地震频谱分解线性反问题的最小二乘解

地震频谱分解线性反问题的最小二乘解

1基于稀疏约束的线性反问题的谱图在地震勘探中，谱分解是获得地震路径连续时间频率分析的最重要技术。该技术可以表示地下岩石和水库时间的频率，并且频率是必要的。因此，光谱是地震路径时间采样的结果。在科学研究中，谱分解有很多应用，如以下解释山谷的解释。近年来,作为地震频谱分解方法的约束最小二乘谱分析在应用中被证明是有效的(参见文献本文在求解地震频谱分解线性反问题的最小二乘解时考虑了稀疏约束.线性反问题的正向模型被设置为逆DFT系统.当求解线性反问题的最小二乘模型使用数据空间中的L本文的结构如下:第2节讨论基于反演的DFT建模和稀疏正则化建模的一般问题,同时讨论模型和数据的约束问题;第3节提出可分离加权l2及时频率分析稀疏反演模型2.1般的正则化模型地震频谱分解是对地震道数据的运算和分析.由于每个一维地震道要被转换成二维时频面板,因而这种通过非唯一变换扩展原始数据维度的过程需要用反演的方法来求解.研究者们也己使用不同的经验标准来定义基于反演的频谱分析方法.我们将地震道数据表示为d(加窗地震数据),Fourier逆变换算子表示为F(正向建模算子)和Fourier系数表示为m(模型参数向量),则这个问题的数学公式可以表示成(参见文献其中算子F是指具有实数或复数正弦基函数的核矩阵(kernelmatrix).矩阵F的列由时域中窗口端点截断的复数正弦信号组成,即其中△f表示频率增量,△t表示时间增量,k为频率域采样指数,n为时间采样指数.数据d可以作为复杂地震道的一个截断,即其中dr是真实地震道的窗口段,di是地震道的Hilbert变换的窗口段.容易看出问题(2.1)的解可以通过求解以下所谓的“正规化方程”获得:如果正弦曲线不相关,那么F将是一个正交矩阵,这时问题(2.1)的解可以立即由m=F为了解决这个病态反演问题,我们通常采用一些正则化技术.常用的Tikhonov正则化方法在有限维情形下要求解下述的最小化问题(参见文献其中第一项是数据拟合,第二项Ω(·)是约束项,称为稳定子(stabilizer),一般由用户给定,α>0是正则化参数.2.2模型约束和模型约束稳定泛函Ω(·)的不同选择将导致不同的正则化策略.该泛函Ω(·)通常假定一些关于待求参数或模型的先验信息.例如,选择上述问题就是典型的l值得指出的是,问题(2.7)可以写成可分离的凸优化形式,因此可以应用所谓的交替方向乘子方法来求解.然而在求解最小化问题(2.7)之前,建模上我们需要进一步考虑数据和模型的约束,以增强计算过程的稳定性并获得待反演问题解的唯一性.这是因为当地震数据被窗口化时,矩阵F的元素通常是相关的,因而待反演问题是不适定的.2.3算子s数据加权算子在建立正则化模型时,我们引入两个规范化算子(scaleoperator)S其中abs(·)表示绝对值,diag(·)表示向量的对角线形式.在迭代算法中,算子S数据加权算子S其中l是窗口长度,n△t是相对于窗口中心的时间,abs(d将上述两个加权算子分别作用于方程(2.1),则l其中显然,一旦求得m3求解正则化参数的一般算法交替方向法是近年来备受关注的一类算子分裂方法(参见文献其中z∈R其中y∈R利用乘子法,我们得到增广Lagrange函数其中λ是Lagrange乘子向量,v>0是预先设定的参数.在这种情形下,可以应用最近发展起来的以Gauss-Seidel框架更新参数的方式连续更新Lagrange乘子其中v>0为惩罚参数.注意到增广Lagrange函数是关于两个原始变量求最小化.为了简化计算,使用分裂形式,原始问题(3.1)的解可以通过交替方向迭代来解决:只要f可以分裂为f回到我们的地震问题,考虑加权l其中α>0是正则化参数.