2023年北京顺义区高三上学期期末数学试题及答案

一、选择题CABABCABDD二、填空题

顺义高三数学参考答案(11)(1,1)(1,)(12)

x2y4

(13)0(m1即可)(14)

,5(15)①②④3三、解答题（16）（）yfx66所以f0 263 1 13即Asincos3cosA 306 6 3 22 2解得：A2 4分fx2sinxcosx

3cos2xsin2x

3cos2x21sin2x3cos2x2 2 2sin2x7 3 所以f(x)的最小正周期T2ππ 8分2（Ⅱ）由（Ⅰ）fx2sin2x 3 因为x0,所以2x

2

10333当2x，即x5时，fx

2 123 2

max因为当x0,时，fxm恒成立2即当x0,时，mfx2

max所以m2,.（17）

13分设事件CA4A14天内康复的频率为:1

12360228

1

12600

0.98.据此估计P(C)0.98 3分（Ⅱ）AA17天内康复.则360P(A)

600

0.6．设事件B：从样本中服用药物B的患者中随机抽取1人，此人能在7天内康复.则160P(B)

160200

0.4． 5分X的可能取值为0,1,2． 6分P(X)P(AB)P()P(B)1)1P(X)P(BAB)P()P(B)P()P(B)1)461.P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.60.40.24所以X的分布列为X012P0.240.520.24 9分X的数学期望EX00.2410.5220.241． 分（Ⅲ）k2. 13分(18)（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接BF,EF.因为E是PD的中点，所以EF//AD，EF1AD.2由BADABC90得BC//AD，又BC1AD，所以EF//BC，2所以四边形BCEF是平行四边形，//BF， 2分又BF平面PAB,CE平面PAB，所以CE//平面. 4分（Ⅱ）选择条件①：解：取AD的中点O,连接OP,OC,显然OPAD，OCAD，因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,OP平面PAD,所以OP平面6分建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(1,0,0)，P(0,0,3).设CMCP(,0,则

3),BMBC(,0,AB(1,0,0).

3)(,1,

3) 8分设m(x,y,z)为平面ABM的一个法向量，mB0则mM

x0,即xy

3z

,取m(0,

10分因为z轴与平面ABCD垂直，所以n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.设平面ABM与平面ABCD所成的角为,mnmnmnmnCM 1

，解得323

1 13分3所以 CP

. 14分3选择条件②：解：取AD的中点O,连接OP,OC,显然OPAD，OCAD，由OCAB1AD，可知OCOD2PCPDOP为公共边，所以OCOD所以OPOC 6分建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(1,0,0)，P(0,0,3).设CMCP(,0,3),BMBC,0,AB(1,0,0).

3)(,1,

3) 8分设m(x,y,z)为平面ABM的一个法向量，mB0则mM

x0,即xy

3z

,取m(0,

10分因为z轴与平面ABCD垂直，所以n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.设平面ABM与平面ABCD所成的角为,mnmnmnmnCM 1

