微专题 全等型手拉手模型（学案）

第页微专题全等型手拉手模型【典例精析】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是；（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

【模型建立】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。“手拉手”模型在几何题中是非常常见的一种考题模型。手拉手的一般形式：两个顶角相等并且共顶角顶点的等腰三角形已知：，均为等腰三角形，，，结论：手拉手的特殊形式：两个共直角顶点的等腰直角三角形已知：，均为等腰直角三角形，，，结论：

两个共顶点的等边三角形已知：，均为等边三角形结论：两个共顶点的正方形已知：四边形和四边形均为正方形结论：

【模型应用】题型一手拉手的一般形式例1两个等腰三角形和中，，，，连接、，则和的数量关系是______．变式训练1如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，AD、BE交于点H，连CH．求证：CH平分∠AHE

题型二手拉手的特殊形式例2如图，在等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系．变式训练2如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的关系，并说明理由．

例3如图，和是等边三角形，连接，交于点O，连接，则=．变式训练3如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④∠AOB＝60°，恒成立的结论有．全等型手拉手模型总结：全等型手拉手模型总结：三角形全等手拉手模型有3种形式：（1）两个顶角相等共顶点的等腰三角形；（2）两个共顶点的等腰直角三角形；（3）两个共顶点的等边三角形。三种手拉手模型都是在旋转过程中会产生伴随全等三角形。总而言之，即但凡遇到手拉手模型，则要迅速看出他们的伴随全等三角形，然后加以利用。

【巩固练习】如图，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．（将所有正确的序号填在横线上）．如图，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由.

如图，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．在四边形中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求的