弹塑性波与冲击动力学第二章

弹塑性波与冲击动力学第二章第1页，课件共81页，创作于2023年2月2-1物质坐标和空间坐标连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上考虑物体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成是连续不断的质点所组成的系统，即把物体看成是质点的连续集合。每个质点在空间上占有一定的空间位置，不同的质点在不同的时间占有不同的空间位置。

构形：一个物体中各质点在一定时刻的相互位置的配置。第2页，课件共81页，创作于2023年2月如何描述质点运动？定义坐标系（1）质点命名（为了区别不同的质点），如Xi(a,b,c)（2）描述质点所占据的空间位置xi。i=1，一维；i=3，三维

（3）时间坐标t第3页，课件共81页，创作于2023年2月

在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究介质的运动：

Lagrange方法

Euler方法。相应地，研究杆的运动时，要先选定坐标系统，一般对应有两种坐标系：Lagrange坐标（即物质坐标，随着介质质点流动来考察）

Euler坐标（即空间坐标，固定空间位置来考察）。

第4页，课件共81页，创作于2023年2月Lagrange描述（方法）：随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为Lagrange描述（方法），又叫随体法。Euler描述（方法）：在固定的空间点上来观察物质的运动，所研究的是在给定的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述（方法），又叫当地法。第5页，课件共81页，创作于2023年2月Lagrange坐标：

为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c）作为其标记，不同的质点以不同的数来（a，b，c）表示，这组数（a，b，c）就称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体坐标）。

Lagrange表示法：t=t0时位置来表示，Euler坐标：为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以一组固定于空间的坐标表示该位置，这组坐标称为Euler坐标（或空间坐标）第6页，课件共81页，创作于2023年2月两种方法的举例说明：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：①在每一辆公交车上安排记录员，记录每辆车在不同时刻（站点）上下车人数（采用Lagrange法，即随体法）；②在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的车辆上下车人数，（采用Euler法，即当地法）。第7页，课件共81页，创作于2023年2月以长杆中一维运动为例：

X质点命名（质点在参考时刻的空间位置坐标）：X质点任一时刻t在空间所占位置：x

质点X物理含义：质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系中所占据的位置坐标。参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适当的时刻；参考空间坐标系可以与描述运动所用的空间坐标系一致，也可以不同，选取原则取决于研究问题的方便性。第8页，课件共81页，创作于2023年2月X表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t占据不同的空间位置x

，即x是X和t的函数

(2-1-1)

如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固定t，上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说，在给定时刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间位置也只能有一个质点。第9页，课件共81页，创作于2023年2月表示法二：反过来只要运动是连续单值的，（2-1-1）式可反演为

(2-1-2)即X是ｘ和t的函数。

（2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一维长杆中介质运动的两种形式，二者是可是互换的。X第10页，课件共81页，创作于2023年2月

在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表达为质点X和时间t的函数：Ψ

=F(X,t)。自变量X即为Lagrange坐标（物质坐标）。应用Euler方法，可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时间t的函数：Ψ

=f(x,t)。自变量x即为Euler坐标（空间坐标）。显然，对于同一物理量Ψ，有Ψ

=F(X,t)

=f(ｘ,t)(2-1-3)第11页，课件共81页，创作于2023年2月

描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐标来进行描述，二者还可以进行转换。（1）物质坐标系中描述的物理量空间坐标系中描述的物理量由（2-1-2）、（2-1-3）式，有

(2-1-4)

（2）空间坐标系中描述的物理量物质坐标系中描述的物理量由（2-1-1）、（2-1-3）式=有(2-1-5)第12页，课件共81页，创作于2023年2月2-2时间微商与波速三种微商：空间微商（Euler微商）物质微商（Lagrange微商或随体微商）随波微商两种波速：空间波速（Euler波速）物质波速（Lagrange波速）第13页，课件共81页，创作于2023年2月空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对时间t的变化率，即

