微分方程复习要点课件

1．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程一、第七章要点11．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性微分方程类型解法1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性23)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令，则．原方程变为3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令34)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令，则原方程变为4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令42．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程是一个一阶微分方程．1)类型2)类型方法令，则原方程转变为2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程5新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令，则原方程转变为新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令63．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴⑵1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方7的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解3)若是方程的特解，则为方程的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解384．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方9②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为③若方程有一对共轭复根，则方程的通解为②若方程有两个相同的实根，则方程的通102)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中是一个与同次的多项式，而若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中11②设方程则方程有特解其中是次的多项式，，而

按是否为特征方程的根而分别取1或0．②设方程则方程有特解其中12二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程13两边积分，得即得原方程的通解两边积分，得即得原方程的通解14解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．作变换，则有解原方程变形后为齐次方程例2求解方程15移项，得两边积分，得将代入，有移项，得两边积分，得将代入，有16即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为即满足初始条件的解为由初始条件17解原方程变形为即例3求微分方程的通解．此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解公式得解原方程变形为即例3求微分方程18微分方程复习要点ppt课件19分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程．解法1此方程为齐次方程，作代换，则有分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程20故方程的通解为即由于故方程的通解为即由于21解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令，则有解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝22例5求解下列方程即方程的解为1.；2.．解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为例5求解下列方程即方程的解为1.23即所以，方程的通解为即所以，方程的通解为24方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换，则方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换25解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由，得方程的解为．由解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由26例6求下列方程的通解解1.特征方程为解得，由此得到方程的通解1.；2.；3.．例6求下列方程的通解解1.特征方程为解得27则2.特征方程为，因而齐次方程的通解为由于为单根，故可设方程的特解为则2.特征方程为28代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为29代入到原方程，得3.特征方程为，解得，所以齐次方程的通解为注意到不是特征方程的根，故方程的特解可设为代入到原方程，得3.特征方程为301．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程一、第七章要点311．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性微分方程类型解法1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性323)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令，则．原方程变为3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令334)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令，则原方程变为4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令342．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程是一个一阶微分方程．1)类型2)类型方法令，则原方程转变为2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程35新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令，则原方程转变为新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令363．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴⑵1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方37的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解3)若是方程的特解，则为方程的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解3384．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方39②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为③若方程有一对共轭复根，则方程的通解为②若方程有两个相同的实根，则方程的通402)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中是一个与同次的多项式，而若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中41②设方程则方程有特解其中是次的多项式，，而

按是否为特征方程的根而分别取1或0．②设方程则方程有特解其中42二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程43两边积分，得即得原方程的通解两边积分，得即得原方程的通解44解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．作变换，则有解原方程变形后为齐次方程例2求解方程45移项，得两边积分，得将代入，有移项，得两边积分，得将代入，有46即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为即满足初始条件的解为由初始条件47解原方程变形为即例3求微分方程的通解．此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解公式得解原方程变形为即例3求微分方程48微分方程复习要点ppt课件49分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程．解法1此方程为齐次方程，作代换，则有分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程50故方程的通解为即由于故方程的通解为即由于51解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令，则有解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝52例5求解下列方程即方程的解为1.；2.．解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为例5求解下列方程即方程的解为1.53即所以，方程的通解为即所以，方程的通解为54方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换，则方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换