弹性力学第三章 应变

弹性力学第三章应变第1页，课件共66页，创作于2023年2月第三章应变§3-1变形与应变概念

§3-2变形连续条件§3-3应变增量和应变速率张量

§3-4应力应变分析的相似性与差异性第2页，课件共66页，创作于2023年2月

弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。§3-1

变形与应变概念

第3页，课件共66页，创作于2023年2月由于外部因素作用（荷载或温度改变等）引起物体内部各质点位置的改变称位移。物体内任意一点的位移，用它在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向的为正。u(x、y、z)=rx

Rx

v(x、y、z)=ry

Ry

w(x、y、z)=rz

Rz§3-1

变形与应变概念

第4页，课件共66页，创作于2023年2月位移变形位移刚体位移刚体平移刚体转动线变形角变形*物体内各点之间不产生相对位移*物体内各点之间产生相对位移§3-1

变形与应变概念

第5页，课件共66页，创作于2023年2月由于外部因素 物体内部各点空间位置发生变化位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。——载荷或温度变化位移——§3-1

变形与应变概念

第6页，课件共66页，创作于2023年2月刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。刚体位移包括平行移动和转动位移§3-1

变形与应变概念

第7页，课件共66页，创作于2023年2月变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。即物体的形状发生改变。变形位移包括形状改变和体积改变。§3-1

变形与应变概念

第8页，课件共66页，创作于2023年2月位移刚性位移：反映物体整体位置的变动变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化｛研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。◆位移函数应是位置坐标的单值连续函数。◆位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。§3-1

变形与应变概念

第9页，课件共66页，创作于2023年2月

一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都会有应变。变形的度量——应变第10页，课件共66页，创作于2023年2月外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。1、正应变2、切应变变形的度量——应变第11页，课件共66页，创作于2023年2月正（线）应变σσxxdxdxuu

+du物体内一点P（x,y,z）在方向上的线应变：变形前在P点处沿方向所取的微线段：变形后Δr的增量NP(x,y,z)变形的度量——应变第12页，课件共66页，创作于2023年2月正（线）应变——线素的相对伸长或缩短正应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相对应。变形的度量——应变第13页，课件共66页，创作于2023年2月剪（切）应变τβα直角改变量

τγ=α+β物体内一点P(x，y，z)的两垂直方向和方向之间的角度变化量，称之为和方向的切应变。为变形后、两垂直方向间角度的变化量则：变形后x、y两垂直方向间夹角的变化量。变形的度量——应变第14页，课件共66页，创作于2023年2月，，

剪（切）应变——两正交线素夹角的减少剪应变以直角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。变形的度量——应变第15页，课件共66页，创作于2023年2月线应变①、涉及受力物体内某一点；②、涉及该点的某一方向；③、是一个无量纲的物理量；④、表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；角应变①、涉及受力物体内某一点；②、涉及过该点的某两相垂直方向；③、是一个有单位，无量纲的物理量。④、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。变形的度量——应变第16页，课件共66页，创作于2023年2月应变分量与位移分量的关系A点在X方向的位移分量为u，B点在X方向的位移：ABCDA

B

C

D

，求线素AB、AD的正应变：线素AB的正应变为：同理，AD的正应变为：第17页，课件共66页，创作于2023年2月X向线素AB的转角，Y向线素AD的转角求剪应变，也就是线素AB与AD之间的直角的改变线素AB的转角为：

A点在Y方向的位移分量为v，B点在Y方向的位移分量：应变分量与位移分量的关系第18页，课件共66页，创作于2023年2月同理，Y向线素AD的转角：由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的略去，得因此，剪应变为：应变分量与位移分量的关系第19页，课件共66页，创作于2023年2月以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：应变分量与位移分量的关系第20页，课件共66页，创作于2023年2月该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西(Cauchy)关系。几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。应变分量与位移分量的关系第21页，课件共66页，创作于2023年2月应变分量

ex、

ey、

ez、e

xy、

e

yz、

e

zx满足张量的性质，构成一个二阶应变张量。应变张量以xi记x，y，z;以ui记u，v，w第22页，课件共66页，创作于2023年2月如果应变矢量qN正在平面法线N方向上，则在这一方向上剪应变为零，则该法线方向即为主方向（或应变主轴）。其含义为：在这些方向上，运动前是彼此垂直的，其运动后仍保持垂直，相应的应变称为主应变