(2-2-1)物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X来观察物理量Ψ对时间t的变化率，即

(2-2-2)第14页，课件共81页，创作于2023年2月对于（2-2-2）式应用复合函数求微商的连锁法则，有

质点X空间位置对时间的物质微商，即质点X的运动速度(2-2-3)(2-2-4)第15页，课件共81页，创作于2023年2月物理量Ψ为质点速度时，(2-2-4)式变为质点加速度的表达式：

(2-2-5)(2-2-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显然在定常场中该项为零；第二项称为迁移变化率，在均匀场中该项为零。与此相对应，(2-2-5)式中，等式右边第一项通常称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。第16页，课件共81页，创作于2023年2月物质波速（Lagrange波速）：在物质坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面传播到质点X处，以表示波阵面在物质坐标中的传播规律，则物质波速（Lagrange波速）可表示为：

(2-2-6)空间波速（Euler波速）：在空间坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面传播到空间点x处，以表示波阵面在空间坐标中的传播规律，则空间波速（Euler波速）可表示为：

(2-2-7)

物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的描述，但由于选择的坐标不同，其数值不一定相同，除非波阵面前方介质是静止且无变形的。第17页，课件共81页，创作于2023年2月随波微商：随着波阵面来观察物理量Ψ对时间t的变化率。根据坐标系的不同，有两种表达式，即在空间坐标系中有:(2-2-8)在物质坐标系中有：

(2-2-9)(2-2-9)式中，取物理量Ψ为质点的空间位置x，该式转变为：

(2-2-10)第18页，课件共81页，创作于2023年2月

设初始时刻某质点X空间位置根据定义为X，随后某时刻该质点到达空间位置x，则位移为u，显然有，故

一维长杆中X与x的相互关系ε为工程应变。则(2-2-10)式可简化为：(2-2-11)

可以看出，只有当初始质点速度和初始应变为零时，空间波速和物质波速值相同。

第19页，课件共81页，创作于2023年2月

关于空间波速和物质波速的关系，由于通常是取变形（运动）前质点空间位置作为物质坐标，如果波阵面在物质坐标中的传播速度为C，当考虑到物质坐标本身的变形（运动）时，则相对于波阵面前方质点的相对空间波速应是。这相当于流体力学中的局部声速。再考虑到质点本身也以速度v在运动，则波阵面在空间坐标中的绝对空间波速显然是（右传波，如果是左传波则为），这就是该式的物理意义。第20页，课件共81页，创作于2023年2月2-3物质坐标描述的杆中纵波控制方程2-3-1基本假定

（1）平截面假定，即假定杆在变形时横截面保持为平面，沿截面只有均布的轴向应力。按照这一假定，杆中各运动参量（位移、质点速度、应力等）都只是X和t的函数，应力波传播的问题就简化为一维问题了。但是，这一假定只有在长杆的横向尺寸与应力波的波长相比很小时才近似成立。第21页，课件共81页，创作于2023年2月

（2）忽略横向惯性效应。即忽略杆中质点横向运动的惯性效应，忽略杆中质点横向膨胀或收缩对动能的贡献。这一假定实际上与第一个假定密不可分。质点的横向运动必然使得动能横向耗散，减小X方向的动能，从而导致X方向应力波阵面的弯曲。如果忽略横向惯性效应，则和都等于零，因而处于单向应力状态，且因为无横向能量耗散，应力波阵面不会弯曲，保持平面状态。第22页，课件共81页，创作于2023年2月

（3）应力只是应变的单值函数。对于应变率无关理论，材料的本构关系可写成

（2-3-1）这一假定似乎只有在弹性变形范围内（低应变率）才适用或对应变率不敏感的弹塑性材料近似可用。但可以认为材料在某一应变率范围内近似具有唯一的动态应力应变关系，在形式上是应变率无关的，但与静态应力应变关系不同，因为它在一定意义上已考虑了应变率的影响。应变率无关理论在工程应用中具有十分重要的应用价值。第23页，课件共81页，创作于2023年2月2-3-2控制方程组位移连续方程或质量守恒方程——运动学条件；运动方程或动量守恒方程——动力学条件；能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）。第24页，课件共81页，创作于2023年2月

