导,
且即dy
=
f
(x0
)Dx充分定理:函数在点 处可导,
且即dy
=
f
(x0
)Dx“充分性”已知0lim
D
y
=
f
¢(x
)Dxfi
0
Dx0Dx\
D
y
=
f
¢(x
)
+a( lim
a
=
0
)Dxfi
0故
D
y
=
f
(x0
)Dx
+a
Dx
=
f
(x0
)Dx
+
o(Dx)
线性主部即
dy
=
f
(x0
)Dx在点 的可导,
则在点x0
可微的充要条件是例如,y
=
x3
,dyx
=
2Dx
=
0.02=
3x2D
xx
=
2Dx
=
0.02=
0.24y
=
arctan
x
,Dxdy
=1+
x21又如,说明:Dy
=
f
(x0
)Dx
+
o(Dx)dy
=
f
(x0
)DxDxfi
0
dyDylim
Dy
=
limDxfi
0
f
¢(x0
)Dx=f
¢(x0
)
Dxfi
0
Dx1lim
Dy
=1当
f
(x0
)
„
0
时
,所以Dx
fi
0
时
D
y
与dy
是等价无穷小,
故当
Dx很小时,
有近似公式D
y
»
dy二、微分的几何意义xyoy
=
f
(x)a0x0
+
DxxDydyDxdy
=
f
(x0
)Dx
=
tana当Dx
很小时,
Dy
»
dy当y
=x
时，则有dy
=
f
(x)
dx从而dxdy
=
f
¢(x)导数也叫作微商切线纵坐标的增量Dy
=Dx
记dx=称Dx为自变量的微分,
记作
dx三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则(C
为常数)=
f
(u)
j
(x)
dxdudy
=
f
(u)
du微分形式不变性则复合函数 的微分为设
u(x)
,
v(x)
均可微
,
则=
du
–
dv=
vdu+
udv5.
复合函数的微分分别可微,基本初等函数的微分公式(见P113表)例1.解:121
+
exdy
=求2d(1
+
ex
)=12xdx1+
ex21ex221
+
ex=2xex2=
2
dx1
+
exex2
d
(x2
)例2.
设求解:
利用一阶微分形式不变性
,
有d(
y
sin
x)
-
d(cos(x
-
y))
=
0sin
x
dy
+
y
cos
x
dx
+
sin(x
-
y)
(dx
-
dy)
=
0dy
=
y
cos
x
+
sin(x
-
y)
dxsin(x
-
y)
-sin
x例3.
在下列括号中填入适当的函数使等式成立:2w(1) d(
1
x2+
C
)
=
xdx(2)d(
1
sinw
t +
C)
=
cosw
t
d
t说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.22
=
(
4
)(
–
2
)2
=
44sin
p
=
(22
)224sin(
p
+
2kp
)
=数学中的反问题往往出现多值性,例如四、微分在近似计算中的应用D
y
=
f
(x0
)Dx
+
o(Dx)使用原则:
1)f
(x0
),
f
(x0
)好算;2)
x
与x0
靠近.当
Dx
很小时,
得近似等式:D
y
=
f
(x0
+
Dx)
-
f
(x0
)
»
f
(x0
)Dxf
(x0
+
Dx)
»
f
(x0
)
+
f
(x0
)Dx令x
=x0
+Dxf
(x)
»
f
(x0
)
+
f
(x0
)(x
-
x0
)特别当
x0
=
0
,
x
很小时,f
(x)
»
f
(0)
+
f
(0)x常用近似公式:
(
x
很小)xxx1
+
x1
+a
xf
(x)
=
(1+
x)a证明:
令得f
(0)
=1,f
(0)
=a\
当
x
很小时,180的近似值.解:
设
f
(x)
=
sin
x
,取则dx
=-p180
622=
1
+
3
(-0.0175)6
180例4.
求sin
29
=
sin
29
p
»
sin
p
+
cos
p
(-
p
)的近似值.解:35
=
2431=
(243+
2)51)52432=
3
(1+2
)5
243»
3
(1+
1=
3.0048例5.
计算(1+
x)a
»1+a
xR
=1DR
=
0.01=
4p
R2DRR
=1DR
=
0.01»
0.13
(cm3
)因此每只球需用铜约为8.9
·0.13
=1.16
(
g
)例6.
有一批半径为1cm
的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜
,
厚度定为
0.01cm
,
估计一下,每只球需用铜多少克
.解:
已知球体体积为镀铜体积为
V
在 时体积的增量内容小结微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.
微分运算法则微分形式不变性
:
d
f
(u)
=
f
(u)
d
u(u
是自变量或中间变量)3.
微分的应用：近似计算思考与练习1.
设函数的图形如下,试在图中标出的点dy
<
0x0
+
Dxx0xoDy<
0x0
处的dy
,Dy
及Dy
-dy
,并说明其正负.Dy
-
dy
<
0y2.de-xd(arctan
e-x
)
=11+
e-2
xdx=1+
e-2
x-
e-xdsin
x3.
d
tan
x
=sec3
x24. d
(
-
1
cos
2
x
+
C
)
=
sin
2
x
d
x5.
设由方程确定,2=
1
d
xx=0求解:方程两边求微分,得3
x2
d
x
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