专题12三角函数图象与性质（学生版）

专题12三角函数图象与性质（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布三角函数图象与性质近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（理科），第11题,5分三角函数的性质导数求最值2022年全国乙（文科），第8题,5分三角函数图象反比例型函数2022年全国乙（理科），第15题,5分根据性质求三角函数解析式求参2022年全国甲（文科），第5题,5分正弦函数图形变换，奇偶性求参2022年全国甲（理科），第11题,5分正弦函数图象的应用导数求极值2022年全国甲（理科），第5题,5分2022年全国甲（文科），第7题,5分三角函数图象指数函数2023年全国甲（理科），第10题,5分2023年全国甲（文科），第12题,5分三角函数的综合应用函数的零点2023年全国乙（理科），第6题,5分2023年全国乙（文科），第10题,5分根据性质求三角函数解析式，再求值2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，考查选择题、填空题（常出现在压轴题位置）；2.根据图象、性质求三角函数的解析式，再求特殊角的三角函数值；3.根据图象变换得到三角函数新解析式，判断三角函数的性质；4.函数解析式中含三角函数，判断图象；5.函数解析式中含三角函数，求最值、极值、切线；【备考策略】1.能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在-π2,π2上的性质(如单调性、最值、3.会使用正弦型函数、余弦型函数、正切型函数解决实际问题.4.能借助图象理解参数ω，，A的意义,了解参数的变化对函数图象变化的影响.5.掌握三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值.6.会用三角函数解决简单的实际问题,能够利用三角函数构建事物周期变化的数学模型.【命题预测】1.根据图象、性质求三角函数的解析式，再求特殊角的三角函数值；2.根据图象变换得到三角函数新解析式，判断三角函数的性质；3.重点考查三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值；4.函数解析式中含三角函数，判断图象；5.函数解析式中含三角函数，求最值、极值、切线；知识讲解一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别为(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,((2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别为(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域

值域[-1,1][-1,1]

最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在

上单调递增;在上单调递减

在上单调递减;在上单调递增

在上单调递增对称中心(kπ,0)kk对称轴x=kπ+πx=kπ无1、三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.②把sinx或cosx看作一个整体,转换成二次函数求值域.③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.2、求三角函数周期的常用方法(T为最小正周期)(1)公式法求周期①函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B与f(x)=Acos(ωx+φ)+B的周期T=2π②函数f(x)=Atan(ωx+φ)+B的周期T=π|ω|(2)对称性求周期①两对称轴距离的最小值或两对称中心距离的最小值都等于T2②对称中心到对称轴距离的最小值等于T4③两个最大(小)值点的横坐标之差的最小值等于T.三、正弦型函数：“”1、定义域：2、值域：当时，；当时，3、单调性：当与同号时，增区间：减区间：当与异号时，增区间：减区间：4、奇偶性：当且时，为奇函数；当时，为偶函数.5、最小正周期：6、对称性：对称轴：；对称中心：四、余弦型函数：“”1、定义域：2、值域：当时，；当时，3、单调性：当与同号时，增区间：减区间：当与异号时，增区间：减区间：4、奇偶性：当且时，为奇函数；当时，为偶函数.5、最小正周期：6、对称性：对称轴：；对称中心：五、正切型函数：“”1、定义域：2、值域：3、单调性：当与同号时，增区间：当与异号时，减区间：4、最小正周期：5、对称性：对称中心：六、用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:x-ππ32ωx+φ0ππ32πy=Asin(ωx+φ)0A0-A0七、函数的有关概念y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)振幅周期频率相位初相平衡位置AT=2f=1T=ωx+φφ八、图形变换1、：纵坐标的伸缩2、：横坐标的伸缩（注意：乘倒数）3、：左右平移（注意：左“+”右“-”）4、：上下平移（注意：上“+”下“-”）已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象,确定其解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2πT(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点,最好代入最值点求解.考点一、三角函数的定义域与值域1．（2023年内蒙古赤峰三模）函数的定义域为（）.A．B．C．D．2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））函数（）的最大值是．1．函数的定义域为.

2．函数在区间上的值域为（）.A． B．C． D．3．（2023年广东三模）已知函数,则函数在区间上的值域是.

考点二、三角函数的周期性1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和22．若函数的最小正周期满足,则自然数的值为.

3．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（）1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））函数的最小正周期为（）A．B．C．D．2．（【全国百强校】宁夏模拟）函数的最小正周期为（）A． B． C． D．3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知函数，则（）A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为考点三、三角函数的奇偶性1．（2023年河南洛阳月考）若函数是奇函数,则.

2．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2021年北京市高考数学试题）函数是（）A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为1．若函数为奇函数,则φ的一个值为（）.A． B． C． D．2．若函数是偶函数,则的值可以是（）.A． B． C． D．考点四、三角函数的对称性1．已知函数的图象关于直线对称,则φ的值为.