（1）位移连续方程考察一维等截面均匀杆中微元体的纵向运动。取杆变形前（设t0=0时）质点的空间位置作为物质坐标，杆轴为X轴，取一微元dX作为研究对象。杆的原始截面积为A0，原始密度为ρ0。在t=t1时刻微元的两个截面分别移动到空间位置x和x+dx，则X截面发生的位移为。第25页，课件共81页，创作于2023年2月根据位移连续条件，为连续函数，有：可得位移连续方程（或称ε和v的相容方程）：

（2-3-2）第26页，课件共81页，创作于2023年2月

（2）

动量守恒方程由图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元体两个截面上的作用力之差应等于微元体质量与加速度的乘积，即引入工程应力，可得

（2-3-3）此即动量守恒方程（或称σ和v的相容方程）。第27页，课件共81页，创作于2023年2月

（3）

能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）由于应力波传播速度很高，在应力波通过微元体的时间内，微元体还来不及和邻近的微元体及周围介质交换热量，因而可视为绝热过程，这一过程遵守能量守恒关系。（2-3-1）式给出的材料的本构关系式实际上是绝热过程中得到的，故无需再另外列出能量守恒方程，由方程（2-3-1）~（2-3-3）可以组成关于变量σ、ε和v的封闭的控制方程组：

（2-3-4）第28页，课件共81页，创作于2023年2月

（1）以ε和v为未知变量的控制方程组连续可微，对于连续波波速（2-3-5）则（2-3-6）代入（2-3-3）式可得

（2-3-7）上式与位移连续方程（2-3-2）式就共同组成了以ε和v为未知变量的控制方程组，即（2-3-8）第29页，课件共81页，创作于2023年2月

（2）以σ和v为未知变量的控制方程组

由（2-3-6）式和（2-3-2）式可以得到

（2-3-9）

它与运动方程（2-3-3）式共同组成了以σ和v为未知变量的控制方程组，即（2-3-10）第30页，课件共81页，创作于2023年2月

（3）以u为未知变量的二阶偏微分方程由于ε和速度v都是位移u的一阶微商，即，，代入（2-3-7）式，可得

（2-3-11）该方程通常称为波动方程，描述了一维杆中应力纵波的传播规律。第31页，课件共81页，创作于2023年2月不同形式表示的一维应力纵波的控制方程：第32页，课件共81页，创作于2023年2月

2-4特征线与特征线上的相容关系控制方程组波阵面参数σ、ε、v和u等

随X、t的变化规律。但是由这些偏微分方程组获得解析解并不容易。对于一维波传播的基本方程组，除了弹性波是线性方程外，一般都是非线性的。因此大多数实际问题，往往只能用一些近似的数值方法求解。

特征线方法是解决波传播问题最为重要的方法之一，具有重要的应用价值，因为它是求解双典型线型偏微分方程的主要解法之一，可以把解两个自变量的偏微分方程问题转化为解特征线上的常微分方程问题。

第33页，课件共81页，创作于2023年2月

按照偏微分方程理论，对任意一个二阶偏微方程：

系数A、B、C、D、E和G，都仅依赖于X和t，与u无关，则方程为二阶线性偏微分方程；还与u有关时，则方程为非线性的。

G=0时，为齐次方程。第34页，课件共81页，创作于2023年2月

按照方程解的特性，可以根据判别式△=B2-4AC的数值将其划分为三种类型：（1）△<0时，称为椭园型方程，其自变量（X，t）平面上没有实特征线。解这类方程，其因变量及其方向导数在解区的整个边界上都必须给定才行。（2）△=0时，称为抛物线型方程，其自变量平面上只有一条实特征线。（3）△>0时，称为双曲线型方程，其自变量平面上有两条实特征线。前面的波动方程（2-3-11）式就属于双曲线型方程。第35页，课件共81页，创作于2023年2月