利用算子分裂的形式,则原问题可以写成其中相应的增广Lagrange函数可以写成定义由于第二项在原点不可微,所以可应用次微分或光滑逼近法来计算f其中S其中c∈C和(·)针对特殊的l其中S我们给出下面地震频谱分解的交替方向乘子迭代算法.在步骤(2)中,迭代停止标准是基于y最后,值得指出的是,在求解极小化问题(3.8)时,正则化参数α的选择问题:一种方法是将α设置为固定的正值(先验选择方式);另一种方式是在每次迭代中改变α的值(后验选择方式).这是至关重要的,因为α的取值的不同选取可以控制待求问题解的稀疏性和稳定性.本文应用文献其中α对于阈值算子S4试验结果4.1全噪声同相轴的反演算法我们首先生成仅由偶数和奇数反射偶极子时间序列组成的分层块状阻抗合成模型.时间厚度从0ms到1000ms不等.小波函数、反射系数模型和合成数据如图1所示.在图1(a)中,小波函数取作Ricker小波:我们采用著名的短时Fourier变换(shorttimeFouriertransform,STFT)、CWT和交替方向乘子算法对图1(c)中的人工合成偶极子对数据进行频谱分解.在反演计算时,我们为STFT和交替方向乘子算法设置了一个40ms的Hann锥形加窗窗口.图2显示了上述三种方法的反演结果.从仿真结果可以看出,STFT算法结果中的伪影模糊了频域中的反射系数结构,导致很难精确识别同相轴;CWT受到使用低频小波的影响,无法识别低频分量,因此无法量化局部反射波频谱信息.作为对比,本文开发的交替方向乘子算法可以显著提高分辨率,并能够确定厚层和薄层的顶层与底层偶对同相轴.实际问题中由于观测数据不可避免地会带有噪声,因此,我们也考虑了噪声情形下的地震数据的频谱分解.本文中的带噪声数据是通过将噪声水平为0.01和0.1的随机噪声分别加到理论数据上得到的.这里仅显示由交替方向乘子算法得到的结果,因为即使对于真实数据由STFT算法和CWT算法得到频谱分解也是低分辨率的.对于噪声水平分别为0.01和0.1的噪声数据以及本文算法的频谱分解结果,分别如图3和4所示.从反演结果可以看出,本文的算法几乎不受噪声影响,并且反射系数频谱在合成偶极子对数据的顶部和底部可以清楚地识别出来.接下来考虑由奇数反射偶极子构建的分层块状阻抗合成模型.时间厚度从0ms到1000ms不等.我们使用相同的小波来生成合成数据.反射率模型和合成数据如图5所示.同样地,我们将地震谱分解的STFT、CWT和交替方向乘子算法应用于图5(b)显示的人工合成奇偶极子对反射数据上.在反演计算时,我们为STFT和交替方向乘子算法设置了一个40ms的Hann锥形加窗窗口.图6显示了上述三种方法的反演结果.同合成偶数对数据的反演结果类似,STFT算法结果中的伪影模糊了频域中的反射系数结构,导致很难精确识别同相轴;CWT由于受到使用低频小波的影响,无法识别低频分量,因此无法量化局部反射波频谱信息.作为对比,本文提出的交替方向乘子算法可以明显地提高分辨率,并能够确定厚层和薄层的顶层与底层偶对同相轴.再次,考虑到实际地震数据是受噪声干扰的,我们将噪声水平为0.01和0.1的随机噪声分别加到理论数据上,得到噪声数据.这里仅显示由交替方向乘子算法得到的结果,因为即使对于真实数据由STFT算法和CWT算法得到频谱分解也是低分辨率的.对于噪声水平分别为0.01和0.1的噪声数据以及本文算法的频谱分解结果,分别如图7和8及9所示.从反演结果可以看出,我们的方法几乎不受噪声影响,并且反射系数频谱在合成数据的顶部和底部可以清楚地识别出来.4.2算法在目标层中的应用我们考虑将我们的方法应用于实际地震数据的频谱分解.地震数据分为11道,道间距为20m,时间采样间隔为2ms.该地震数据和相应的小波函数如图10显示.我们将地震频谱分解的STFT、CWT和交替方向乘子算法分别作用于图10(a)所示的数据.研究的