平稳序列参数表征

平稳序列参数表征第1页，课件共80页，创作于2023年2月第一节平稳序列均值的估计若为平稳序列，均值函数与t无关，记为。记为序列的容量为n的样本序列。第2页，课件共80页，创作于2023年2月

回顾：当为独立同分布序列时，根据大数定律和中心极限定理，可知的极限性质。主要有：(1)相合性设是独立同分布的随机变量序列,记，则,第3页，课件共80页，创作于2023年2月

(2)渐近正态性设随机变量相互独立，同分布，且,则当时

的分布趋于标准正态分布，也就是

其中是标准正态分布N(0,1)的分布函数第4页，课件共80页，创作于2023年2月

设是平稳序列的观测值，均值函数

的点估计，由下式表示出，。第5页，课件共80页，创作于2023年2月

一相合性(consistency)定义1.1设统计量是的估计，在统计学中有如下的定义：(1)如果，则称是的无偏估计。(2)如果当时，，则称是

的渐进无偏估计。(3)如果依概率收敛到，就称是的相合估计。(4)如果几乎处处(a.s.)收敛到，就称是的强相合估计。第6页，课件共80页，创作于2023年2月

定理1.1设平稳序列有均值和自协方差函数，若以作为的估计，那么(1)是的无偏估计,(2)若，则是的相合估计。即当时，有或(3)如果是严平稳遍历序列，则是的强相合估计。第7页，课件共80页，创作于2023年2月

二中心极限定理---渐近正态(AsymptoticNormality)回顾：如果是独立同分布序列，当时，从中心极限定理知道依分布收敛到。利用这个结果可以给出的置信度为0.95的渐近置信区间：

当标准差未知和n较大时,可用样本标准差代替。可解决有关均值的假设检验。第8页，课件共80页，创作于2023年2月

定理1.2若

其中为正态白噪声序列，则渐近正态N(0,v)分布，记作

其中

第9页，课件共80页，创作于2023年2月

定理1.3设是平稳过程

其中,是独立同分布的，则当时，依分布收敛到正态分布N(0,v)，记作

其中或者说渐近正态分布。第10页，课件共80页，创作于2023年2月

注：定理1.3对求关于的大样本近似置信区间是有用的，如果过程是平稳Gauss过程，则对有限n,

的精确分布

如果已知，则上式给出的精确置信界，如果未知，有观测值估计量则只能给出近似置信界。第11页，课件共80页，创作于2023年2月

三的模拟计算我们考虑标准正态白噪声和AR(2)模型，

从计算机上产生n=1000个观测数据对于n=1,2,…,1000分别计算出,同时还计算出的相应样本均值，这时真值为。

第12页，课件共80页，创作于2023年2月

模拟计算1当时，n1030501000.19410.05160.05430.03390.30100.13700.17000.0495n3005007001000-0.0226-0.0181-0.0140-0.0105-0.0700-0.0613-0.0508-0.0467第13页，课件共80页，创作于2023年2月

模拟计算2当时，n1030501000.23650.12730.14650.06300.27750.15430.18490.0850n3005007001000-0.0194-0.0143-0.0206-0.0069-0.0283-0.0205-0.0301-0.0102第14页，课件共80页，创作于2023年2月第二节自协方差与自相关函数

的估计一估计方法根据零均值的平稳序列的样本值序列

,估计它的自协方差函数由两种简单方法：

(1)(2.1)(2)(2.2)第15页，课件共80页，创作于2023年2月

两种不同估计的差异(1)是的无偏估计，而不是的无偏估计(k=0例外),但当时,是渐近无偏的。(2)由(2.1)定义的样本自协方差函数能够使得样本自协方差矩阵

不仅是对称方阵，而且是非负定的。第16页，课件共80页，创作于2023年2月

定理2.1设为零均值平稳序列，是长度为n的样本，如(2.1)定义，记

则对任意，有(非负定)。第17页，课件共80页，创作于2023年2月

注1：在定理2.1中，若，则对任意，(正定)a.s.注2：对于由(2.2)定义的，虽然是的无偏估计，但序列并不像具有正定性。第18页，课件共80页，创作于2023年2月

例2.1：设为平稳序列,是长度为n=3的样本，为非零实数，经计算故样本协方差矩阵为取，则取，则故由(2.2)定义的样本协方差为不定序列。第19页，课件共80页，创作于2023年2月