。

主应变和应变张量不变量考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）斜平面上应变向量qN的三个分量：qNi=

ijlj剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变第23页，课件共66页，创作于2023年2月主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。主应变特征方程该方程一定存在三个根，设为

1，

2，

3称为该点主应变:展开得关于

的一元三次方程：

主应变和应变张量不变量第24页，课件共66页，创作于2023年2月在一定的应变状态下，物体内任一点的主应变不会随坐标系的改变而改变，因而，特征方程中的系数J1，J2，J3必为常数，称为应变不变量。再次展开关于

的一元三次方程：

主应变和应变张量不变量第25页，课件共66页，创作于2023年2月体积应变

第一应变不变量第二应变不变量第三应变不变量

主应变和应变张量不变量第26页，课件共66页，创作于2023年2月应变张量分解和应变偏量不变量定义平均应变：应变球张量应变偏张量该应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变该应变状态只有形状畸变而没有体积改变。应变张量分解：第27页，课件共66页，创作于2023年2月应变张量分解和应变偏量不变量第28页，课件共66页，创作于2023年2月用主应变表示应变偏量：注意，纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪应变的必要充分条件是

kk=0，因此，eij

为纯剪状态，并且

ij和eij

有相同主轴。应变张量分解和应变偏量不变量第29页，课件共66页，创作于2023年2月应变偏张量应变偏量不变量如下：应变张量分解和应变偏量不变量第30页，课件共66页，创作于2023年2月由于J

2=0，应变偏张量可进一步分解并解释为都表示纯剪切变形，因此eij只与单元的剪切变形有关应变张量分解和应变偏量不变量第31页，课件共66页，创作于2023年2月应变张量的性质：（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有线应变（主应变）而无切应变。主应变张量为主应变可由应变状态特征方程求得。应变张量分解和应变偏量不变量第32页，课件共66页，创作于2023年2月（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且对于塑性变形，由体积不变条件，有（3）在与主应变方向成45

方向上存在主切应变，其大小为若

1≥

2≥

3，则最大切应变为应变张量分解和应变偏量不变量第33页，课件共66页，创作于2023年2月（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量平均线应变应变偏张量，表示变形单元体形状变化（塑性变形时，由于体积不变，应变偏张量就是应变张量）应变球张量，表示变形单元体体积变化。应变张量分解和应变偏量不变量第34页，课件共66页，创作于2023年2月画圆，称为应变莫尔圆。所有可能的应变状态都落在阴影线范围内。由图可知，最大切应变为应变莫尔圆

已知主应变的值，且

1>

2>

3，可以在

-

平面上，圆心和半径分别为

（5）可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。应变张量分解和应变偏量不变量第35页，课件共66页，创作于2023年2月第三章应变§3-1变形与应变概念

§3-2变形连续条件§3-3应变增量和应变速率张量

§3-4应力应变分析的相似性与差异性第36页，课件共66页，创作于2023年2月§3-2

变形连续条件变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象。为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协调方程。第37页，课件共66页，创作于2023年2月应变协调方程

在应力分析中，已经指出必须建立平衡方程以保证物体总是处于平衡状态。然而，在应变分析中，必须由某些条件强加于应变分量以保证变形体连续。

已知位移可以求出应变。但给定应变，那么有三个未知位移函数，有六个几何方程。如果不对应变加以限制就不能得到一个解。为了能得到一个单值的连续位移函数，必须对应变分量加以限制，这种约束被称为应变协调条件第38页，课件共66页，创作于2023年2月

六个应变分量之间要满足一定的关系，才能保证变形体的连续性。应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。分析：1）将几何方程中的

x、

y

分别对y、x求两次偏导数，可得两式相加，得应变协调方程第39页，课件共66页，创作于2023年2月该式表明，在坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。即

