广西壮族自治区柳州市秀东中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析

广西壮族自治区柳州市秀东中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，且的最小值为7，则a=（

）A．－5

B．3

C.－5或3

D．5或－3参考答案：B根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中可知，当时，z有最小值：，则，解得：;当时，z无最小值．故选B

2.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为(

)A. B. C. D.参考答案：B设飞鸟图案的面积为s，那么，几，故选B.

3.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.一个路口，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒；当某人到达路口时看见的红灯的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6.已知过曲线上一点与原点的直线的倾斜角为，则点坐标是(

)A、（3，4）B、C、(-3，-4)D、参考答案：D7.已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．8.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(

)

A．平行

B．垂直相交C．异面

D．相交但不垂直

参考答案：C9.已知等比数列a1，a2，…a8各项为正且公比q≠1，则（）A．a1+a8=a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1+a8与a4+a5大小关系不能确定参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】把数列的各项用首项和公比表示，然后直接作差得答案．【解答】解：由题意可知，a1＞0，q＞0，=＞0．∴a1+a8＞a4+a5．故选：C．10.已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面α截一球O得圆M，圆M的半径为r，圆M上两点A、B间的弧长为，又球心O到平面α的距离为r，则A、B两点间的球面距离为．参考答案：12.正项数列{an}满足：an2+（1﹣n）an﹣n=0，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2016=．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】通过分解因式，利用正项数列{an}，直接求数列{an}的通项公式an；利用数列的通项公式化简bn，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn，即可得出结论．【解答】解：由正项数列{an}满足an2+（1﹣n）an﹣n=0，可得（an﹣n）（an+1）=0，所以an=n．所以bn===﹣，Tn=1﹣+…+﹣=1﹣，所以T2016=1﹣=，故答案为：．13.函数f(x)=loga(a＞0且a≠1),f(2)=3,则f(-2)的值为_________.参考答案：-3∵f(-x)=loga=-loga=-f(x),∴函数为奇函数.∴f(-2)=-f(2)=-3.14.二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围

参考答案：

15.边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为

▲

.参考答案：3616.若（1﹣2x）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R），则a0+a1+a2+a3+…+a2014的值为_________．参考答案：略17.已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围

．参考答案：[﹣2，]【考点】一元二次不等式的解法．【分析】设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，利用二次函数的性质得到二次项系数大于0，根的判别式小于等于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【解答】解：设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，当a2﹣4=0，即a=﹣2（a=2不是空集）时，不等式解集为空集；当a2﹣4≠0时，根据题意得：a2﹣4＞0，△≤0，∴（a+2）2+4（a2﹣4）≤0，即（a+2）（5a﹣6）≤0，解得：﹣2≤x≤，综上a的范围为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和．是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：解：（1）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列，则有,即矛盾．所以｛｝不是等比数列．…………．．…3分(2)解：因为……………．…5分又，所以当，，此时……………6分当时，，，此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列．∴………8分(3)要使对任意正整数成立，即得（1）

……10分令，则当为正奇数时，∴的最大值为,的最小值为,…………12分于是，由（1）式得当时，由，不存在实数满足题目要求；………13分当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是………．．…14分19.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的参数方程；（2）设P为圆C上一动点，，若点P到直线的距离为，求的大小.参考答案：（1）（为参数）；（2）或分析：（1）首先由公式化极坐标方程为直角坐标方程，再利用公式可化直角坐标方程为参数方程，为此可配方后再换元；（2）把直线参数方程化为普通方程，再由点到直线距离公式求出参数，注意到，根据A点位置，结合图形可利用圆的参数方程中参数的几何意义可得结论.详解：（1）∵，∴，∴，即，∴圆的参数方程为（为参数）.（2）由（1）可设，，的直角坐标方程为，则到直线的距离为，∴，∵，∴或，故或.点睛：（1）由公式可进行极坐标方程与直角坐标方程进行互化；（2）一般用消参数法可化参数方程为普通方程，直线的参数方程可用代入法消参，圆或圆锥曲线的参数方程是利用消参.20.如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F分别为AD，PA中点，在BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD．（1）求证：平面BEF∥平面PDQ；（2）求二面角E﹣BF﹣Q的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，求出相关点的坐标，设Q（1，x，0），则，利用PQ⊥QD，求出x=1．推出BE∥DQ，推出EF∥PD，EF∥平面PDQ，然后证明平面BEF∥平面PDQ．（2）求出平面BFQ是一个法向量，平面BEF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），设Q（1，x，0），则，，…若PQ⊥QD，则，即x2﹣ax+1=0，△=a2﹣4，∴△=0，a=2，x=1．…∴，又E是AD中点，∴E（0，1，0），，∴，∴BE∥DQ，又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是PA中点，∴EF∥PD，∵EF?平面PDQ，PD?平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF=E，BE，EF?平面PDQ，∴平面BEF∥平面PDQ．…（2）设平面BFQ是一个法向量，则，由（1）知，，∴，取z=2，得，同样求平面BEF的一个法向量，，∴二面角E﹣BF﹣Q的余弦值为．…21.（本题满分12分）已知集合，，（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.参考答案：（1）当时,.(2)因为,当A=时，

则a-1＞2a+1，即a＜-2当A≠时，则或,解得：或.综上：或.22.给定两个命题