2023年山东省青岛市崂山区人教版中考数学零模试卷（含解析）

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一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。

1．（3分）将数据2030000用科学记数法记为（）

A．20.3×105B．2.03×106C．0.203×107D．2.03×107

2．（3分）以下投稿的民间建筑装饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．（3分）学校通过以下方式抽取部分同学免费参加活动：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得“民间美术展”活动门票一张，已知参加抽取活动的同学共有300人，“民间美术展”活动门票60张，则白球的数量是（）

A．16个B．18个C．20个D．24个

4．（3分）已知该门票的单价由分为五个等级：x1，x2，x3，x4，x5其平均数是40，方差是3，涨价后，得到新的门票价格2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3，涨价后门票价格的平均数和方差分别是（）

A．50，12B．50，3C．77，12D．77，3

5．（3分）如图是活动场馆中的某个装饰品，其俯视图是（）

A．B．C．D．

6．（3分）如图，以原点O建立坐标系，小明在三角形点A的位置，他向右走3个单位，再绕原点O旋转180°，则小明站点A的对应点A′的坐标是（）

A．（2，0）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣1，﹣3）

8．（3分）如图，整个场馆由许多菱形装饰而成．在其中某个菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点A（1，1），C在直线y＝x上，且AB＝2，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转，每次转动45°，则第2023次旋转结束后，点C的坐标为（）

A．B．（，）C．，D．

二、选择题（本题满分6分，共有2道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得3分，选对但漏选得1分；不选或选错不得分。

（多选）9．（3分）下列运算错误的是（）

A．4x2+x2＝5x4B．x2x3＝x5C．（x3）2＝x9D．x6÷x2＝x3

（多选）10．（3分）二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，在﹣6＜x＜﹣5，这一段位于x轴的下方．下列选项正确的是（）

A．c＝5a

B．﹣4a+c＞0

C．

D．直线y＝ax﹣c与抛物线y＝ax2+6ax+c一定相交

三.填空题（共6小题，每题3分）

11．（3分）计算tan30°的倒数是．

12．（3分）如表是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成：经过最后汇总，总分最高的是选手（填“甲/乙/丙”）．

评分人评分权重甲乙丙

观众（学生）40%95分90分93分

评委（老师）60%90分95分92分

13．（3分）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450km的普通公路，一条是全长330km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为xh，那么x满足的分式方程是．

14．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x﹣1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．

15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．则图中阴影部分的面积为．

16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是．

四.解答题（共8小题）

17．（6分）（1）；

（2）．

18．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，P是边AB上的一点，以P为圆心，PB为半径作⊙P．

（1）尺规作图：求作⊙P，使得⊙P与直线AC相切；（保留作图痕迹）

（2）求（1）中⊙P的半径．

19．（3分）解方程：x2﹣3x+2＝0．

20．（3分）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B都被分成了3等份，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，观察两个指针所指份内的数字（若指针停在等分线上，那么重新转一次，直到指针指向某一份内为止）．用列表法（或树状图）求出“两个指针所指的数字都是方程x2﹣3x+2＝0的解”的概率．

21．（6分）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．

（1）求观测点B到航线l的距离；

（2）求该轮船航行的距离CD的长（结果精确到0.1km）．

（参考数据：，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

22．（6分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；

并且80≤x＜90这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88．

②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示：

年级平均数（分）中位数（分）

七年级81.4m

八年级87.288

根据以上信息，回答下列问题：

（1）七年级抽测学生中，80分以上有人，m值为，并补全频数分布直方图；

（2）七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由；

（3）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数．

23．（6分）已知y关于x的函数：kx﹣y+1+2k＝0（k为常数）交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B．

（1）求k的取值范围；

（2）O为坐标原点，设△AOB的面积为4，求直线l的函数解析式．

24．（6分）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

请你回答：图1中∠APB的度数等于．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝1，PD＝，则∠APB的度数等于，正方形的边长为；

（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PF＝，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为．

