常微分方程数值法

常微分方程数值法第1页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作29.1引言9.3龙格-库塔方法9.2欧拉方法本章要点：本章主要研究基于微积分数值解法的常微分方程数值解，主要方法有线性单步法中的Euler方法、Runge-Kutta方法第2页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作39.1引言在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解在高等数学中我们见过以下常微分方程：-----------(1)-----------(2)第3页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作4-----------(3)(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题-----------(4)另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件第4页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作5定理1.

对于问题(1),要求它的数值解第5页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作6-----------(1)从(1)的表达式可以看出,求它的数值解的关键在于而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过第6页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作79.2Euler方法考虑一阶常微分方程初值的问题：设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题进行离散化。一般是引入点列{}，这里为步长，经常考虑定长的情形，即。记为初始问题（1）的问题准确解在处的值，用均差近似代替（1）的导数得(1)第7页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作8令为的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得（2）（3）从处的初值开始，按（2）可逐步计算以后各点上的值。称（2）式为显式Euler。由于（3）式的右端隐含有待求函数值，不能逐步显式计算，称（3）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果将（2）和（3）两式作算术平均，就得梯形公式。第8页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作9梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由去计算，故称它们为单步法。例1取h=0.1，用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法解

解本题有如果用Euler方法，由（2）并代入h=0.1得同理，用隐式Euler方法有（4）第9页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作10同样可得梯形公式的显式为三种方法及准确解的数值结果如表1所示。从表中看到，在处，Euler方法和隐式Euler方法的误差分别是和，而梯形方法的误差却是。

表1Euler方法隐式Euler方法梯形法准确解011110.11.0000001.0090911.0047621.0048370.21.0100001.0264461.0185491.0187310.31.0290001.0513151.0406331.0408180.41.0561001.0830131.0700961.0703200.51.0904901.1209211.1062781.106531第10页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作11

在例1中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计算。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如，其隐式Euler公式为。显然，它是的非线性方程，可以选择非线性方程求根的迭代法求解。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供迭代初值，用公式反复迭代，直到其中，步长h成为迭代参数，它需要满足一定的条件才能收敛。第11页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作12这里，L是Lipschiz常数。当hL/2<1即h<2/L时，迭代序列收敛。

对于隐式公式，通常采用预估-校正技术，即先用显式公式计算，得到预估值，然后以预估值作为隐式公式的迭代初值，用隐式公式迭代一次得到校正值，称为预估-校正技术。例如，用显式Euler公式作预估，用梯形公式作校正，即称该公式为改进的Euler公式。假设f（x，y）关于y满足Lipschiz条件，则有也可以表示为下列形式第12页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作13第13页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作14

单步法的局部截断误差和阶

初值问题（1）的单步法可以写成如下统一形式其中与有关。若中不含则方法是显式的，否则是隐式的，所以一般显式单步法表示为例如，Euler方法中，有对于不同的方法，计算值与准确解的误差各不相同。所以有必要讨论方法的截断误差。我们称为某一方法在点的整体截断误差。显然，不单与这步的计算有关，它与以前各步的计算也有关，所以误差被称为整体的。分析和估计整体截断误差是复杂的。为此，我们假设处的没有误差，即，考虑从到这一步的误差，这就是如下的局部误差的概念。第14页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作15定义1

设是初值问题（1）的准确解，则称为单步法的局部截断误差。

定义2

如果给定方法的局部截断误差，其中为整数，则称该方法是p阶的，或具有p阶精度。若一个p阶单步法的局部截断误差为则称其第一个非零项为该方法的局部截断误差的主项。对于Euler方法，有Taylor展开有第15页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作16对于隐式Euler方法，其局部截断误差为所以Euler方法是一种一阶方法，其局部截断误差的主项为。梯形方法也是一种隐式单步法，类似可得其局部截断误差所以隐式Euler方法也是一种一阶方法，该方法的局部截断误差的主项为，仅与显式Euler方法的局部截断误差的主项反一个符号。可见，梯形方法是二阶精度的。第16页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作17这种类型的方法称为单步格式或单步法Euler方法的几何体现:前进Euler公式后退Euler公式第17页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作18Euler1.m例1.解:由前进Euler公式第18页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作19得依此类推,有01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.7848第19页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作20定义1.因为一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有定义2.定义3.第20页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作21第21页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作22Euler公式的局部截断误差为具有1阶精度后退Euler公式的局部截断误差为也具有1阶精度显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好从前面的分析可知,Euler法的精度并不算高因此有必要找寻精度更高的求解公式第22页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作23二、基于数值积分的常微分方程数值解法-----------(1)对于初值问题-----------(11)第23页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作24矩形求积公式梯形求积公式,误差为第24页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作25(一)矩形求解公式由可得令-----------(12)(12)式称为矩形公式(矩形法)实际上就是Euler求解公式第25页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作26(二)梯形求解公式由可得令------(13)称(13)式为梯形求解公式(梯形法)注意:(13)式是隐形公式第26页，课件共34页，创作于2023年2月华长生制作27则梯形公式第k步的截断误差为显然梯形法具有二阶精度