同理可得另外两式，综合在一起可得(应变连续方程或应变协调方程)应变协调方程第40页，课件共66页，创作于2023年2月2）对三个切应变等式分别对z、x、y求偏导，得将上面的前两式相加后减去第三式，得应变协调方程第41页，课件共66页，创作于2023年2月与另外两式组合得(应变连续方程或应变协调方程)再对上式两边对x求偏导数，得上式表明，在物体三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。应变协调方程第42页，课件共66页，创作于2023年2月表明一点的应变分量所应满足的关系，称为应变连续方程，也称应变协调方程或圣维南(Saint-Venant)方程。第43页，课件共66页，创作于2023年2月应变连续方程的物理意义表示：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。注：如果已知一点的位移分量，则由几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。但如果先用其它方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。

应变协调方程第44页，课件共66页，创作于2023年2月例设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为试求：点Ａ（1,1,1）与点B（0.5,－1,0）的应变值解由几何方程式得应变分量为第45页，课件共66页，创作于2023年2月代入点B的坐标值（0.5,－1,0），得其应变值代入点A的坐标值(1,1,1)，得其应变值应变协调方程第46页，课件共66页，创作于2023年2月应变协调方程的张量表示：◆其数学意义：要求位移函数在其定义域内为单值连续函数，保证3个位移为未知量的6个几何方程不相矛盾。◆其力学意义：保证构成物体的介质在变形前后是连续的，物体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束，即同一点不会产生两个或两个以上的位移。由位移函数

应变自动满足连续方程（6个）

由应变

位移积分必须满足全微分条件，变形才是协调的

第47页，课件共66页，创作于2023年2月证明——应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标——如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则轮换x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz

应变协调方程第48页，课件共66页，创作于2023年2月如通过积分，计算出

是单值连续的，则问题可证。

保证单值连续的条件是积分与积分路径无关第49页，课件共66页，创作于2023年2月根据格林公式回代第50页，课件共66页，创作于2023年2月回代到第四式

wx单值连续的必要与充分条件是

同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式——变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。

第51页，课件共66页，创作于2023年2月◆变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应变之间的协调关系。

◆对于单连通域物体，应变分量满足应变协调方程是保证物体变形连续的充要条件。◆利用应变协调方程可检验给定的应变状态是否为可能存在的？也可确定应变分量中的待定系数。应变协调方程第52页，课件共66页，创作于2023年2月应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值连续。边界变形协调要求边界位移满足位移边界条件。位移边界条件——临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。位移边界条件

第53页，课件共66页，创作于2023年2月称为位移边界条件如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移边界条件为：位移边界条件

第54页，课件共66页，创作于2023年2月设物体表面为S位移已知边界Su面力已知边界Ss则S＝Su＋Ss弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件。不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。位移边界条件

第55页，课件共66页，创作于2023年2月如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或平面应变。平面应变状态下的应力状态有如下特点：1)

z

即为主应力，且为

x

、

y

的平均值，即为中间应力，又是平均应力，是一个不变量，有三个独立的应力分量

x

、

y

、

xy。2)若以应力主轴为坐标轴，平面变形时应力状态就是纯切应力状态叠加一个应力球张量。平面问题的应变协调方程第56页，课件共66页，创作于2023年2月第三章应变§3-1变形与应变概念

§3-2变形连续条件§3-3应变增量和应变速率张量

§3-4应力应变分析的相似性与差异性第57页，课件共66页，创作于2023年2月全量应变与增量应变§3-3

应变增量和应变速率张量

全量应变又叫有限应变、总应变，是变形历史中某一时刻之前已经发生的应变总和。增量应变又叫瞬时应变、无限小应变，是变形历史中某一瞬间正在发生的无限小应变。应变速率表示变形体内质点距离改变的快慢，也即各点位移速度的差别。第58页，课件共66页，创作于2023年2月物体质点位移增量瞬时应变增量张