25．（8分）如图△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF＝AC

（1）求证：AF＝CE；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，请回答并证明你的结论．

26．（8分）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数刻画；当25≤t≤37时可近似用函数刻画．

（1）求h的值；

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系如表：

生长率p0.20.250.30.35

提前上市的天数m（天）051015

①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；

②请用含t的代数式表示m．

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加800元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

27．（10分）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB？

（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2023年山东省青岛市崂山区中考数学零模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。

1．（3分）将数据2030000用科学记数法记为（）

A．20.3×105B．2.03×106C．0.203×107D．2.03×107

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：数据2030000用科学记数法记为2.03×106，

故选：B．

2．（3分）以下投稿的民间建筑装饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．

【解答】解：第一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

第二个图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；

第三个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

第四个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．

故选：A．

3．（3分）学校通过以下方式抽取部分同学免费参加活动：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得“民间美术展”活动门票一张，已知参加抽取活动的同学共有300人，“民间美术展”活动门票60张，则白球的数量是（）

A．16个B．18个C．20个D．24个

【答案】D

【分析】设袋中共有m个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．

【解答】解：设袋中共有m个白球，则摸到红球的概率P（红球）＝，

∴≈，

解得m≈24，

故选：D．

4．（3分）已知该门票的单价由分为五个等级：x1，x2，x3，x4，x5其平均数是40，方差是3，涨价后，得到新的门票价格2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3，涨价后门票价格的平均数和方差分别是（）

A．50，12B．50，3C．77，12D．77，3

【答案】C

【分析】根据方差和平均数的变化规律可得：数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数是2×40﹣3，方差是22×3，再进行计算即可．

【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是40，

∴数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数2×40﹣3＝77；

∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是3，

∴数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的方差是22×3＝12；

故选：C．

5．（3分）如图是活动场馆中的某个装饰品，其俯视图是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．

【解答】解：从上面看，可得选项D的图形．

故选：D．

6．（3分）如图，以原点O建立坐标系，小明在三角形点A的位置，他向右走3个单位，再绕原点O旋转180°，则小明站点A的对应点A′的坐标是（）

A．（2，0）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣1，﹣3）

【答案】D

【分析】由题可知A（﹣2，3），利用平移的性质得出对应点位置（1，3），再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．

【解答】解：由题可知，点A的坐标为（﹣2，3），小明向右走3个单位，即A向右平移3个单位，得到坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到A′的坐标为（﹣1，﹣3）．

故选：D．

8．（3分）如图，整个场馆由许多菱形装饰而成．在其中某个菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点A（1，1），C在直线y＝x上，且AB＝2，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转，每次转动45°，则第2023次旋转结束后，点C的坐标为（）

A．B．（，）C．，D．

【答案】A

【分析】根据旋转的性质及旋转角，先求出点C坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解．

【解答】解：如图，设菱形对角线AC与BD交于点E，

∵点A（1，1），点A，C在直线y＝x上，

∴OA＝，∠1＝45°，

∵∠BAD＝60°，AB＝2，四边形ABCD是菱形，

∴∠BAE＝30°，

∴AE＝ABcos30°＝2×＝，

∴AC＝2AE＝2，

∴OC＝AC﹣OA＝2﹣，

∴第一次旋转45°，点C的坐标为（0，﹣2），

第二次旋转45°，点C的坐标为（﹣1，1﹣），

第三次旋转45°，点C的坐标为（2﹣，0），

第四次旋转45°，点C的坐标为（﹣1，﹣1），

第五次旋转45°，点C的坐标为（0，2﹣），

第六次旋转45°，点C的坐标为（1﹣，﹣1），

第七次旋转45°，点C的坐标为（1﹣，1﹣），

……

由题意可得每8次旋转一个循环，

∵2023÷8＝2527，

∴第2023次旋转结束时，点C的坐标与第6次旋转后点C的坐标相同，为（1﹣，1﹣），

故选：A．

二、选择题（本题满分6分，共有2道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得3分，选对但漏选得1分；不选或选错不得分。

