河南省开封市兴华学校高三数学理月考试卷含解析

河南省开封市兴华学校高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是

（）A．、

B．、

C．、

D．、参考答案：A略2.如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A

根据题意，易知平面AOB⊥平面CBD,,，由弧长公式易得，、两点间的球面距离为.3.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）A．B．C．D．参考答案：B4.函数的零点个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B略5.（06年全国卷Ⅰ理）如果复数是实数，则实数A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B解析：复数=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴1+m3=0，m=－1，选B.6.已知等差数列的前n项和为，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），则S20等于

（

）A、10

B、15

C、20

D、40参考答案：A7.若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C． D．2参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．8.已知点P双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.若集合则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值(

)A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负参考答案：A【考点】等差数列的性质；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，知取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f（x1），由函数f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．由数列{an}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，知a1+a5＞0，所以f（a1）+f（a5）＞0，f（a3）＞0，由此知f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，∴取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f（x1），∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数，∴当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．∵数列{an}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，∴a1+a5＞0，则f（a1）+f（a5）＞0，∵f（a3）＞0，∴f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，、、所对边分别是、、，若，则

参考答案：12.已知函数，若,则实数的值等于

．参考答案：-313.已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是_________。参考答案：f′（x）=x′cos2x+x（cos2x）′=cos2x﹣2xsin2x，k=f′（）=cosπ=﹣1=tanθ∴θ=.故答案为：．

14.在极坐标系中，设是直线上任一点，是圆上任一点，则的最小值为 .参考答案：略15.数列{an}的首项为1，其余各项为1或2，且在第k个1和第k+1个1之间有2k－1个2，即数列{an}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{an}的前n项和为Sn，则__________．（用数字作答）参考答案：3993【分析】先根据条件确定前2019项有多少个1和2，再求和得结果.【详解】第个1为数列第项，当时；当时；所以前2019项有45个1和个2，因此【点睛】本题考查数列通项与求和，考查综合分析与求解能力，属难题.16.不等式的解集是

.参考答案：

不等式等价于17.设集合，则_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2﹣8my﹣16=0．|AB|=，同理得|CF|=?．△ABC面积s=|AB|?|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，?b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2﹣8my﹣16=0．y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2）联立得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，xC+2=，?xC=．∴|CF|=?．△ABC面积s=|AB|?|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．参考答案：【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】对于（Ⅰ），要证EF∥平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；对于（Ⅱ）要证明EF⊥平面PDC，由第一问的结论，EF∥PA，只需证PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再证明PA⊥CD，而这需要再证明CD⊥平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA（3分）且PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD（6分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA（9分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD（12分）而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．20.（12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日

期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差（°C）101113128发芽数（颗）2325302616（Ⅰ）求这5天的平均发芽率。（Ⅱ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，用的形式列出所有的基本事件，并求满足“”的事件的概率.参考答案：解析:（Ⅰ）这5天的平均发芽率为

……5分

（Ⅱ）的取值情况有，,.基本事件总数为10.

……8分设“”为事件，则事件包含的基本事件为

……9分所以，

故事件“”的概率为.

……12分21.已知函数的部分图象如图所示.（I）求函数的解析式，并写出的单调减区间；（II）已知的内角分别是A，B，C，若的值.

参考答案：解：（Ⅰ）由图象最高点得，

由周期得所以当时，，可得因为所以故

由图像可得的单调递减区间为

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

,又，