当平稳序列的均值不为零时，我们用以下方法估计的自协方差函数，

(2.3)

式中为的样本均值。第20页，课件共80页，创作于2023年2月

在的估计方法确定后，相应的序列的自相关函数用以下两种方法估计,即(2.4)

(2.5)并且称为样本自相关函数。第21页，课件共80页，创作于2023年2月

二的相合性定理2.2设平稳序列的样本自协方差函数和由(2.1),(2.4)定义，则(1)分别是的渐近无偏估计。(2)分别是的弱相合估计,即

其中表示依概率收敛。(3)如果是严平稳遍历序列,则对每个确定的k,和分别是和的强相合估计，即第22页，课件共80页，创作于2023年2月

注：从这个定理知道，只要是线性平稳序列，则样本自协方差函数是渐近无偏估计，特别当是AR(p),MA(q)或ARMA(p,q)序列,是的渐近无偏估计。第23页，课件共80页，创作于2023年2月

三.的渐近分布1.渐近方差定理2.3若为如下的平稳序列

式中为独立同分布的随机序列，且，则(1)与的协方差有渐近表达式第24页，课件共80页，创作于2023年2月

(2)样本自相关函数和的协方差有以下渐近表达式

注：当为正态序列时，,从而有第25页，课件共80页，创作于2023年2月

2渐近正态分布(中心极限定理)定理2.4在定理1.6的相同条件下，令对于任意正整数k，具有联合渐近正态分布，即其中，G为(k+1)阶对称方阵，其i行j列元素为

第26页，课件共80页，创作于2023年2月

类似地，

其中R为k阶对称方阵,其i行j列元素为（2.6）称(2.6)为Bartlett公式。第27页，课件共80页，创作于2023年2月

该定理应用的例子：sample3.1例2.2（独立白噪声）设，如果，则，由Bartlett公式，

故，当n充分大时,有

第28页，课件共80页，创作于2023年2月例:产生样本长度n=400的白噪声序列,样本自相关函数如下图(sample3.1)：

19/20=95%第29页，课件共80页，创作于2023年2月第30页，课件共80页，创作于2023年2月

例2.3对MA(q)序列，利用定理知,如果白噪声是独立同分布的，只要m>q，由Bartlett公式知,则

于是可作假设检验：是MA(q)下，对m>q有第31页，课件共80页，创作于2023年2月

检验：

使用：

q=0,q=1,第32页，课件共80页，创作于2023年2月

注:一般地，常用或作为与进行比较，以检验数据由MA(1)过程产生。第33页，课件共80页，创作于2023年2月

例2.4(一阶自回归过程)对平稳AR(1)过程

用Bartlett公式，并注意到,则的渐近方差为

当i比较大时第34页，课件共80页，创作于2023年2月

四.随机模拟AR(2)模型：其中为独立同分布正态白噪声。分别利用前100，500，900数据计算，结果如图:第35页，课件共80页，创作于2023年2月

第36页，课件共80页，创作于2023年2月

五.遍历性(Erdogic)一个时间序列的期望和第j个自协方差视作如下意义上的总体平均，即平稳序列的一个样本是的一个实现，而不是某个特定时刻t的的简单抽样，故不能直接引用统计中的大数定律的结果。第37页，课件共80页，创作于2023年2月

对于从随机序列中得到的样本量为N的实现，，可计算：样本均值：(2.7)样本协方差：(2.8)它们不是一个总体平均而是一个时间平均。第38页，课件共80页，创作于2023年2月

一个平稳过程被称作是关于均值遍历的，如果当时，(2.7)依概率收敛于。如果一个平稳过程的自协方差满足

则关于均值是遍历的。一个平稳过程，如果对所有的j都成立，则称该过程是关于二阶矩遍历的。第39页，课件共80页，创作于2023年2月

若是一个正态平稳过程时，条件足可以保证关于所有阶矩的遍历性。物理上的解释：时间平均=总体平均这一结果表明：求平稳序列的统计特征矩只需序列的一次实现，而不需要多次实现。第40页，课件共80页，创作于2023年2月

例2.5：一个平稳的但非遍历的过程设第i个实现的均值是由分布生成的，其中是独立于的均值为0，方差为的正态白噪声过程。第41页，课件共80页，创作于2023年2月第42页，课件共80页，创作于2023年2月