（多选）9．（3分）下列运算错误的是（）

A．4x2+x2＝5x4B．x2x3＝x5C．（x3）2＝x9D．x6÷x2＝x3

【答案】ACD

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．

【解答】解：A．4x2+x2＝5x2，故本选项符合题意；

B．x2x3＝x5，故本选项不符合题意；

C．（x3）2＝x6，故本选项符合题意；

D．x6÷x2＝x4，故本选项符合题意；

故选：ACD．

（多选）10．（3分）二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，在﹣6＜x＜﹣5，这一段位于x轴的下方．下列选项正确的是（）

A．c＝5a

B．﹣4a+c＞0

C．

D．直线y＝ax﹣c与抛物线y＝ax2+6ax+c一定相交

【答案】AC

【分析】利用待定系数法确定函数关系式：y＝ax2+6ax+5a＝a（x+3）2﹣4a．然后根据二次函数是性质和抛物线的对称性质进行一一判断．

【解答】解：抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，

∵抛物线在﹣2＜x＜﹣1位于x轴的上方，

∴抛物线在﹣5＜x＜﹣4位于x轴的上方．

∵抛物线在﹣6＜x＜﹣5位于x轴的下方，

∴抛物线过点（﹣5，0），（﹣1，0），图象开口向下，a＜0，

把（﹣5，0）代入解析式，得25a﹣30a+c＝0．

∴c＝5a，故A选项符合题意；

∵﹣4a+c＝a＜0，故B选项不符合题意；

∵b2﹣4ac＞0，4a＜0，

∴＜0，故C选项符合题意；

由ax2+6ax+c＝ax﹣c，得ax2+5ax+10a＝0．即x2+5x+10＝0，无实数解，

∴直线y＝ax﹣c与抛物线y＝ax2+6ax+c一定不相交，故D选项不符合题意．

故选：AC．

三.填空题（共6小题，每题3分）

11．（3分）计算tan30°的倒数是．

【答案】见试题解答内容

【分析】求出tan30°，根据倒数的概念计算即可．

【解答】解：tan30°＝，

＝，

则tan30°的倒数是，

故答案为：．

12．（3分）如表是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成：经过最后汇总，总分最高的是乙选手（填“甲/乙/丙”）．

评分人评分权重甲乙丙

观众（学生）40%95分90分93分

评委（老师）60%90分95分92分

【答案】乙．

【分析】根据题意先算出甲、乙、丙三名参赛选手的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．

【解答】解：由题意可得，

甲的成绩为：95×40%+90×60%＝92（分），

乙的成绩为：90×40%+95×60%＝93（分），

丙的成绩为：93×40%+92×60%＝92.4（分），

∵92＜92.4＜93，

∴总分最高的是乙选手．

故答案为：乙．

13．（3分）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450km的普通公路，一条是全长330km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为xh，那么x满足的分式方程是+35＝．

【答案】+35＝．

【分析】要求客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间，它与走普通公路所需的时间有关系，但是两者都未知，不妨借助方程解答；客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，结合两条路的全长可得到各自的速度；接下来，根据“某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35km/h”可得到方程．

【解答】解：根据题意得：+35＝．

故答案为：+35＝．

14．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x﹣1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

【解答】解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝1+4（k﹣1）＝4k﹣3＞0，且k﹣1≠0，

解得：k＞且k≠1．

故答案为：k＞且k≠1．

15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．则图中阴影部分的面积为π﹣2．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO＝AO＝OE，解直角三角形求解，再求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：连接OF．