何谓特征线？可用不同而又相互等价的方法来定义。物理意义上：特征线是在（X-t）平面上扰动波阵面传播的轨迹。图中曲线上各点的斜率就是扰动波的传播速度，式中正负号分别对应于向右和向左的传播速度。

第36页，课件共81页，创作于2023年2月

在数学意义上：（1）方向导数法（Curant和Friedrichs提出）（2）不定线方法

方向导数法：如果能把某二阶偏微分方程或等价的一阶偏微分方程组的线性组合化为只包含自变量平面上某一曲线Γ的方向导数的形式时，则曲线Γ即为该方程（或方程组）的特征线，而该曲线各点的斜率dX/dt称为该特征线的特征方向。

不定线法：如果对于自变量平面（X，t）上某曲线Γ，由沿此曲线Γ上给定的初值连同偏微分方程一起不足以确定全部偏导数的话，则此曲线Γ称为特征线。第37页，课件共81页，创作于2023年2月

用方向导数法和不定线法来定义特征线，分别从不同角度反映了特征线的某种性质，采用不同的方法所得到的特征线是相同的。控制方程特征线方程特征线上相容关系式特征线解法方向导数法不定线法第38页，课件共81页，创作于2023年2月方向导数含义：

在（X，t）平面内有一曲线Γ，函数f(X,t)在S方向上的方向导数定义为：

它可以给出在与曲线Γ相切方向上对S的变化率。其中S的方向即为：

第39页，课件共81页，创作于2023年2月例1：已知一维纵波的波动方程，采用方向导数法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。

例2：已知一维纵波的控制方程，采用方向导数法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。第40页，课件共81页，创作于2023年2月例3：已知一维纵波的控制方程，采用方向导数法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。例4：已知一维纵波的控制方程，采用不定线法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。第41页，课件共81页，创作于2023年2月例1：已知一维纵波的波动方程，采用方向导数法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。

(1)解：设在自变量平面（X，t）上有某曲线Γ（X，t），对于u的一阶偏导数v、ε，沿此曲线方向的微分分别为：

(2)(3)第42页，课件共81页，创作于2023年2月

dX和dt是曲线Γ上微段dS在两轴上的分量，即是曲线Γ在（X，t）点上的斜率。如果曲线Γ是二阶偏微分方程(1)式的特征线，则该式能化为只包含沿此曲线的方向微分。将(2)和(3)式进行线性组合就能实现，即(2)+λ*（3）有

(4)此时，线性组合式应与(1)式等价，即(1)、(4)两方程应等价，有：第43页，课件共81页，创作于2023年2月可得，则

上式即为所求特征线微分方程，对其积分可得相应的特征线方程。由(4)式，可得只包含沿特征线方向微分的常微分方程：

第44页，课件共81页，创作于2023年2月例2：已知一维纵波的控制方程，采用方向导数法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。

解：对于上式中的一阶偏微分方程组，根据特征线方向导数法的定义，（1）式乘以λ加上（2）式进行线性组合：两函数v、ε所对应的特征方向应当相同，即有：第45页，课件共81页，创作于2023年2月（特征线微分方程）（3）式可转变为：即有：从而可得：（特征线上的相容关系）第46页，课件共81页，创作于2023年2月例3：已知一维纵波的控制方程，采用方向导数法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。解过程略，方法同前。结果：特征线的微分方程仍为，特征线上的相容关系的常微分表达式为：实际上可由(2-3-6)式和(2-4-16)直接可以得到上式。第47页，课件共81页，创作于2023年2月例4：已知一维纵波的控制方程，采用不定线法求解一维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。解：将一维应力纵波以ε和v为未知变量的控制方程组与参量v和ε构成方程组如下第48页，课件共81页，创作于2023年2月此方程可看成解四个偏导数、、、的代数方程组，可用矩阵的形式表示为：第49页，课件共81页，创作于2023年2月若曲线为特征线,上述方程的解不确定,则应有即第50页，课件共81页，创作于2023年2月同样可解得：第51页，课件共81页，创作于2023年2月

