湖南省长沙市第二十中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省长沙市第二十中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集,，则

参考答案：B2.在各项均为正数的等比数列{}中，若=9，则=(

)(A)12

(B)2＋

(C)8

(D)10

参考答案：D3.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则（

）A.；

B.8；

C.或8；

D.6

参考答案：B略4.函数的部分图像如图1所示，则=（

）

A．4

B．6

C．1

D．2参考答案：B略5.如果等差数列中，，那么等于（A）21 （B）30 （C）35 （D）40参考答案：C在等差数列中，由得。所以，选C.（4）要得到函数的图象，只要将函数的图象（A）向左平移2个单位 （B）向右平移2个单位（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位【答案】D【解析】因为，所以只需将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，选D.6.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为，则判断框中应填入的条件为（

）A．B．C．D．参考答案：B7.设全集,集合，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.要得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C.向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：C由题意知：把函数的图象向左平移个单位，可得：.故选：C

9.函数的图象大致为参考答案：D【知识点】函数的图像；函数的奇偶性B4B8

解析：由知：，即，所以函数为奇函数，排除A;当，总会存在x,使cos6x<0,故排除B,C,故选D.【思路点拨】先判断出原函数为奇函数，再利用排除法即可。10.已知向量a，若向量与垂直，则的值为 （

） A．

B．7

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个命题：①②，使得成立；③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一

点，取得的点到距离大小1的概率为；④在中，若，则是锐角三角形，其中正确命题的序号是 参考答案：①②④.略12.若在△ABC中，则=_______。参考答案：13.对于，有如下四个命题:

1

若，则为等腰三角形，②若，则是不一定直角三角形③若，则是钝角三角形[来]④若，则是等边三角形。其中正确的命题是

.参考答案：②④对于①，若，或，∴或，则为等腰或直角三角形；对于②，若，则∴，即，则不一定为直角三角形；对于③若，则，∴为锐角，但不能判断或为钝角；对于④若，则，∴，∴，∴，∴是等边三角形．14.过双曲线x2﹣y2=1焦点的直线垂直于x轴，交双曲线于A、B两点，则|AB|=

．参考答案：2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其焦点坐标，进而可得直线AB的方程，联立直线AB与双曲线的方程可得AB的纵坐标，由此计算可得线段AB的长度，即可得答案．【解答】解：双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），直线AB的方程为x=或x=﹣，联立，解可得y=±1，则|AB|=2；故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出点A、B的坐标．15.在△中，、、分别为、、的对边，三边、、成等差数列，且，则的值为

．参考答案：16.已知变量x，y满足约束条件，则x2+y2+2（x﹣y）的最小值为．参考答案：【考点】7C：简单线性规划．【分析】z=x2+y2+2（x﹣y）=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图z=x2+y2+2（x﹣y）=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，则z的几何意义是，区域内的点到点D（﹣1，1）的距离的平方减2，解得A（，）由图象可知点D到A的距离d即为z=d2﹣2最小值，则z==，故x2+y2+2（x﹣y）的最小值为，故答案为：．17.已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，（1）当时，用列举法表示集合A；（2）设其中证明：若则.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．参考答案：解：（1）由已知，得

解得

…2分

所以椭圆的标准方程为．

…3分（2）设点，则中点为．由已知，求得直线的方程为，从而．①又∵点在椭圆上，∴．②由①②，解得（舍），，从而．

…5分所以点的坐标为．

…6分（3）设，，．∵三点共线，∴，整理，得．…8分∵三点共线，∴，整理，得．…10分∵点在椭圆上，∴，．从而．

…14分所以．

…15分∴为定值，定值为．

…16分略19.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的.(1)求数列的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．参考答案：20.(本题满分15分)已知实数a满足1＜a≤2，设函数f(x)＝x3－x2＋ax．(Ⅰ)当a＝2时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同，求证：g(x)的极大值小于等于10．参考答案：(Ⅰ)解：当a＝2时，f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

列表如下：x(－，1)1(1，2)2(2，＋)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f(x)的极小值为f(2)＝．…………………6分略21.等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0，数列{bn}为等比数列，且b2=a2，b3=a5，b4=a14．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}对任意n∈N*均有++…+=an成立，求c1+c2+…+cn（n≥2）参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）设等比数列{bn}的公比为q，由于b2=a2，b3=a5，b4=a14．利用等差数列与等比数列的通项公式可得：qb1=1+d，q2b1=1+4d，q3b1=1+13d，联立解得即可．（II）由于数列{cn}对任意n∈N*均有++…+=an成立，可得当n=1时，c1=a1b1．当n≥2时，可得=an﹣an﹣1=2，可得cn=2×3n﹣1．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{bn}的公比为q，∵b2=a2，b3=a5，b4=a14．∴qb1=1+d，q2b1=1+4d，q3b1=1+13d，联立解得b1=1，q=3，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3n﹣1．（II）∵数列{cn}对任意n∈N*均有++…+=an成立，∴当n=1时，c1=a1b1=1．当n≥2时，++…+=an﹣1，可得=an﹣an﹣1=2，∴cn=2×3n﹣1．∴n≥2时，c1+c2+…+cn=1+2（3+