∵直径AB⊥DE，

∴CE＝DE＝．

∵DE平分AO，

∴CO＝AO＝OE．

又∵∠OCE＝90°，

∴sin∠CEO＝＝，

∴∠CEO＝30°．

在Rt△COE中，

OE＝＝＝2．

∴⊙O的半径为2．

在Rt△DCP中，

∵∠DPC＝45°，

∴∠D＝90°﹣45°＝45°．

∴∠EOF＝2∠D＝90°．

∴S扇形OEF＝×π×22＝π．

∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝2，

∴SRt△OEF＝×OE×OF＝2．

∴S阴影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF＝π﹣2．

故答案为：π﹣2．

16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是．

【答案】．

【分析】由正方形的性质得AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，则∠CBE＝90°，由翻折得CG＝CE，则DG＝＝＝BE＝2，所以AG＝2，AE＝6，则EG＝＝2，因为CF垂直平分EG，所以GF＝EF，由勾股定理得22+（6﹣EF）2＝EF2，求得EF＝，即可根据×2FH＝××2＝S△EFG，求得FH＝，于是得到问题的答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，

∴AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，

∴∠CBE＝90°，

由翻折得CG＝CE，

∴DG＝＝＝BE＝2，

∴AG＝AD﹣DG＝4﹣2＝2，AE＝AB+BE＝4+2＝6，

∴EG＝＝＝2，

∵点G与点E关于直线CF对称，

∴CF垂直平分EG，

∴GF＝EF，

∵AG2+AF2＝GF2，且AF＝6﹣EF，

∴22+（6﹣EF）2＝EF2，

解得EF＝，

∵EGFH＝EFAG＝S△EFG，

∴×2FH＝××2，

解得FH＝，

故答案为：．

四.解答题（共8小题）

17．（6分）（1）；

（2）．

【答案】（1）x≤1．

（2）．

【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．

（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．

【解答】解：（1），

由①得：x≤1，

由②得：x＜3，

∴不等式组的解集为：x≤1．

（2）原式＝

＝

＝

＝

＝．

18．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，P是边AB上的一点，以P为圆心，PB为半径作⊙P．

（1）尺规作图：求作⊙P，使得⊙P与直线AC相切；（保留作图痕迹）

（2）求（1）中⊙P的半径．

【答案】（1）见解答；】

（2）．

【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于D点，再过D点作AC的垂线交AB于P点，然后以P点为圆心，PD为半径作圆即可；

（2）设切点为D，连接PD，如图，设⊙P的半径为r，则PB＝PD＝r，根据切线的性质得到PD⊥AC，则可判断PD∥BC，再证明△APD△ABC，利用相似比得到＝，然后解方程求出r即可．

【解答】解：（1）如图，⊙P为所求作；

（2）设切点为D，连接PD，如图，设⊙P的半径为r，则PB＝PD＝r，

∵⊙P与直线AC相切于D，

∴PD⊥AC，

∴∠AEP＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠AEP＝∠C，

∴PD∥BC，

∴△APD△ABC，

∴＝，

即＝，

解得r＝，

即⊙P的半径为．

19．（3分）解方程：x2﹣3x+2＝0．

【答案】见试题解答内容

【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．

【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，

∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，

∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，

∴x1＝1，x2＝2．

20．（3分）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B都被分成了3等份，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A、B；②两个转盘停止后，观察两个指针所指份内的数字（若指针停在等分线上，那么重新转一次，直到指针指向某一份内为止）．用列表法（或树状图）求出“两个指针所指的数字都是方程x2﹣3x+2＝0的解”的概率．

