奈奎斯特稳定性判据课件

1/28§5频率响应法

§5.1频率特性的基本概念

§5.2对数频率特性（Bode图）

§5.3幅相频率特性（Nyquist图）

§5.4用频率法辨识系统的数学模型

§5.5频域稳定判据（奈奎斯特）

§5.6相对稳定性分析

§5.7频率性能指标与时域性能指标的关系1/28§5频率响应法§5.1频率特性的基12/28§5.5频域稳定判据系统稳定的充要条件—

全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能代数稳定判据—

Routh判据

由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性

可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题频域稳定判据—

Nyquist

判据

对数稳定判据

2/28§5.5频域稳定判据系统稳定的充要条件—全部闭21.辐角原理

S1代入F(S)得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿Γs连续变化一周(不穿过F(S)的极点)，则F(S)沿封闭曲线ΓF连续变化一周。ΓFΓsF(s2)s1F(s1)S2SσjwσjωFImRe

F(s1)1.辐角原理S1代入F(S)得F(S1)，S2代3不包围F(s)零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)不积累角度；

Γs包围一个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)的相角积累2π,或者说，ΓF顺时针绕F平面零点一周；

Γs包围Z个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)的相角积累Z*(2π)，或者说，ΓF顺时针绕F平面零点Z圈。ImReFF(S1)σjwSS1ziS1+ziziP183不包围F(s)零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(4P182例子曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平面零点一周，(S+Pi)的相角积累是-2π角度。

幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的Z个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。当N>0，表示曲线CF以顺时针方向旋转；当N<0，表示曲线CF以逆时针方向旋转。P182例子曲线Γs包围一个F(s)的极点，当56/28§5.5.2奈奎斯特稳定判据

p184可见F(s)的零点就是闭环极点，F(s)的极点就是开环极点。6/28§5.5.2奈奎斯特稳定判据p184可见F(s)6奈奎斯特稳定性判据思路:根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性：如果根平面的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定(Z>0)；如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定(Z=0)。F(s)位于右半平面极点数(开环不稳极点)F(s)的零点数(闭环极点)由辐角原理确定奈奎斯特稳定性判据思路:根据系统闭环特征根的位置可以判定系7包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？

顺时针包围整个右半平面曲线：S从0jj∞（正虚轴），然后顺时针转过到-j∞（负虚轴）-j0。

S从0jj∞变化，F(s)|s=j=F(j)=1+G(j)将奈氏曲线偏移一个单位；

S从-j∞-j0变化，F(s)|s=-j=F(-j)=1+G(-j)，它与F(j)共轭。

S从j∞-j∞变化时，G(j)=G(-j)=0，在F(j)=1点上;

p184包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？8例1：画出奈氏曲线如右图由于F(s)=1+G(s),所以映射对其原点的围绕等价于G(s)对G平面上的（-1，j0）点的围绕，如图F(jω)j∞G(jω)-j∞G(-jω)jωkG(jω)0-1jωS-jωj∞0-j∞所以，该封闭曲线就是包围S右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射，另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“包围G(j

)平面的（-1，j0）点”。幅角原理修改为：奈氏曲线当从-∞0∞变化，按顺时针方向包围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的零点数目Z与极点数目P之差，即N=Z-P。在G(j

)图中，曲线没有包围（-1，j0）点，N=0，可知F(s)的零、极点在右半面上的个数相等。类似P186例1：画出奈氏曲线如右图由于F(s)=1+G(s),9奈奎斯特稳定性判据：当从-∞到+∞变化时，闭环系统的稳定性通过其开环频率响应G(j)H(j)曲线包围（-1，j0）点来判断。若P=0（即系统开环稳定）时，则闭环系统稳定充要条件是G(j)H(j)曲线不包围（-1，j0）点。

若P≠0（即系统开环不稳定），则闭环系统稳定充要条件是G(j)H(j)曲线按逆时针方向包围（-1，j0）点旋转P圈。j∞G(jω)-j∞G(-jω)jωkG(jω)0-1奈奎斯特稳定性判据：当从-∞到+∞变化时，闭环系统10分析例1系统的稳定性。解依题有(稳定)(不稳定)类似P186分析例1系统的稳定性。解依题有(稳定)(不稳定)类似P1811例2：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解：依题有(不稳定)(稳定)P185例2：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解：依题12例3：系统的开环传递函数如下P185试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。解：依题有(稳定)这表示对于K、T1和T2的任意正值，该闭环系统总是稳定的。

