北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业16 双曲线及其标准方程（含解析）

第第页北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业16双曲线及其标准方程（含解析）北师大高中数学选择性必修第一册

第二章课时作业16双曲线及其标准方程(原卷版)

角

一、选择题

1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.双曲线＝1的焦距为(C)

A.2B.3

C.6D.8

3.在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(D)

A.＝1

B.＝1

C.＝1

D.＝1或＝1，故选D.

4.设C1，C2是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动圆C3与C1，C2均外切，则动圆圆心C3的轨迹为(D)

A.直线

B.圆或椭圆

C.抛物线

D.双曲线的一支(去除顶点)

5.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(C)

A.B.

C.D.

6.如图，已知双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为(B)

A.2a＋2mB.4a＋2m

C.a＋mD.2a＋4m

7.已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积为(A)

A.B.

C.2D.4

8.(多选题)已知方程＝1表示的曲线C，则下列判断正确的是(BCD)

A.当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆

B.当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线

C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4

二、填空题

9.已知方程＝1，当这个方程表示椭圆时，k的取值的集合为(－∞，4)；当这个方程表示双曲线时，k的取值的集合为(4，9).

10.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于24.

11.经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是＝1.

三、解答题

12.求满足下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点为(0，－6)，(0，6)，且经过点(－5，6)；

(2)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点(3，2)；

(3)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2).

设双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，且与椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程.

14.(多选题)已知点P在双曲线C：＝1上，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(BC)

A.点P到x轴的距离为

B.|PF1|＋|PF2|＝

C.△PF1F2为钝角三角形

D.∠F1PF2＝

15.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).

16.若原点O和点F(－2，0)分别是双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求的取值范围.

北师大高中数学选择性必修第一册

第二章课时作业16双曲线及其标准方程(解析版)

一、选择题

1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：根据双曲线的定义，乙甲，但甲乙，只有当0＜2a＜|F1F2|时，点M的轨迹才是双曲线.故选B.

2.双曲线＝1的焦距为(C)

A.2B.3

C.6D.8

解析：已知双曲线的方程为标准方程，可得a2＝6，b2＝3，则c＝＝3，故焦距2c＝6.故选C.

3.在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(D)

A.＝1

B.＝1

C.＝1

D.＝1或＝1

解析：因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，所以应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，故选D.

4.设C1，C2是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动圆C3与C1，C2均外切，则动圆圆心C3的轨迹为(D)

A.直线

B.圆或椭圆

C.抛物线

D.双曲线的一支(去除顶点)

解析：记圆C1与C2的半径分别为r1，r2，由三圆的相切关系易得||C3C1|－|C3C2||＝|r1－r2|≠0，|C1C2|＝r1＋r2＞|r1－r2|，由双曲线的定义知，动圆圆心C3的轨迹为双曲线的一支，又因为C3的半径不为0，故双曲线的顶点不合要求，要除去.故选D.

5.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(C)

A.B.

C.D.

解析：依题意，a＝b＝，∴c＝2.

∵|PF1|＝2|PF2|，设|PF2|＝m，

∴|PF1|＝2m，又|PF1|－|PF2|＝2a＝m.

∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，

又|F1F2|＝2c＝4，

∴cos∠F1PF2＝

＝

.故选C.

6.如图，已知双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为(B)

A.2a＋2mB.4a＋2m

C.a＋mD.2a＋4m

解析：由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.故选B.

7.已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积为(A)

A.B.

C.2D.4

解析：∵在双曲线C：＝1中，a＝3，b＝4，c＝5，∴F1(－5，0)，F2(5，0)，|F1F2|＝10.

∵|PF2|＝|F1F2|＝，

∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋.

∴在△PF1F2中，cos∠PF1F2＝，

∴sin∠PF1F2＝，

∴△PF1F2的面积为×10×.故选A.

8.(多选题)已知方程＝1表示的曲线C，则下列判断正确的是(BCD)

A.当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆

B.当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线

C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4

解析：由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＝1表示圆，故A选项错误；由双曲线的定义可知当(4－t)(t－1)＜0，即t＜1或t＞4时，方程＝1表示双曲线，故B选项正确；由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t＞t－1＞0，解得1＜t＜，故C选项正确；当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得t＞4，故D选项正确.故选BCD.

二、填空题

9.已知方程＝1，当这个方程表示椭圆时，k的取值的集合为(－∞，4)；当这个方程表示双曲线时，k的取值的集合为(4，9).

解析：因为＝1，当方程表示椭圆则

解得k＜4，即k∈(－∞，4)；当方程表示双曲线则(4－k)(9－k)＜0解得4＜k＜9，即k∈(4，9).

10.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于24.

解析：双曲线x2－＝1的两个焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，由双曲线的性质知x－x＝2，解得x＝6.

∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，

∴∠F1PF2＝90°，△PF1F2的面积为×8×6＝24.

11.经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是＝1.

解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则解得

故双曲线的标准方程为＝1.

三、解答题

12.求满足下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点为(0，－6)，(0，6)，且经过点(－5，6)；

(2)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点(3，2)；

(3)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2).

解：(1)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.因为点(－5，6)在双曲线上，所以点(－5，6)到两焦点的距离之差的绝对值是常数2a，

即2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是＝1.

(2)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，－2)，(0，2).由双曲线的定义知2a＝||＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3.因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1.

(3)设所求的双曲线的标准方程为＝1(－4＜λ＜16)，由双曲线经过点(3，2)，得＝1，

解得λ＝4，所以双曲线的标准方程为＝1.

13.设双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，且与椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程.

解：由题可知，椭圆的焦点F1(0，－3)，F2(0，3)，

又双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，

所以双曲线的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，

由双曲线与椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4，

所以点A(，4).

则|AF1|－|AF2|＝＝4＝2a，

所以a＝2，又b2＝c2－a2＝5，

所以双曲线方程为＝1.

14.(多选题)已知点P在双曲线C：＝1上，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(BC)

A.点P到x轴的距离为

B.|PF1|＋|PF2|＝

C.△PF1F2为钝角三角形

D.∠F1PF2＝

解析：因为双曲线C：＝1，所以c＝＝5.

又因为·2c|yP|＝·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；将|yP|＝4代入C：＝1得＝1，即|xP|＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知|PF2|＝.

由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝，所以选项B正确；由对称性，对于上面点P，在△PF1F2中，|PF1|＝＞2c＝10＞|PF2|＝.且cos∠PF2F1＝＜0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得cos∠F1PF2＝，∠F1PF2≠，所以选项D错误.故选BC.

15.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).

解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，得

|MC1|－|AC1|＝|MA|，

|MC2|－|BC2|＝|MB|，

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，

所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).

16.若原点O和点F(－2，0)分别是双曲线－