适用于2023年高考理数模拟试卷（全国乙卷）附参考答案

高考理数模拟试卷（全国乙卷）

一、单选题

1.已知集合/=N|.d-2x-3so},B-\xx<2［，则」（）

A.{x|-l<x<2|B.{-1.0.1）

C.10,1}D.{1}

2.已知复数二的实部为1,且二5二2二♦三|,则力二（）

A.6B.2C.75D.4

3.已知向量<j.（2«4）,A_（-2.m）,且匕•〃卜八，则用（）

A.&B.1C.2、"D.2

3

4.新型冠状病毒肺炎（CO\1>19）严重影响了人类正常的经济与社会发展.我国政府对此给予了高

度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制.人类与病毒的斗争将

是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然.已知某地区爆发某种传染

病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为，”）：

I+9e

（八，）表示自4月20日开始/（单位：天）时刻累计感染人数，，⑺的导数表示，时刻的新增病例数,

=2.1972）,根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（）

A.4月30日~5月2日B.5月3日~5月5日

C.5月6日~5月8日D.5月9日~5月11日

5.已知抛物线/-Ki•的焦点为F,点P为E上一点，Q为PF的中点，若PFHIO,则Q点的纵坐标

为（）

A.7B.5C.3D.1

6.《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，

成为东方古代数学的名著.书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问

共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为总个数，

则总个数S（）

/输4s/

A.18B.25C.33D.42

7.已知正方体.fBCD-的棱长为3,体F分别为棱BCCD上的动点.若直线CC与平面EH；所

A.任意点E,F,二面角G的大小为:

B.任意点E,F,点C到面的距离为:

C.存在点E,F,使得直线与片。所成角为:

D.存在点E,F,使得线段£7■-长度为2、回

8.在等比数列Q.；中，4,若q+2,“.+3,勺成等差数列，则>“；的公比为（）

A.2B.3C.4D.5

9.已知三棱台.48（'4的六个顶点都在球0的球面上，MHB&.CC.瓦，A/8C和分

别是边长为行和2行的正三角形，则球0的体积为（）

A32n2075M「QA”n40g

A.---B.C.36D.

333

10.设0<〃,随机变量L2i的分布列分别如下，则（）

012

wJ

p1-PlPi

333

E

Sj012

1

pPLPi

3、■

A.若由＜生＜；，贝（1。（。）＜。限）

B.若巧＜凡＜：，则。（二）＞〃（£）

C.若四＜；＜生，则。（寻〈川-I

D.若四＜；＜8，则。（。）＞。©：）

11.双曲线C：；：-1（“.&b＞0）的左，右焦点分别为「，&，A是C上一点，满足"；—/管」，

且（“、/",=-,则C的离心率为（）

O

A.&B,2C.D.Ji

12.定义在R上的偶函数/（X）满足f（*=/（2x）,且当xe［OJ］时，/（*=e'-I,若关于x的方程

〃皿「1）（,”•（“恰有5个解，则m的取值范围为（）

D.(0.e-l)

二、填空题

13.自从申办冬奥成功之后，中国大力推广冰雪运动.统计数据显示，现中国从北到南总共有654块标

准冰场和803块滑雪场，全国冰雪运动参与人数已达3.46亿人.一对酷爱冰雪运动的年轻夫妇，让刚好

十个月大的孩子把“0、2、2、2、北、京”六张卡片排成一行，若依次排成“2022北京”或“北京2022”,就

说“很好"，那么“很好”的概率是.

14.直线1："，-。被圆C：x：+.i=41T6,3-0截得的弦长为4、2，则口的值为.

r/?'

15.若函数八口…（…0）在［0.R的值域为-।•三，则3的取值范围是

16.已知r＞0）恒成立，则。的取值范围为.

三、解答题

17.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=（s/m1*2s加85/〃（'）5讪1.

（1）求角A；

（2）若”万，h-3,求AABC的面积.

18.如图，四棱锥尸-.4&7）的底面是等腰梯形，/B=C".SC-2XAZ4/»C=60°，E是棱

/8的中点，F是棱PC上的点，且A,D,E,F四点共面.

（1）求证：F为PC的中点;

（2）若A/M〃为等边三角形，二面角/>AD/?的大小为12。'：'，求直线与平面4。"：所成角的正

弦值.

19.新冠疫情期间，口罩的消耗量日益增加，某药店出于口罩进货量的考虑，连续9天统计了第

x（i1，2・1⑼天的口罩的销售量,（百件），得到的数据如下：fv45,£V171,

RIE

注=281ti।।M-Ff=.

LIEMJ

刃

参考公式：相关系数1=-----------：--------；对于一组具有线性相关关系的数据

VL

（V.v）（i1.23...„）,其回归直线I一/n+”的斜率和截距的最小二乘估计分别为

■.

（乂-力小

£=上―------------1；--------.a•y-bx

L<-nF2

IQ

（1）若用线性回归模型「一/n+u拟合y与x之间的关系，求该回归直线的方程；

（2）统计学家甲认为用（1）中的线性回归模型（下面简称模型1）进行拟合，不够精确，于是尝试

使用非线性模型（下面简称模型2）得到、与V,之间的关系，且模型2的相关系数八=0.989,试通过计

算说明模型1,2中，哪一个模型的拟合效果更好.

20.已知椭圆C：过点/一书，且点A到椭圆。的右顶点的距离为学.

(1)求椭圆(’的方程；

(2)已知。为坐标原点，直线/：0.”…0)与C交于M,N两点，记线段MN的中点为

P，连接0P并延长交('于点Q,直线x6交射线0P于点R,且QPOR求证；直线/过定点.

