课题学习最短路径问题 市赛获奖

八年级上册13.4

课题学习最短路径问题（第一课时）课件说明本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．课件说明

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。ABlP思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.或：在直线l上任意取一不同于点P的点P’，连接AP’,BP’∵AP’+BP’＞AB∴AB最短P’

引言：

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．引入新知问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl追问1

将A，B两地和笔直的河流可以抽象成什么几何图形？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al在河边饮马的地点有无穷多处探索新知追问2

从A地出发，到河边饮马，然后到B地如果不考虑路线最短，可以有几处饮马点？B··Alp1p2p3p4…..在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路径探索新知追问3

从A地出发，到河边饮马，再回到B地，所走的路径指的是什么？B··Alp1p2p3p4…..探索新知追问4

牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？在直线l上找一点C，使两条线段之和最短。设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，

AC与CB的和最小（如图）．BAlC这样，实际问题1就模型化为下面的数学问题:追问1

对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最短？B·lA·

引导：前面，我们探讨了A,B两点在直线的两侧时，如何在直线l上找一点，使这个点到A,B两点距离之和最短的问题，那么，这个问题能不能转化为A,B在直线两侧的情况呢？追问2

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？C最短作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C这样，不论点C选在l上何处，始终有BC=B’C’,那么，当点C在l上何处时，AC+B’C最小呢？C因此，AC+BC就转化为AC+B’C此时，AC+BC最小证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知追问2

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′利用轴对称把同侧的问题转化为异侧问题，从而利用“两点之间，线段最短”（或三角形的两边之和大于第三边）解决问题。运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小