2．（2022年全国新高考I卷数学试题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．33．（2023年新高考天津数学高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．1．（2023年海南模拟）已知函数图象的一条对称轴为,则的最小值为（）.A．2 B．4 C．6 D．82．已知函数在处取得最大值,则函数的图象（）.A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数的图象关于直线对称，则的值是．考点五、三角函数的单调性1．函数的单调递增区间是.

2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．3．（2022年北京市高考数学试题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B．C．D．1．函数的单调递减区间为.

2．已知且函数在上单调递减,则的取值范围是.

3．已知函数在区间上单调递增,则φ的取值范围是（）.A． B．C． D．考点六、三角函数图象与性质的综合应用经常出压轴题1．设函数，则下列结论错误的是（）A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））关于函数有如下四个命题：①的图象关于轴对称．②的图象关于原点对称．③的图象关于直线对称．④的最小值为2．其中所有真命题的序号是．3．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数，则（）A．的最小值为2 B．的图象关于轴对称C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称2．已知函数的图像关于直线对称，将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法正确的是（

）A．的图像关于直线对称B．是奇函数C．在上单调递减D．的图像关于点对称3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④考点七、三角函数的图形变换1．（2022年浙江省高考数学试题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A．B．C． D．3．（2020年江苏省高考数学试卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.1．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减2．为了得到的图象，可以将函数的图象（

）A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度3．已知函数的一个零点为．要得到偶函数的图象，可将函数的图象（

）．A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位考点八、根据三角函数的图象、性质求解析式1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（）A．， B．， C．， D．，（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．1．已知函数在一个周期内的图象如图所示；若为偶函数，则的值可以为（

）A． B． C． D．2．函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．C． D．3．已知函数为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则f(1)=.

考点九、三角函数的零点问题1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数在的零点个数为（）A．2B．3 C．4 D．52．（2023年辽宁省重点高中联合模拟）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为．3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）函数在的零点个数为．2．将函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是.3．（2022年北京市高考数学试题）若函数的一个零点为，则；．考点十、三角函数中含有绝对值的问题常考压轴题1．（2023年上海市模拟）函数的值域为．2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数

②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点

④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③1．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（）A．f(x)=│cos2x│B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│D．f(x)=sin│x│考点十一、解析式中含三角函数的问题1．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．3．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A． B．C． D．1．（2021年浙江省高考数学试题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．2．（2020年浙江省高考数学试卷）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）A． B．C． D．3．（2019年天津市高考数学试卷（文科））曲线在点处的切线方程为.考点十二、三角函数图象与性质在解答题中的应用1．（2021年浙江省高考数学试题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.2．（2020年山东省春季高考数学真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：0030-30根据表中数据，求：（1）实数，，的值；（2）该函数在区间上的最大值和最小值.3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知函数（I）求的值（II）求的最小正周期及单调递增区间.4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.1．已知函数(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；(2)当时，求的最小值．2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷））已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【基础过关】1．函数的定义域为（）.A．B．C．D．2．函数的最小正周期为（

）A． B． C．π D．2π3．的最小值为（

）A．B．C． D．4．函数在单调递减，求.5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））若在是减函数，则的最大值是（）A．B．C．D．6．（2019年天津市高考数学试卷（理科））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A．B． C． D．7．（2023年北京市模拟）将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图象上，则（

）A．，的最小值为 B．，的最小值为C．，的最小值为 D．，的最小值为8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））函数y=sin2x的图象可能是（）A．B．C． D．9．（2023年北京市阶段性考试数学试题）设函数，将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若对于任意的实数，恒成立，则的最小值等于（

）A． B． C． D．10．（2023年山东省模拟）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（

）A．向左平移个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍B．向右平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍C．向左平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍D．向右平移个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的倍11．（2023年北京二模）已知函数的部分图象如图所示,则f(x)的表达式为（）.A．B．C．D．已知函数，若，为的两个零点，则当取得最小值时，．13．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知函数.（I）求f(x)的最小正周期；（II）求证：当时，．【能力提升】1．设函数，则（

）A．且在单调递增B．且在单调递减C．且在单调递增D．且在单调递减2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（

）A．B．C． D．3．（2023届安徽省考前适应性检测数学试卷）已知函数，其中，若，对任意的都有，且在上单调，则下列说法错误的是（

）A．关于对称B．C．一定是奇数 D．有两个不同的值4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数，则的最小值是．5．（2023年辽宁省模拟）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（

）A．的周期为B．若，则C．将的图像向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D．函数在上有2个零点6．（2021年天津高考数学试题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A．B．C． D．7．（2023年陕西省质量检测数学试题）同时具有下列性质：“①对任意，恒成立；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的函数可以是（

）A． B．C．