数列的基本知识

庄浪县职教中心

张琨

数列的基本知识1Ⅰ、引入（创设情境，激发兴趣）下图是国际象棋棋盘的示意图，棋盘上共有8行8列，构成64个格子，国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。问在第64个格子里将放多少颗麦粒？把每个格子里的麦粒数按序排列出来的一列数，就是今天所要讲的数列。2棋盘上64格依次所对应的麦粒数21232224………2633Ⅱ、演示几个有特点的数列给出定义如图表示堆放的钢管，共堆放了7层，自上而下各层的钢管数排列成一列数：4，5，6，7，8，9，10．①正整数1，2，3，4，…的倒数排列成一列数：1，…。②的精确到1，0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数：1，1.4,1.41,1.414,…。③

-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一列数：-1，1，-1，1，…。④4无穷多个1排列成一列数：1，1，1，1，…。⑤以上每列数都是按一定的次序排列的：定义：（1）数列：按一定次序排的一列数叫数列。（强调次序）如4，5，6，7，8，9，和9，8，7，6，5，4由于顺序不同，当然不是同一个数列。注意：数列与集合的区别：①数列有序，集合无序，如1，2，3和3，2，1是不同数列但是相同的集合，②数列元素可重，集合元素不重，如1，1，1，1对数列可行，但对集合不行（2）项：数列中每一个数叫数列的项（注意第几项）5（3）表示：一般形式a1，a2，a3，…，an，…，（注意区别与an，是一列数，an表具体的某项。（4）通项公式：先分析第（1）数列，序号1234567

项45678910（将以上5个数列具体写出、分析，回答本节课起初的提问）（1）an=n+3（2）（3）没有（4）（5）an=1n现在寻找第n项值与序号n的关系，得出an=n+3（n≤7），如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。6按照这个规律第64格应有263颗麦粒，它的通项公式是：an=2n-1（n≤64）

小结：从函数观点，通过以上分析，实际上通项就是从上面一个序号集合到另一个数的集合的映射，即可看成是定义域是正整数N+（或是它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而通项公式则是相应的解析式。如：an=n+3，若用函数表，只不过x取N+，从图象上可以看出表直线，而an=n+3表示孤立的点，但这些点在直线上，我们用数形结合法进一步理解了数列的概念。7思考：（1）10，9，8，7，6，5，4…的通项是什么？（2）数列1，3，5，7，9…的通项是2n-1，则3，5，7，9的通项又是什么？an=11-n（3）1，4，7，10，…，3n+7,…其中后一项比前一项大3，写出它的通项公式，它的第n项是多少？3n+7是它的第几项？（注意3n+7不是它的通项，3n-2才是，故第n项是an=3n-2，代入3n+7=3k-2得k=n+3项）。(an=2n+1)（注意与4，5，6，7，8，9，10的比较）8Ⅲ、数列的表示方法：(1)列举法（2）图象法）（3）解析法如4，5，6，7，8，9，10是列举法右下图是图象法an=n+3（1≤n≤7）是解析法Ⅳ、数列的另一种表示：分析推导：

……………∴(2≤n≤7)nan9如果已知数列的第(1)项(或前n项)且任一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式。（说明：通项公式给出的是直接关系，递推公式给出的是间接关系，由间接算出几项，再观察分析，找通项。)Ⅴ、例题讲解1、课本例题(略)：目的：由浅入深，循序渐进，调动兴趣，共同参与。2、写出下列数列的一个通项方式，使它的前四项分别是下列各数10

(1）这个数列的特点是可以拆开，然后若相加出现正负项抵销。（2）对于正负号间隔的处理，每一项的绝对值相差6。分析：分析：①②-1,7,-13,19,……11③分析：（3）主要是观察分子分母的关系，注意它的变形形式④分析：（4）实际上是将（3）列中的分子取倒数⑤9，99，999，9999分析：（5）由10，102，103…10n各项减1得12Ⅵ、小结：本节讲了：1、数列概念（注意与函数、集合进行比较)2、数列通项公式的求法（观察分析法）4、递推公式的应用。在练习中细心分析不要马虎，多试验，找规律，对各种各样的数列试着分析