例3：系统的开环传递函数如下P185试用奈氏判据判别闭环系统13虚轴上有开环极点时，S平面上做封闭曲线时通过了极点，因此应作修正：ωReImωω=∞ω=0∞ω=0+ReImjω=0jω=j0-XSajω=j0+虚轴上有开环极点时，S平面上做一个小半圆C2绕过原点。虚轴上有开环极点时的奈氏判据这个小半圆映射为无穷大的半圆。wj¥=w®®=+-变化，它的模从|)G(j|000,1SaQ虚轴上有开环极点时，S平面上做封闭曲线时通过了极点，因此应作14C2部分在GH平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半圆。C2部分在GH平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的圆。p187C2部分在GH平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半圆。C215图5-47例4奈氏图例4：一反馈控制系统的开环传递函数为p188解：依题有(稳定)图5-47例4奈氏图例4：一反馈控制系统的开环传递函16例5：已知一系统的开环传递函数为解：依题有(不稳定)p188例5：已知一系统的开环传递函数为解：依题有(不稳定)p18817例6：已知一系统的开环传递函数为解：依题有p189例6：已知一系统的开环传递函数为解：依题有p18918

说明闭环系统有两个极点在S平面的右方，故闭环系统不稳定。说明19例7：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解：依题有(稳定)(不稳定)例7：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解：依题2021/28§5.5奈氏判据的应用扩展例8：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解：依题有(稳定)(不稳定)21/28§5.5奈氏判据的应用扩展例8：已知单位反馈系2122/28§5.5.3奈氏判据与对数稳定判据

1)GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图上0dB线相对应，单位圆的外部对应于dB，单位圆的内部对应于dB；由于开环对数频率特性的绘制较其奈氏图的绘制更为简单、方便，开环对数频率特性是否也适用奈氏稳定判据?开环系统的奈氏图与相应的对数坐标图之间有下列对应关系：

2)平面上的负实轴与对数坐标图上的线相对应。22/28§5.5.3奈氏判据与对数稳定判据1)GH平22如果曲线以逆时针方向包围(-1,j0)点一周，则此曲线必然由上向下穿越负实轴的线段一次。由于这种穿越使相角增大，故称为正穿越。反之，若曲线按顺时针方向包围(-1,j0)点一周，则此曲线将由下向上穿越负实轴的线段一次。由于这种穿越使相角减小，故称为负穿越。

图5-52所示为正负穿越数各一次的图形。显然对应于图5-52上的正负穿越在伯德图上表现为在的频域内，当增加时，相频曲线由下而上(负穿越)和由上而下(正穿越)穿过线各一次。如果曲线以逆时针方向包围(-1,j0)点23应用上式可以根据开环对数频率特性曲线判别相应闭环系统的稳定性。不难看出当由变化时，奈氏曲线对于(-1,j0)点围绕的周数N与其相频特性曲线在对数坐标图上的负、正穿越数之差相等，即有式中，为在dB频率范围内的负穿越数；为在dB频率范围内的正穿越数。这样上式便可改写为应用上式可以根据开环对数频率特性曲线判别相应闭环系统的稳定性24)L(wwBode图L(

)=0))H(jG(jwwBode图实轴增益为零，对应奈氏曲线是单位圆ReIm-1wwF)L(wwwwF

c增益为零时的频率称穿越（剪切）频率20lgK

g-1800相角=-180°时的频率称相角穿越频率

g

cK对应点ReIm-1)L(wwBode图L()=0))H(jG(jwwBode25例9：采用对数频率特性判别例3所示系统的稳定性。

解：系统的开环传递函数为据此作出的开环对数频率特性如右图所示。p190由于开环系统是稳定的,即P=0，因而闭环系统稳定的充要条件是：在的频域内，相频特性不穿越线，或正、负穿越数之差为零。由图可见，在的频域内，

总大于,故闭环系统是稳定的。例9：采用对数频率特性判别例3所示系统的稳定性。解