对于一维应力纵波，特征线微分方程和特征线上的相容关系分别为：第52页，课件共81页，创作于2023年2月2-5空间坐标描述的控制方程与特征线比较第53页，课件共81页，创作于2023年2月比较比较比较第54页，课件共81页，创作于2023年2月

利用特征线解法，可以得到空间坐标描述的一维应力纵波的特征线微分方程和特征线上的相容关系式：第55页，课件共81页，创作于2023年2月

物质坐标描述与空间坐标描述的控制方程可以通过坐标变换得到，变换公式为：

控制方程的形式虽然在两种坐标中不同，但问题的物理实质不会因为坐标系的不同而不同。第56页，课件共81页，创作于2023年2月

关于测试元件测试的波速关系：当测试元件固定在空间中，测得的是Euler波速；当测试元件固定在试件上，测得的是Lagrange波速；如果波阵面前方的质点速度和应变皆为0，则测得的两种波速值相等。第57页，课件共81页，创作于2023年2月思考题：1、什么是特征线？什么类型的问题可用特征线法求解？2、特征线的物理含义是什么？3、为什么用特征线法求得的解就是原方程的解？第58页，课件共81页，创作于2023年2月作业：用方向导数法求求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系：（1）一维应力纵波（空间坐标系）（2）一维等熵流第59页，课件共81页，创作于2023年2月（3）一维杆运动（4）球面等熵流（5）二维定常

等熵流第60页，课件共81页，创作于2023年2月2-6波阵面上的守恒方程运动学条件——质量守恒方程动力学条件——动量守恒方程能量守恒方程第61页，课件共81页，创作于2023年2月奇异面：具有导数间断的面，在数学上称为奇异面。

强间断：如果位移函数u的一阶导数间断，即质点速度和应变在波阵面上有突跃（波阵面前后参量的差值为一有限值），称为强间断或一阶奇异面。如递增硬化材料中的塑性波由于高幅值扰动的波速大于低幅值扰动的波速所形成的应力波的波剖面是间断的，常称为冲击波。2-6-1强间断和弱间断第62页，课件共81页，创作于2023年2月

弱间断：如果函数u及其一阶导数皆连续（波阵面前后v、ε参量的差值为无穷小值），但其二阶导数如加速度等发生间断，称为二阶奇异面，依此类推，还可以有更高阶的奇异面，这种二阶或更高阶的奇异面都称为弱间断。二阶奇异面所对应的应力波通常称为加速度波。弱间断所对应的应力波其波剖面是连续的，称为连续波。第63页，课件共81页，创作于2023年2月第64页，课件共81页，创作于2023年2月令，外加载荷保持恒值，则弱间断边界条件便转换成强间断边界条件。第65页，课件共81页，创作于2023年2月2-6-2质量守恒方程

ψ表示物理参量,[ψ]表示该参量的在波阵面前后的变化值。

设有平面波阵面以波速D向右传播，波阵面上的任一物理量，设波阵面之前和之后的ψ值分别表示为和，则波阵面前后参量的变化值表示为。

第66页，课件共81页，创作于2023年2月

对于一阶奇异面（强间断）有，则上式变为Maxwell定理考察物理量对时间的变化率，即随波微商有：

对和分别取随波微商并相减，可得

第67页，课件共81页，创作于2023年2月

对于二阶奇异面，用ψ的一阶偏导数和代替式中的ψ，有

ψ及其一阶导数连续，二阶导数间断，有，，从而有：

第68页，课件共81页，创作于2023年2月

上三式分别对应于ψ本身、ψ的一阶导数和二阶导数发生间断情况下波阵面上运动学相容条件的通式。对于左行波，用-D替代D即可。Maxwell定理第69页，课件共81页，创作于2023年2月通式中ψ用位移u来代替，显然有对于冲击波波阵面：

对于加速波波阵面：

上两式分别为冲击波和加速度波波阵面的运动学相容条件——质量守恒条件。第70页，课件共81页，创作于2023年2月2-6-3动量守恒方程