人教版初三数学圆的对称性

圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形吗？

想一想P881如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的?圆是中心对称图形吗？如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少条对称轴？你又是用什么方法解决这个问题的?圆的对称性圆是轴对称图形.

想一想P882圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.用旋转的方法即可解决这个问题.圆的相关概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).

读一读P883连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒AmB大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).ABC⌒mD③AM=BM,垂径定理AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

做一做P894作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:ABCDM└由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.做一做垂径定理如图,小明的理由是:连接OA,OB,

做一做P905●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂径定理三种语言定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.

想一想P906●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.②CD⊥AB,垂径定理的逆定理AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

做一做P917过点M作直径CD.●O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.

想一想P918●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及逆定理

想一想P919●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE

即AC＝BD.ACDBOE5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是=

，∠OAB的余弦值=

。OABP练一练(2)0.624mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．挑战自我垂径定理的推论

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习P9210●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.试一试P9311挑战自我画一画如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●M试一试P9312挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）试一试P9315挑战自我画一画4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGH试一试P9312驶向胜利的彼岸挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）√

√练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于

D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圆O的半径。

反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据

定理求出第三个量：CDBAO例2：如图，圆O的弦AB＝8㎝，

DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。垂径直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.例3：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，

BF⊥CD于F，且圆O的半径为

10㎝，CD=16㎝，求AE-BF的长。练习3:如图，CD为圆O的直径，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。图中相等的线段有

:试一试P9313驶向胜利的彼岸挑战自我画一画2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:

.图中相等的劣弧有:

.FEOMNABCD小结

直径平分弦直径垂直于弦=>

直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弧所对的弦直径平分弧直径垂直于弧所对的弦

=>

=>

１、圆的轴对称性２、垂径定理及其逆定理的图式2.圆对称性(2)垂径定理三种语言定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.

想一想P901●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理的应用例1如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.

想一想P912解:连接OC.●OCDEF┗老师提示:注意闪烁的三角形的特点.赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).

随堂练习P923你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？赵州石拱桥随堂练习P924解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2船能过拱桥吗2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？相信自己能独立完成解答.

做一做P补5船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得

做一做P补6在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.

想一想P补7⑴d+h=r⑵已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E.⑴若半径R=2，AB=,求OE、DE的长.⑵若半径R=2，OE=1，求AB、DE的长.⑶由⑴、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.

做一做P补8ED┌

600垂径定理的逆应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.

想一想P补9BAO600ø650DC挑战自我1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.随堂练习P补103、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d+h=r⑵2.圆对称性(3)圆的对称性及特性圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.

想一想P942圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性●OA′B′圆心角圆心角顶点在圆心的角(如∠AOB).弦心距过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD).如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′,将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.

想一想P942

你能发现那些等量关系?说一说你的理由.●O●OAB┓D●OAB┓DABABABABABAB┓D┓D┓D┓D┓D┓D′A′B′┓D′圆心角圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.

想一想P943●OA′B′●O′AB

你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.●OA′B′●O′ABABABABABABAB┓D′┓D′┓D′┓D′圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.

议一议P954●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏由条件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出拓展与深化在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件:①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.

猜一猜P955●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

猜一猜P966●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′化心动为行动1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.

随堂练习P9772.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条件的图案:(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;(2)即是轴对称图形又是中心对称图形.3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关,试举几例.⌒AB反思自我想一想,你的收获和困惑有哪些?说出来,与同学们分享.回顾与思考P13512；

冻干粉ory97msq说：“那好，明儿个一早就过江北上吧，安全回家最重要！只是，这也太辛苦了点儿。还有，过年了，沿途的客栈还会留宿吗？”三人都说：“没有问题，过年赶路的人多着呢！”屋子里光线暗了，东伢子点上油灯，把灯芯儿拨亮了一些。乔氏和小青开始收拾做饭。晚饭后，耿英要帮小青收拾洗刷。小青说：“姐一人洗刷就行了，你歇着去吧！”耿英说：“姐，你就让我再和你洗刷一次吧！这些年来我一直怀念咱们一起洗锅刷碗的日子呢，而且以后……”耿英