21.已知函数八eer+av(lln\].

(1)若a-0时，过点(0,0)作曲线的切线1,求1的方程；

(2)若函数/(、]在'I处取极小值，求a的取值范围.

22.在平面直角坐标系“4中，曲线G的参数方程为‘(<1为参数)，以坐标原点。为极点，X

轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线一的极坐标方程为+p0.

(1)求曲线G的极坐标方程与C，的直角坐标方程；

(2)已知/：!,二h(x20JaS2)与曲线G交于。，W两点，与C)交于0,N两点，求西.丽的

取值范围.

23.设a,b,c均为正数，且a+/>+c1.

(1)求1+/一的最小值；

ab+c

(2)证明：J1”•h♦J1cs<6.

1.c

2.C

3.B

4.A

5.B

6.B

7.C

8.B

9.B

10.A

11.B

12.B

13.,

60

14.1或9

16.c*,*x

17.(1)解：因为.一，(।2siffBsinC)ainA,

所以厅•a*2A(sitti

所以2/x「八I1/kV//J1,

因为枇x0，

所以I.

因为dw(ax),

所以

4

(2)解：因为b-3f/=；，

4

所以由余弦定理d二”…八I，

可得17-9♦J-6c)<5,即JX=()，

解得c-4、U或c-\2(舍去),

故aABC的面积为'/>i\/n.f-'-3-~.

222

18.(1)证明：四棱锥尸中，平面P8CBC平面P8C,

/.AD平面P8C.

由题意可知E,F在平面尸8c内，且A,D,E,F四点共面.

:.ADEF，:.EF8c.

：E是棱/>8的中点，，F为尸C中点.

(2)解：如图：以AC为x轴，连接8c中点0与」。中点G,0G为y轴，并过0作垂直于平面4伙。

的z轴，建立如图所示空间直角坐标系.

"CD.BC»2AD,£ABC60,设AD・a>BC2a,则CD-a.

OG■~^~a'/（-•8（-“念0）.Dj»（b/.O.O）,

一（36）一

BD-".

2j

因为A/M〃为等边三角形，所以PG.AD，

所以/PGO为二面角，WE的平面角，又二面角尸4〃E的大小为,

所以/PG。120»

因为GOLAD,PGcGO=G,PG,GOu平面PGO,

所以.40.平面PGO,过/^乍广〃垂直于y轴于点H,因为P〃平面PGO,

所以/0_L/W,又尸〃1G〃，GIL/Du平面48C。，GHcAD=G

所以P〃垂直于平面48CD.且PG=—d,PH=-a^—=-a，G//=—a>

22244

OH=OG+GH=®a4-u一....地..u

44

'a3yli3

VE,F分别为PE.PC中点，，£---.------cb-a尸艮旦，］,荏

288U88J

H-AE=0

设平面⑺4.的法向量为力-八.r.二），则

〃•而0'

V33.

所以了小'+产=，取二=|可得斤=(0.6|),

at=0

则sinB=(cos^BT,方)|=多，,=g，

设8。与平面〃）"：所成角为。，

即直线即与平面〃）"：所成角的正弦值为、’.

19.(1)解：r=^=5.r

1095-9x5x19

由题意得,*-*4

285-9x5,

.I

故所求回归直线的方程为1-4iI；

（2）解：模型1的相关系数

1095-9x5x19,40

—=0.96<0,989

"285-9x52xj噌250

»3

故模型2的拟合性更好.

20.（1）解：由题意得，（1-”•三0，解得u二2或u4（舍去）,

4

则椭圆C的方程为'一'；=1

4b1

将代入（•：匕+1=1得，解得/・i,

L24h244A-

2

则椭圆c的方程为:+「=1.

(2)解：设rj,>h-「)，/：i-+m(i>0.m<0),

联立卜=4,得(l+4A：“：.Whtt+4m，-4=0,

则直线/为：ih%则直线/过定点:河.

JnJ

21.(1)解：”=0时，/Ji)-eev./"(x)=e'-e.

设切点(口e1'-ev),贝1J/"(、)=e、-e,

故切线1的方程为r=(C'-CMI-rJ+C*1-CT］，

由于切线1过点(00),则Q-(c‘-CN-KJ*。5,

BP(.v1l)e"=0,解得xI,故切线方程为y=0.

(2)解：X>o>r(r)ealnxe./'(II-0，

令g(r)=/'(x);c'alnxc,则g'(x)=/-,

①当“SO时，可知g(r)>0,g(x)在(a+*)上单调递增,又8。)二0,

则”(04)时,g(x)<0BP/'(x)<0,/(x)单调递减，iTI.ro)时，&(»〉。即/卜)>(),〃、)单调

递增

故""在'I时取得极小值，故.0满足条件.

②当u>0时，则g'(r)-c-g在(0一上为增函数，又内1)一厂“，

X

若a=C,*'(1)=0,当XG(0.I)时,x)<0,g(x)即/'(x)单调递减，当x«l・+8)时g，(x)>0,f(x)

即r(x)单调递增，而八1)=0,于是/卜)对,即函数/(X)在(0,+句上单调递增,不合题意；

若a>C，f*(l)<0,而g'(a)=e"-l>0,则存在/w。,使得g'(x(,)=0,且xw(0.4)时g'&)<0,

则内(、)即/卜)单调递减，又八1)-。，故、7().1)时，«)>0,/")单调递增，1€(1,、)时/'(K)<。，

/(门单调递减，此时'I为/(K)的极大值点，不合题意.

若0<a<c,贝!Jg'(l)X>,限定0<x<l,故“、,aae(Jf-c］，于是当0<x<J且时,

g(x)=c—<c—=--------c

XXX