第三节偏相关函数估计偏相关函数的估计的递推公式，第43页，课件共80页，创作于2023年2月

定理3.1设为正态平稳序列，则(1)

(2)

(3)当k>p时，的偏相关函数的估计为随机向量为渐近独立且渐近分布为，为M阶单位阵，M为大于1的任意给定的正整数。第44页，课件共80页，创作于2023年2月第四节模型的初步分析一.独立序列的判别方法(白噪声)设为独立同分布的随机序列，而且,从而是白噪声序列。

第45页，课件共80页，创作于2023年2月

1.白噪声的正态分布检验法

根据的样本数据列计算出样本自相关函数，它们的误差为

由Bartlett公式，可知其中H的第i行第j列的元素为，于是有，第46页，课件共80页，创作于2023年2月

于是对于j=1,2,…,k,我们有取m=1时，，即在中约有68.3%的点值落在区间内;取m=2时，，即在中约有95.44%的点落在区间内;取m=3时，，即在中约有99.74%的点落在区间内(称为原则)。第47页，课件共80页，创作于2023年2月

换一种角度，令表示满足下面条件的j的个数(j=1,2,…,k),

对于原假设：是独立白噪声下，对较大的n，应当有95%的小于1.96，所以当取值大于0.05值，应当拒绝是白噪声的假设。第48页，课件共80页，创作于2023年2月

例4.1(1)样本长度n=400,，取m=2,这时

第49页，课件共80页，创作于2023年2月

也可取m=3的检验方法，则第50页，课件共80页，创作于2023年2月

也可取m=1的检验方法，则第51页，课件共80页，创作于2023年2月

例4.2样本长度n=400,

AR(1)序列第52页，课件共80页，创作于2023年2月第53页，课件共80页，创作于2023年2月

例4.3样本长度n=400,

MA(1)序列：第54页，课件共80页，创作于2023年2月

二.白噪声的检验如果是独立同分布的标准正态随机变量，它们的平方和服从自由度为k的分布对于独立同分布的白噪声，由样本自相关函数的中心极限定理，当n充分大后，近似服从k维标准正态分布，于是，

近似服从分布，这里第55页，课件共80页，创作于2023年2月

由于在原假设下，所以当检验统计量的取值较大时应当拒绝原假设，否则没理由拒绝原假设。具体地，给定检验水平，查k个自由度的分布表得到临界值满足

当实际计算结果时，应当否定是独立白噪声的原假设,当时，不能否定是独立白噪声序列。第56页，课件共80页，创作于2023年2月

例4.4（例4.1的续）对于白噪声序列，有

故，不能否定原假设。第57页，课件共80页，创作于2023年2月

对于AR(1)序列有

故，否定原假设。第58页，课件共80页，创作于2023年2月

例4.5对于AR(1)序列样本数n=400,重复n=500，得到否定原假设的比例为，(1)m=5,b0.00.10.20.30.50.70.80.9p4.5%26%88.5%99.5%100%100%100%100%第59页，课件共80页，创作于2023年2月

(2)m=20,b0.00.10.20.30.50.70.80.9p4%13.5%60%96.5%100%100%100%100%第60页，课件共80页，创作于2023年2月

例4.6MA(1)序列：,样本数n=400,重复n=500，得到否定原假设的比例为，(1)m=5,

b0.00.10.20.30.50.70.80.9p1.5%24%86.5%100%100%100%100%100%第61页，课件共80页，创作于2023年2月

(2)m=20，b0.00.10.20.30.50.70.80.9p2.5%11.4%61%97%100%100%100%100%第62页，课件共80页，创作于2023年2月

注1.上述讨论的问题叙述的依据虽然都基于是独立同分布的白噪声假设，但在实际问题中，这个假设条件可以放宽，即对于假设：是白噪声，一般都可采用上面的方法。注2.在实际问题中，k一般既不能取得过大，亦不能取得太小。一般地，若观测量较多，k可取或，甚至更小；若观测量较小，m可取。第63页，课件共80页，创作于2023年2月

二.周期分量与季节序列的判别方法例4.7：序列其中为某个平稳线性序列.记分别表示序列的样本自协方差函数，于是有经计算，当时，第64页，课件共80页，创作于2023年2月

由平稳序列自相关协方差函数的相合性,当k很大时，有第65页，课件共80页，创作于2023年2月

例4.8.北京1990.1-2000.12年的气温序列sample