2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版） 手拉手综合应用（解析版）

手拉手综合应用应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。【类型一：等边三角形中的手拉手模型】【典例1】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．操作与证明：（1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．（2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．猜想与发现：（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．【解答】解：（1）EC＝AD；∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，∴∠ABD＝∠CBE，在△EBC和△DBA中，，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD；（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下：设AD与BE交于点O，∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转α度，∴∠EBC＝∠DBA＝α，∵△ABC与△BDE是等边三角形，∴BC＝AB，BD＝BE，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，∵∠EOM＝∠DOB，∴∠EMD＝∠EBD＝60°，（3）不变，理由如下：过点B作BH⊥AD于点H，BF⊥EC于点F，∵△EBC≌△DBA，∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC，∴BH＝BF，∴MB平分∠DMC，∴∠DMB＝，∴∠DMB的度数大小不变【变式1-1】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P．（1）求证：BE＝AD．（2）求∠APB的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°，∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，即∠APB＝60°．【变式1-2】（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．①∠AEC的度数为；②线段AE、BD之间的数量关系为；（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECD＝∠ACB＝60°，∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠DCB，在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS），∴∠AEC＝∠BDC＝120°，故答案为：120°；②∵△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，故答案为：AE＝BD；（2）CM+AE＝BM，理由如下：∵△DCE是等腰直角三角形，∠CDE＝45°，∴∠CDB＝135°，由（1）得△ECA≌△DCB，∴∠CEA＝∠CDB＝135°，AE＝BD，∵∠CEB＝45°，∴∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°，∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM＝EM＝MD，∴CM+AE＝BM；（3）∵△DCE是等腰三角形，∠DCE＝36°，∴∠CDE＝72°，∴∠CDB＝108°，∵△ECA≌△DCB，∴∠CEA＝∠CDB＝108°，∴∠EAC+∠ECA＝72°，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝36°，∴∠CAB＝72°，∴∠EAB+∠ECB＝∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB＝72°+72°+36°＝180°，【类型二：等腰三角形的手拉手模型】【典例2】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°，①求证：BD＝CE；②∠BCE＝；（2）设∠BCE＝a，∠BAC＝β，①如图2，当点D在线段BC上移动，求证α+β＝180°；②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②由①知△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B，又∵∠BAC＝90°，∴∠BCE＝90°，故答案为：90°；（2）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠B+∠ACB＝α，∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°；②α＝β．理由如下：如图，由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠BCE，∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β．【变式2-1】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠CAE＝∠BAD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE（2）∵△ABD≌△ACE∴∠ABN＝∠ACE∵∠ANB＝∠CND∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90°∴∠CMN＝90°即BD⊥CE．【变式2-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角三角形ADF．（1）如图1，若当点D在线段BC上时（不与点B、C重合），证明：△ACF≌△ABD；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），（2）解：CF＝BD，CF⊥BD．理由：∵∠CAB＝∠DAF＝90°，∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD【类型三：直角三角形中的手拉手模型】【典例3】△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，又∵∠FEA＝∠BEC，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CFA＝90°．理由如下：同理可证△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠BCE，∵AB⊥BC，GH⊥AC，∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠AGH＝45°，∴GH＝AH，∴AH＝BG，在Rt△BCG和Rt△HCG中，，∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），∴BC＝CH，∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．【变式3-1】如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为BD⊥CE，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，BC＝CD+BD＝CD+CE，∴BD⊥CE，故答案为：BD⊥CE；BC＝CD+CE；（2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．理由如下：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，∴BD＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，∴BD⊥CE；BC＝CE﹣CD；【类型四：作辅助线构造手拉手模型】【典例4】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．（1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；（2）如果∠α＝60°，①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．【解答】解：（1）补全图形如下，连接AE，∵点E为点C关于AD的对称点，∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，设∠EAD＝∠CAD＝x，∴∠CAE＝2x，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABCα．∴∠BAE＝180°﹣2x﹣2α，∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝x+α，∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α；（2）①AF＝BF+CF．延长FB至点G，使FG＝FA，连接AG，∵AB＝AC，∴∠ABC＝α＝60°，∴△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，由（1）知∠AFB＝α＝60°，∴△AFG为等边三角形，∴AG＝AF，∠GAF＝60°，∴∠GAB＝∠FAC，在△ABG和△ACF中，，∴△ABG≌△ACF（SAS），∴BG＝CF，∴CF+BF＝BG+BF＝GF，∵GF＝AF，∴AF＝BF+CF；②结论为：CF＝AF+BF．连接AE．∵点E为点C关于AD的对称点，∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，设∠EAD＝∠CAD＝x，∴∠CAE＝2x，∵AB＝AC＝AE，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°．∴∠DAB＝x﹣60°，∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝＝120°﹣x，∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°，在BE上取点G，使得FG＝FA，连接AG，∴△AFG为等边三角形，∴AG＝AF，∠GAF＝60°，∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°，在△AGE与△AFB中，，∴△AGE≌△AFB（SAS），∴BF＝EG，∴EF＝EG+FG＝BF+AF，∴CF＝EF＝BF+AF．