【答案】见试题解答内容

【分析】列表得出所有等可能的情况数，求出所求概率即可．

【解答】解列表如下：

AB234

1（1，2）（1，3）（1，4）

2（2，2）（2，3）（2，4）

3（3，2）（3，3）（3，4）

方程x2﹣3x+2＝0的解为1，2和2，2，

由表知：两个指针所指的数字都是方程x2﹣3x+2＝0的解的概率为．

21．（6分）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．

（1）求观测点B到航线l的距离；

（2）求该轮船航行的距离CD的长（结果精确到0.1km）．

（参考数据：，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【答案】（1）3km；

（2）3.4km．

【分析】（1）图中已将观测点B到航线l的距离用辅助线BE表示出来，要求BE，先求出OA，OB，再在Rt△OBE中，求出BE即可．

（2）Rt△AOD中求出OD，在Rt△BOE中求出OE，进而可求出DE，在Rt△CBE中，根据∠CBE＝76°，BE＝3km，求出CE，则CD＝CE﹣DE．

【解答】解：（1）设AB与l交于点O．

在Rt△AOD中，

∵∠OAD＝60°，AD＝2（km），

∴OA＝＝4（km）．

∵AB＝10（km），

∴OB＝AB﹣OA＝6（km）．

在Rt△BOE中，∠OBE＝∠OAD＝60°，

∴BE＝OBcos60°＝3（km）．

答：观测点B到航线l的距离为3km．

（2）在Rt△AOD中，OD＝ADtan60°＝2（km），

在Rt△BOE中，OE＝BEtan60°＝3（km），

∴DE＝OD+OE＝5（km）．

在Rt△CBE中，∠CBE＝76°，BE＝3km，

∴CE＝BEtan∠CBE＝3tan76°．

∴CD＝CE﹣DE＝3tan76°﹣5≈3.4（km）．

∴该轮船航行的距离CD的长为3.4km．

22．（6分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；

并且80≤x＜90这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88．

②七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示：

年级平均数（分）中位数（分）

七年级81.4m

八年级87.288

根据以上信息，回答下列问题：

（1）七年级抽测学生中，80分以上有29人，m值为85，并补全频数分布直方图；

（2）七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由；

（3）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数．

【答案】（1）29，85；

（2）七年级学生甲名次靠前；

（3）336．

【分析】（1）根据数据统计中各个分组的人数与调查总人数的关系可求出60≤x＜70的人数，进而补全频数分布直方图；

（2）根据七、八年级学生成绩的中位数进行判断即可；

（3）求出七年级学生成绩超过81.4分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数．

【解答】解：（1）根据频数分布直方图可知，七年级抽测学生中，80分以上有10+14+5＝29（人），

将七年级抽测的50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85，因此中位数是85，即m＝85，

七年级抽测的50名学生的成绩在70≤x＜80的人数为50﹣2﹣6﹣10﹣14﹣5＝13（人），补全频数分布直方图如下：

故答案为：29，85；

（2）七年级学生成绩的中位数是85分，八年级学生成绩的中位数是88分，而七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，

所以七年级学生甲名次靠前；

（3）600×＝336（人），

答：该校七年级600名中成绩超过平均数81.4分的大约有336人．

23．（6分）已知y关于x的函数：kx﹣y+1+2k＝0（k为常数）交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B．

（1）求k的取值范围；

（2）O为坐标原点，设△AOB的面积为4，求直线l的函数解析式．

【答案】（1）k＞0；

（2）y＝x+．

【分析】（1）根据一次函数的图象与系数的关系求解；

（2）根据三角形的面积列方程求解．

【解答】解：（1）函数可化为：y＝kx+2k+1，

∵函数交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，

∴k＞0；

（2）当y＝0时，kx+2k+1＝0，

解得：x＝﹣2﹣，

当x＝0时，y＝2k+1，

∴|（2﹣）（2k+1）|＝4，

解得：k＝，

∴直线l的函数解析式为：y＝x+．

24．（6分）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

请你回答：图1中∠APB的度数等于150°．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝1，PD＝，则∠APB的度数等于135°，正方形的边长为；

（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PF＝，则∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为．

【答案】见试题解答内容

【分析】阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，根据旋转的性质可得P′A＝PA，P′C＝PB，∠PAP′＝60°，然后求出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C＝90°，然后求出∠AP′C，即为∠APB的度数；

（1）把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，根据旋转的性质可得P′A＝PA，P′D＝PB，∠PAP′＝90°，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP′，∠AP′P＝45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D＝90°，然后求出∠AP′D，即为∠APB的度数；再求出点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，根据等腰直角三角形的性质求出AE＝PE＝PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出AB即可；

