电力系统潮流计算中最优乘子法的三种方法比较

电力系统潮流计算中最优乘子法的三种方法比较

0不收敛的情况下牛顿法趋势计算是能源循环系统的基本计算。牛顿—拉夫逊方法(以下简称牛顿法)对电力系统良性条件下的潮流计算十分有效,但是对于一些病态系统(重负荷系统、具有梳子放射结构网络的系统以及具有临近多根运行条件的系统等)在计算的过程中往往会出现计算不收敛的情况。导致这种情况发生的原因有两种:一是该潮流问题本身无解(对于给定的运行条件);二是潮流问题有解但是由于所采用的算法本身不够完善无法找到该解。普通牛顿法潮流计算无法正确判断不收敛时系统是否确实无解。最优乘子牛顿法能够处理病态系统并判断潮流方程是否有解。它已经被广泛用于电力系统静态电压稳定评估与控制中最优乘子法的数学本质是用求解一个由潮流方程构造的目标函数的最小值来代替直接求解潮流方程。从原理上保证了计算过程不会数值发散。如果在给定运行条件下原方程有解,则目标函数值最终为0;如果对于某个运行条件,原方程无解,则目标函数最终收敛于一个非零的正数上。由目标函数值可以判别潮流方程是否有解。当前为广泛应用的最优乘子法有三种。分别是日本学者Iwamoto等人提出的直角坐标最优乘子牛顿法1三种最优大乘方法的描述设系统共有n个节点,将潮流方程记为如下形式:式中:f式中:J(x)为潮流方程的雅可比矩阵,µ1.1直角坐标是最佳的坐标法Iwamoto提出的直角坐标下的最优乘子法中,构造如下目标函数:由此求1.2构造目标函数及经验初始值Dommel等人提出的极坐标下阻尼牛顿法中,构造了如下目标函数:用一个二次函数Φ(µ)近似表示(6):式中:Φ通过对(7)求最小值可以得出:此外,Dommel给出了经验初始值∆λ1.3极坐标下的牛顿法王宪荣等提出的极坐标下的准最优乘子法,其基本思想与Iwamoto提出的直角坐标下的最优乘子法类似,目标函数方程同(4)。所不同的是二者的坐标系。另外,文[6]给出了极坐标下潮流方程泰勒展开式二次以上部分的求法,f(x)在x处的泰勒展开式为:式中:T(x)为f(x)泰勒展开式二次及以上部分余项。当∆x由普通牛顿法计算出来后,此时f(x)+J∆x=0,结合(10)可得:T(x)=f(x+∆x),由此可方便地由普通牛顿法计算出T(x)。在求出二阶及以上余项后,其余的求法可按照直角坐标最优乘子法的过程迭代步骤计算出。2极限坐标系下最优乘子法的收敛速度三种方法都是在普通牛顿法的基础上略加修改,所增加的计算步骤均比较少,算法实现比较容易,实际运用都比较方便。直角坐标最优乘子法最大的优点是潮流方程为二次方程,迭代过程中不匹配函数的泰勒展开式中三次及以上项均为零,因此潮流方程为精确的等式。相比于极坐标系下的潮流方程,这是一特有的优势。但是,该方法也有其缺点。采用直角坐标系,潮流方程在PV节点上有额外的电压约束方程,而这额外的电压约束方程在进行计算的时候会给计算带来麻烦为了能够加速直角坐标系下最优乘子法的收敛速度,文[8]和文[9]中提出了一些解决办法:按照比例缩放电压约束方程和不采用很小的最优乘子。但是这两种方法都有其明显的缺点,并不能从根本上解决问题。按比例缩放电压约束方程的比例因子很难确定出一个合适的值阻尼牛顿法和极坐标准最优乘子法都是基于极坐标系。与直角坐标系相比,极坐标系下的潮流方程充分体现了电力系统有功与电压相角、无功与电压幅值强相关的物理特性,因而有着很好的线性化特性。方程线性化的好坏对最优乘子计算的收敛速度有很重要的影响,在线性化不好时,使用最优乘子来进行计算对加快收敛速度效果甚微,甚至有可能会降低方程的收敛速度阻尼牛顿法中的∆λ值得注意的是,在潮流计算中发电机无功约束的处理是一个重要环节。目前广泛采用的方法是在迭代中采用一个启发式的PV-PQ节点类型转换逻辑来处理。因此,评价一种最优乘子法的性能,必须讨论它对该约束处理方法的适应性。在阻尼牛顿法的计算过程中,PV-PQ节点类型相互转化会给计算带来很大麻烦。如(8)所示,迭代计算时,当前步最优乘子的计算依赖上一步的计算过程,而在发生PV-PQ节点转化后,系统的模型已经发生变化,此时再利用一个上一步计算过程中的值是不合理的,会对整个计算产生很大的影响。在计算过程中如果有较多的PV-PQ节点类型转化,则会出现计算过程发散的情况。