论《应用数学和力学相结合》的研究理念

论《应用数学和力学相结合》的研究理念

基于数学和力学相结合的应用数学和力学相结合的理论解释钱伟昌一直关注中国的绩效评估和发展。钱伟长曾讲过为什么要起名为应用数学和力学研究所?他说:“就是要推动数学与力学继续结缘,以先进的数学工具来研究力学,以力学的进展来推动现代数学的发展”.这是钱伟长一生的力学实践所换来的箴言.钱伟长讲的《应用数学和力学》是指通过应用数学和力学的巧妙结合以达到应用力学的创新发展.应用数学和力学的结合是钱伟长创新研究的精微所在,这是钱伟长应用力学创新思想的核心.向钱伟长学习,就是要学习钱伟长的《应用数学和力学相结合》的研究理念.要学习钱伟长的《应用数学和力学相结合》的研究理念,必须首先懂得钱伟长的《应用数学和力学相结合》提法的深刻内涵.本文以钱伟长的代表作来探索《应用数学和力学相结合》的深刻内涵,领略钱伟长学术创新的源头,从而提升力学研究的创新能力.1弹性力学的应用哥廷根应用力学学派仔细追踪哥廷根应用力学学派的成功之道,不难发现他们的成功之道和弹性力学的建立和发展的轨迹有着一脉相承的渊源.哥廷根应用力学学派强调工程问题的近似的简化建模,可看成是允许弹性力学半逆解法有较小误差的灵活应用,哥廷根应用力学学派重视应用数学和力学的巧妙结合则是弹性力学发展数学解析解法的延伸1940年,钱伟长在多伦多大学师从应用力学学派的应用数学家SyngeJ.L.教授,以后又在加州理工大学vonKarman教授处做博士后,对应用数学和力学的结合,获得了深刻的体会,为他毕生从事弹性力学研究,打下了坚实的基础.钱伟长在力学中的杰出贡献,呈现出他对哥廷根应用力学学派有独特的感悟弹性板壳内禀理论2弹性板壳上的弹性方程弹性薄板和弹性薄壳理论建立之后的数十年间,没有人研究过板壳理论的基本方程与三维弹性力学的基本方程的关系.钱伟长在多伦多大学师从SyngeJ.L.教授,以此问题作为他研究弹性力学的博士论文题目.弹性薄板和弹性薄壳方程的推导历来采用直法线假设,而钱伟长从三维弹性力学出发,采用中面上的拖带座标系,把张量分析和微分几何作为数学工具,这是史无前例的.由这种数学工具与力学问题的结合,严格地从三维弹性力学方程导出了用板壳中面的拉伸应变和曲率变化6个分量表示的全部方程,适用于任意形状的壳体,把大变形的非线性也包括在内.再把应力和应变分量按厚度方向的坐标展开为泰勒级数,按中面拉伸张量、中面弯曲张量,以及中面曲率张量三者与板壳厚度的相对量级来对板壳问题进行分类和近似,得到了12类薄板和35类薄壳的近似方程,把所有可能的简化都囊括其中.论文的发表,使得钱伟长在美国脱颖而出,时年三十岁.3摄动法改革圆板大挠度问题弹性薄板大挠度非线性方程在1910年,由vonKarman建立.Karman方程是一组耦合的非线性偏微分方程,数学中没有针对性的求解方法,薄板结构却迫切需要有效的解法.在vonKarman的门下做博士后的时候,钱伟长着手解决这个问题.此前,VincentJ.J.以摄动法求解圆薄板问题,采用载荷作为摄动参数,结果不理想.WayS.放弃摄动法,改用幂级数解法,结果也不理想.钱伟长需要在茫茫的应用数学的海洋里寻找出路,他敏锐地看到幂级数解法不适合于非线性微分方程,应予以放弃.摄动法对非线性微分方程是适用的,但是以载荷作为摄动参数不适合于薄板大挠度问题,钱伟长把摄动参数改为中心点的挠度和板厚之比,马上获得了满意的结果,与实验所得的结果非常符合.此项研究成果于1956年,获得了国家自然科学二等奖,时年四十三岁.4拉格朗日乘子法1954年,胡海昌提出广义变分原理的方法与弹性力学中提出最小位能原理和最小余能原理是一样的.即首先要构造一个变分原理的泛函,通过变分推导得到和弹性力学方程及边界条件等同的欧拉方程.由于变分法中没有从欧拉方程反推泛函的办法,广义变分原理的泛函也只能用试凑法得到.这已经成为弹性力学中建立变分原理的定则.钱伟长却不甘心于此,他从变分法中,找到了拉格朗日乘子法.拉格朗日乘子法的原意是放松李兹法对试函数的选取,不要求预先满足约束条件,其做法是把这些约束条件乘上拉氏乘子,计入变分原理的泛函中,然后对试函数中的未知系数和拉氏乘子看作独立变量进行变分,并确定这些未知常数.由此可见,拉格朗日乘子法不是用来构造新的泛函的.可是,钱伟长却有了独到的见解,对拉格朗日乘子法开创了一种全新的用法.他的做法是把最小位能原理的约束条件乘上拉氏乘子计入最小位能原理的泛函中,把这些待定的拉氏乘子和原来的变量都看作是独立变量而进行变分,从有关泛函的驻值条件就可以求得这些拉氏乘子用原有物理变量表示的表达式.把这些表达式代入待定的拉氏乘子中,就得到广义位能原理的泛函.同理,从最小余能原理出发,可以得到广义余能原理的泛函.换言之,胡海昌的广义变分原理,可以用钱伟长的拉格朗日乘子法,从古典的变分原理推出.此项研究,钱伟长获得了国家自然科学二等奖,时年七十岁.此项研究成果导致弹性力学变分原理一章改变写法钱伟长说:“哥廷根学派是应用数学的创导者,他们都有很深的数学功底,有更好的对物理过程的理解,都强调对物理过程的本质认识是主要的,但在数学的使用上,从不吝惜使用,力求其用在刀口上,用得漂亮,用得朴素简洁,为了解决一个实际问题不惜跳进数学这个海洋来寻找最合适的工具,甚至于创造新的工具”钱伟长最值得学习的地方是他的独辟蹊径和刻意创新,最值得效法的是他身体力行的应用数学和力学巧妙结合的研究理念.5关于钱伟长的观点钱伟长的3篇代表作足以让我们从中窥视到他是怎样学的,怎样想的,怎样选题的,怎样研究的,怎样在三四十岁的时候就能脱颖而出.对他的3篇代表作采用还原学习法,是一种较为有效的办法.在读钱伟长的论文时,退回到力学和数学在论文前的状态,退回到钱伟长在当时的学历和背景.看钱伟长如何在力学的理论中提出需要创新发展的题目,如何在应用数学中找到能用于解决选定的力学问题的方法,看钱伟长如何发现应用数学和力学的结合点,看钱伟长在应用数学和力学相结合的过程中如何克服困难,看钱伟长在整个研究过程中如何独辟蹊径、刻意创新的.钱伟长的3篇代表作值得我们反复钻研,从中可以探究到如何跳到数学的海洋里找到合适的方法,从中也可以探究到如何跳到弹性力学的海洋里找到合适的题目,更为重要的是可以懂得如何获得钱伟长式的独辟蹊径的创新灵感.特别值得注意的一点是钱伟长开展的研究,无需国家的财力物力和人力