第17讲 双参数最值问题

第17讲双参数最值问题（整理：河北石家庄郑景哲）一、问题综述函数中双参数的最值问题是指形如下面的问题：已知函数满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值.二、典例分析类型1：一字并肩型【例1】(2012年高考全国卷1）已知函数满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值.【解析】（1）令得：得：在上单调递增得：的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为（2）解法1：得=1\*GB3①当时，在上单调递增时，与矛盾=2\*GB3②当时，得：当时，令；则当时，当时，的最大值为.解法2：由题意可知，原命题等价于：，设，，对于直线：，总存在的切线满足：，且在的上方，设切点为，则的方程为，所以:,可得，设，只要小于等于的最小值即可，求导易得最小值为，故的最大值为.类型2：一主一从型【例2】已知函数,,若,在上为单调函数，求的取值范围.【解析】由题意可知，则或恒成立，当时，，所以，因为，只需，又因为，所以不存在.当时，，所以，因为，只需，所以恒成立，因为，所以，解得：或.综上，的取值范围为或.类型3：综合应用【例3】（2018届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考）已知函数，其中为自然对数的底数，若不等式对恒成立，则的最小值等于.【解析】【解法1】（小题小做）即对恒成立，直线在函数图象的上方，直线在轴上的截距为，函数与轴的交点为，则，故.【解法2】（小题大做）对恒成立，令，则，若，则当时，，与恒成立相矛盾，因此，令，当时，单调递增；当时，单调递减；所以，即，即，所以，于是，令，则，再令，则在上为增函数，且，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；所以，于是，当且仅当时等号成立，故.【解法3】（小题巧做）对恒成立，令，若，则当时，，与恒成立相矛盾，因此.取，便有下面说明等号可以取到，从而有.当时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故，这说明不等式中的等号可以取到，故.【方法小结】解法3中取似乎有“上帝之眼”，其实是通过凑配而得。将变形为，即，目标即找一个常数，使得，即，将与对照，只需令，便有，则，进而得.【例4】已知.若在区间上单调，求的取值范围.【解析】若在区间上单调，有两种可能：令得，在上恒成立 而在上单调递增，最大值为，∴.令得，而在上单调递增，最小为，∴.故或时在上单调.【方法小结】导数与函数中的单参数问题，可以使用的方法有分类讨论，参变分离，数形结合，放缩变形，还有一些特殊技巧，比如：特殊值代入缩小分类讨论的范围，设而不求或整体代换或隐零点，必要性探路等。那么双参问题，其中可用代入消元法消一参化单参的问题本文不予讨论，本文主要讨论两个参数地位平等，不分主次，或者地位不平等，一主一次型的.解题中，我们发现，此类问题解决方法仍然来自于单参函数，分类讨论，参变分离，数形结合等，只是复杂程度有所增加，这需要学生要有更大的耐心梳理题目中的逻辑关系，对存在任意等问题，合理的转化化归，分类讨论.三、巩固练习1.已知函数，其中.若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.2.设函数，若不等式对所有的，成立，求实数的取值范围.3.设函数，其中，若函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的,恒成立，求的取值范围.4.已知函数，函数是区间上的减函数.（I）求的最大值；（II）若在上恒成立，求的取值范围；5.已知函数，是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数的取值范围.6.设函数存在两个极值点，且.证明：.7.已知函数，若恒成立，则的最小值为_________．四、巩固练习参考答案1.解：易知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．2.解：，不等式对所有的，都成立，则对所有的，都成立，即，所有的，都成立，令，则是一次函数，.因为，所以，所以在上单调递增，，所以对所有的都成立.因为，所以，所以.3.解：由题设所以方程有两个相异的实根，故，且，解得（舍），.因为,所以，故，若，则，而，不合题意；若，则对任意的，有，，则，又，所以函数在的最小值为，于是对任意的，恒成立的充要条件是，解得，综上,的取值范围是.4.解：（I），，在上单调递减，所以在上恒成立，所以，故的最大值为.（II）由题意,所以只需,所以（其中）恒成立，令，则，所以，而恒成立，所以.5.解：，即，由题意两根为，所以，又因为所以，且，所以.设，或.+00+极大值极小值又，，，所以.6.证明：，由题意可知：方程有两个根，且，则，由此可得的约束条件：，可知，由题意可知，故，于是，，由于，而，故，而，所以.7.解法1：令，则．（1）当，即时，则，因此在上单调递减，且时，，所以不恒成立．（2