（2）把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，根据旋转的性质可得P′A＝PA，P′F＝PB，∠PAP′＝120°，然后求出△APP′是底角为30°的等腰三角形，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，求出AM＝1，再求出PP′，∠AP′P＝30°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′F＝90°，然后求出∠AP′F，即为∠APB的度数；根据P′F、AM的长度得到P′F＝AM，利用“角角边”证明△AMN和△FP′N全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝FN，P′N＝MN，然后求出MN，在Rt△AMN中，利用勾股定理列式求出AN，然后求出AF即可．

【解答】解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，

由旋转的性质，P′A＝PA＝3，P′D＝PB＝4，∠PAP′＝60°，

∴△APP′是等边三角形，

∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，

∵PP′2+P′C2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，

∴PP′2+P′C2＝PC2，

∴∠PP′C＝90°，

∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；

故∠APB＝∠AP′C＝150°；

（1）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，

由旋转的性质，P′A＝PA＝2，P′D＝PB＝1，∠PAP′＝90°，

∴△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′＝PA＝×2＝4，∠AP′P＝45°，

∵PP′2+P′D2＝42+12＝17，PD2＝2＝17，

∴PP′2+P′D2＝PD2，

∴∠PP′D＝90°，

∴∠AP′D＝∠AP′P+∠PP′D＝45°+90°＝135°，

故，∠APB＝∠AP′D＝135°，

∵∠APB+∠APP′＝135°+45°＝180°，

∴点P′、P、B三点共线，

过点A作AE⊥PP′于E，

则AE＝PE＝PP′＝×4＝2，

∴BE＝PE+PB＝2+1＝3，

在Rt△ABE中，AB＝＝＝；

（2）如图4，∵正六边形的内角为×（6﹣2）180°＝120°，

∴把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，

由旋转的性质，P′A＝PA＝2，P′F＝PB＝1，∠PAP′＝120°，

∴∠APP′＝∠AP′P＝（180°﹣120°）＝30°，

过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，

则AM＝PA＝×2＝1，

P′M＝PM＝＝＝，

∴PP′＝2PM＝2，

∵PP′2+P′F2＝（2）2+12＝13，PF2＝2＝13，

∴PP′2+P′F2＝PF2，

∴∠PP′F＝90°，

∴∠AP′F＝∠AP′P+∠PP′F＝30°+90°＝120°，

故，∠APB＝∠AP′F＝120°，

∵P′F＝AM＝1，

∵△AMN和△FP′N中，

，

∴△AMN≌△FP′N（AAS），

∴AN＝FN，P′N＝MN＝P′M＝，

在Rt△AMN中，AN＝＝＝，

∴AF＝2AN＝2×＝．

故答案为：150°；（1）135°，；（2）120°，．

25．（8分）如图△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF＝AC

（1）求证：AF＝CE；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，请回答并证明你的结论．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）求出EF∥AC，根据EF＝AC，利用平行四边形的判定推出四边形ACEF是平行四边形即可；

（2）求出CE＝AB，AC＝AB，推出AC＝CE，°，根据菱形的判定推出即可．

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE是BC垂直平分线，

∴∠BDE＝∠ACB＝90°，

∴EF∥AC，

∵EF＝AC，

∴四边形ACEF是平行四边形，

∴AF＝CE．

（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形，

证明：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，

∴AC＝AB，

∵DE是BC的垂直平分线，

∴BD＝DC，

∵DE∥AC，

∴BE＝AE，

∵∠ACB＝90°，

∴CE＝AB，

∴CE＝AC，

∵四边形ACEF是平行四边形，

∴四边形ACEF是菱形，

即当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．

26．（8分）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数刻画；当25≤t≤37时可近似用函数刻画．

（1）求h的值；

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系如表：

生长率p0.20.250.30.35

提前上市的天数m（天）051015

①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；

②请用含t的代数式表示m．

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加800元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

【答案】（1）h＝29；

（2）①m＝100p﹣20；②当10≤t≤25时，m＝2t﹣40；当25≤t≤37时，m＝﹣（t﹣29）2+20；

（3）当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为19000元．

【分析】（1）把（25，0.3