然而,极坐标准最优乘子法和直角坐标最优乘子法在每次迭代中计算最优乘子时,与上一步的计算过程无关,只是继承了上一步的计算结果x3考虑节点类型转换的情形采用上述三种最优乘子潮流算法对IEEE57、118标准算例以及北美3199、6739节点实际系统进行计算,来比较它们的性能。由于它们都仅仅对普通牛顿法做了少量的修改,每次迭代的计算时间都相差不多,因此,可以通过比较迭代次数来判断计算速度。为了全面比较算法,在IEEE57、118系统中,分别通过对#57、#118号节点不断增加负荷来使系统逐渐呈现病态。增加负荷的有功无功之比为2:1,各计算1000个情形。而在3199、6739节点系统中,对所有N-1支路开断故障进行了潮流计算。计算所有的不匹配函数时,判断是否收敛均要求精确到10为简洁起见,本文各图表中做如下简称。方法1:直角坐标最优乘子法;方法2:极坐标下阻尼牛顿法;方法3:极坐标准最优乘子法。表1~4分别给出了正常系统(有潮流解)、病态系统(无潮流解)在不考虑和考虑发电机无功约束时的计算结果比较。由表1、3中可以看出,当不考虑发电机无功约束时,极坐标系下的两种方法的迭代次数相对少一些。这在以往比较最优乘子法的论文中也可以看到类似的结论在电压稳定评估中,发电机无功约束必须考虑。如果不考虑节点类型转换而对各种最优乘子法进行比较,显然是不合理的。因此本文在表2、4中记录了在考虑节点类型转换的情形下三种最优乘子法的迭代次数。从表2、4中可看出,当计算过程中考虑发电机的无功约束时,极坐标下的两种方法并没有如表1、3中那样体现出明显的优势。甚至在一些系统中,直角坐标最优乘子法平均收敛次数要少于极坐标系下的两种最优乘子法。这种现象的产生有其必然原因。由第2节对直角坐标系以及极坐标系下最优乘子法特点的分析可知,它们各有其固有的优缺点,很难定量地分析哪种特点对收敛速度的影响较大。虽然在不考虑发电机无功约束条件时,极坐标下的最优乘子法收敛最快。但是,当潮流计算的过程中引入发电机节点类型转换逻辑时,此时潮流计算的前提条件已经发生了变化,此时收敛速度的变化也就不足为奇了。同时,在计算的过程中可以发现,在对一个系统不断增加负荷,使其病态程度逐渐严重的过程中,随着所增加负荷的不同,三种最优乘子法在不同的范围内呈现出不同的收敛速度。如在IEEE118节点系统中,不考虑PV-PQ转换逻辑,当对#118节点增加的负荷有功量由0MW至643.2MW的过程中,极坐标准最优乘子法的收敛速度要优于其他两种方法,继续对#118节点增加负荷,当增加的有功负荷由659.2MW至784.8MW的过程中,极坐标准最优乘子法收敛速度却差于其他的两种方法。这也从另一方面说明了最优乘子法性能的优劣是有一定的相对性和适用范围的。阻尼牛顿法总的迭代次数比直角坐标最优乘子法要少,但是其在某些情况下是不收敛的。仅在IEEEE118系统中就有4个算例是不收敛的。不收敛表现为不匹配函数的值是任意变化的,均为很大的值。所算出来的值没有任何参考意义。造成这种现象可能有两种原因:1.PV-PQ转化造成的;2.∆λ由表1~4中可以看出,总的来说,极坐标准最优乘子法总的迭代次数比较少。注意到,文献[10]也提出了类似的思想和计算方法。在计算不匹配函数的时候,为了方便比较,将阻尼牛顿法中不匹配函数改为原不匹配函数的平方,使其与其它两种方法中不匹配函数形式上取得一致。计算出三种方法的不匹配函数随负荷的变化关系基本相同。图1、2分别给出了IEEE57、118这两个系统中不匹配函数与负荷之间的关系曲线。由图1、2可以发现,三种方法计算出的不匹配函数值并不一定随负荷的增大而单调增加。文[11]中提出不匹配函数值的大小可作为潮流方程不可解程度的评估指标,此时并不能很好地适用。这是由于在潮流计算的过程中会发生PV-PQ转化,而这改变了潮流方程的构成。IEEE57系统中发电机节点数目少,图1中不匹配函数值基本随负荷的增大而增加;而IEEE118系统中发电机节点数目较大,图2中不匹配函数值变化呈现出非线性现象。在潮流计算中不考虑发电机无功限制时,三种方法计算出的不匹配函数值都严格随负荷的增大而单调增加。因此,可以认为考虑发电机无功约束造成了不匹配函数值的大小不能严格地作为潮流方程不可解程度的评估指标。4标准最优乘子法本文采用Iwamoto等人提出的直角坐标最优乘子法、Dommel等人提出的极坐