，解得323

1 13分3所以 CP

. 14分3（19）Ⅰ𝑎=𝑓(𝑥)=(𝑥−2)𝑒𝑥−(𝑥−1)2𝑓()=−2−1=−3，𝑓’(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥−2（𝑥−1）， 2分𝑓’(0)=(0−1)−2（0−1）=1,函数𝑓(𝑥)的图象在x=0处的切线方程为：𝑦+3=𝑥即𝑥−𝑦−3=0 5分Ⅱ(𝑥)=(𝑥−1𝑒𝑥−（𝑥−1）=（𝑥−1）𝑒𝑥−𝑎) 6分①当𝑎≤0时，𝑒𝑥−𝑎>0，由𝑓’(𝑥)>0可得，𝑥>1，由𝑓’(𝑥)<0可得，𝑥<1,所以𝑓(𝑥)的单调递增区间单调递减区间（-∞，1） 8分②当𝑎>0时，由𝑓’(𝑥)=0可得𝑥=1或𝑥=𝑙𝑛𝑎𝑥（-∞，𝑙𝑛𝑎）𝑙𝑛𝑎𝑥（-∞，𝑙𝑛𝑎）𝑙𝑛𝑎(𝑙𝑛𝑎,1)1（1，+∞）𝑓’(𝑥)+0−0+𝑓(𝑥)递增极大值递减极小值递增所𝑓(𝑥)的单递区∞，（+∞单递区𝑙𝑎,1) 10分（ii）当𝑙𝑛𝑎=1即𝑎=𝑒时，𝑥（-∞，1）1（1，+∞）𝑓’(𝑥)+0+𝑓(𝑥)递增递增所以𝑓(𝑥)的单调递增区间为（-∞，+∞） 12分（iii）当𝑙𝑛𝑎>1即𝑎>𝑒时，𝑥（-∞，1）1(1,𝑙𝑛𝑎)𝑙𝑛𝑎（𝑙𝑛𝑎，+∞）𝑓’(𝑥)+0−0+𝑓(𝑥)递增极大值递减极小值递增𝑓(𝑥)∞，𝑙𝑎，+∞(1𝑙𝑎).综上所述：当𝑎≤0时，𝑓(𝑥)的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，1）;0<𝑎<𝑒𝑓(𝑥-∞，𝑙𝑎（+∞𝑙𝑎,1；当𝑎=𝑒时，𝑓(𝑥)的单调递增区间为（-∞+∞）；当𝑎>𝑒时，𝑓(𝑥)的单调递增区间为（-∞𝑙𝑎，+∞，调减间(1𝑙𝑎). -- 15分(20)Ⅰ∴𝑎=√2，2因为𝑎2=𝑏2+𝑐2,∴𝑏=𝑐，𝑎=√2𝑏,∴椭圆方程为：𝑥+𝑦=1. 3分2𝑏2𝑏21，22∴𝑏=1,𝑎=√2.∴椭圆的方程为𝑥+𝑦2=1. 5分2（Ⅱ）设𝐴（𝑥1,𝑦1），𝐵（𝑥2,𝑦2），𝑃（𝑥0,𝑦0）𝑥+𝑦2=1由{2 可得（1+2𝑘2）𝑥2+4𝑘𝑡𝑥+2𝑡2−2=0 6分𝑦=𝑘𝑥+𝑡∆>0,𝑥+𝑥=−4𝑘𝑡，𝑥

=2𝑡2−21 2 1+2𝑘2

12 1+2𝑘24𝑘2𝑡

2𝑡∴𝑦1+𝑦2=𝑘(𝑥1+𝑥2)+2𝑡=−1+2𝑘2+2𝑡=1+2𝑘2因为四边形OAPB为平行四边形，∴→=→+→=(𝑥1+𝑥2,𝑦1+𝑦2)𝑂𝑃𝑂𝐴𝑂𝐵∴𝑃(−4𝑘𝑡,2𝑡1+2𝑘21+2𝑘2

). 10分因为点P在椭圆上，所以8𝑘𝑡(1+2𝑘2)2

+4𝑡=1(1+2𝑘2)2整理得

4t2(2k21)(12k2)2 1所以1+2𝑘2=4𝑡2 12分|AB|=√1+𝑘2|𝑥−𝑥|，点O到直线AB的距离𝑑=|𝑡|1 2 √1+𝑘2|𝑡|𝑆四边形𝑂𝐴𝑃𝐵=2𝑆∆𝑂𝐴𝐵=|𝐴𝐵|𝑑=√1+𝑘2|𝑥1−𝑥2| =|𝑥1−𝑥2||𝑡|=√1+𝑘216𝑘2𝑡2

(2𝑡2−2)

8(1+2𝑘2−𝑡2)|𝑡|√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=|𝑡|√

22−4

2=|𝑡|√ 22(1+2𝑘)

1+

(1+2𝑘)=2√2|𝑡|√3𝑡=√6.4𝑡2 2∴平行四边形OAPB的面积是定值. 15分（21）Ⅰ）,,,,0

--------------------------3分（Ⅱ）当n2时，S2n22，显然有an1an1；当n3时，只要证明an1an2，用反证法，假设an1an3，则a2 an22，从而Sa2 an2n232n1，矛盾！所以an1an2再根据a1,a2,,an为正整数可知an1an1 8分（Ⅲ）当n2S2n22，有an1an1，此时0110n3时，由第（2）a1a2,,an中至少有两个1a1a2,,anmm21

anan1 anm1a nm断言：a1