【变式4】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．（1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；（2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想△ADF的形状，并证明你的结论．【解答】解：（1）CE∥AB，证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE，∴CE∥AB；（2）延长BC至点G，使得CG＝CF，作FH⊥CG于点H，作FN⊥AC于点N，∵CM//AB，∴∠FCG＝∠B＝60°，∴△CFG是等边三角形，∴CF＝FG，又∴∠ACF＝∠BAC＝60°，∴∠FCN＝∠G＝60°，∵∠FMC＝∠FHG＝90°，∴△NFC≌△HFG（AAS），∴NF＝FH，又∵AF＝DF，∴Rt△AFN≌Rt△DFH（HL），∴∠DFH＝∠AFN，∴∠DFH+∠GFH＝∠AFN+∠NFC，即∠AFC＝∠DFG，∴∠AFD+∠DFC＝∠CFG+∠DFC，∴∠AFD＝∠CFG＝60°，∴△ADF是等边三角形．1．某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC与BE的位置关系．【解答】解：（1）△BAE≌△CAD，理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS）；（2）DC⊥BE，理由如下：∵△BAC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵△BAE≌△CAD，∴∠CAD＝∠B＝45°，∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°，∴DC⊥BE．2．如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．求证：（1）AD＝BE；（2）∠BMC＝∠ANC；（3）△CMN是等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，在△BCE与△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE；（2）∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC；（3）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形．3．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求∠DOE的度数；（2）求证：△MNC是等边三角形．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED＝∠ADC+60°+∠BED＝∠BEC+∠CED+60°＝∠DEC+60°＝60°+60°＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°；（2）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴，，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0．（1）求a，b的值；（2）求证：∠OAB＝∠OBA；（3）若BE⊥AE，求∠AEO的度数．【解答】（1）解：∵，∴，解得：，故答案为：a＝2，b＝2．（2）证明：由（1）得：OA＝OB＝2，∴∠OAB＝∠OBA．（3）解：如图，过点O作OF⊥OE交AE于F，∵∠AOF+∠BOF＝90°，∠BOE+∠BOF＝90°∴∠AOF＝∠BOE，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，又∵∠AOB＝90°，∴∠OBE＝∠OAF，在△OBE和△OAF中，，∴△OBE≌△OAF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠AEO＝45°．5．在平面直角坐标系中，如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2＝0．（1）求∠BAO的度数．（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，点D在AB上，点E在BC上，且AD＝BE，判断△DOE的形状，并说明理由．（3）如图③，在（2）结论下，点D，E分别在AB，BC延长线上，求证：∠BDE+∠COE＝90°．【解答】（1）解：∵a2﹣2ab+b2＝0∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b，又∵∠AOB＝90°∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°；（2）解：结论：△DOE为等腰直角三角形，理由如下：∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，BO＝AO，∵△COB和△AOB关于y轴对称，∴AB＝BC，∠ABO＝∠CBO＝45°，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴OD＝OE，∠AOD＝∠BOE，∵∠AOD+∠DOB＝90°，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝90°，∴△DOE为等腰直角三角形；（3）证明：∵△DOE是等腰直角三角形，∴∠DEO＝45°，∴∠DEB+∠BEO＝45°，∵∠ACB＝∠COE+∠BEO＝45°，∴∠DEB＝∠COE，∵∠ABC＝∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠COE＝90°．6．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE．则CE＝BD．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE，BD．（1）如图②，请直接写出CE与BD的数量关系．（2）将△ADE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，α＝135°．（直接写出答案即可）【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD；（2）CE＝BD，CE⊥BD，理由如下：设BD与CE的交点为F，∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，∴∠CAB＝∠CFB＝90°，∴CE＝BD，CE⊥BD；（3）在△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高最大时，△BCD的面积最大，∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积最大，如图所示，∵AB＝AC，∠CAB＝90°，DG⊥BC于G，∴∠GAB＝45°，∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°，即当△BCD的面积最大时，旋转角α＝135°，故答案为：135°．7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP＝90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．（1）△ABC的AB边上高为；（2）求BP的长（用含t的式子表示）；（3）就图中情形求证：△ACP≌△BCD；（4）当BP：BD＝1：2时，直接写出t的值．【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝6，∴△ABC的AB边上高＝AB＝3，故答案为：3；（2）解：∵AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为＝3（秒），当0＜t≤3时，PB＝6﹣2t，当t＞3时，PB＝2t﹣6；（3）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∵∠PCD＝90°，CP＝CD，∴∠ACP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD，在△ACP与△CBD中，，∴△ACP≌△CBD（SAS）；（4）解：∵△ACP≌△CBD，∴AP＝BD，当BP：BD＝1：2时，当0＜t≤3时，，解得：t＝2，当BP：BD＝1：2时，当t＞3时，，解得：t＝6，综上所述，t的值为2或6．8．问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE（1）填空：①∠AEB的度数为；②线段BE、AD之间的数量关系是．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵△ACB与△DCE都为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝60°，∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠ECB，∴在△ACD与△BCE中有∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠BEC＝∠ADC＝120°，AD＝BE，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案为：60°，AD＝BE；（2）①∵△ACB与△DCE都为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝90°∴∠ACD＝∠ECB，∴在△ACD与△BCE中有∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠BEC＝∠ADC＝135°，AD＝BE，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，故∠AEB的度数为90°；②∵CM⊥DE，△CDE为等腰直角三角形，∴DM＝DE（三线合一）∴CM＝DE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM，即：线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE＝BE+2CM．9．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②当△AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．【解答】（1）证明：∵AG⊥AH，∴∠AHG＝90°，∵∠BAC＝∠AHG＝90°，∴∠BAH＝∠GAC，∵AB＝AC，AG＝AH，∴△AHB≌△AGC（SAS）；（