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高等应用数学全套可编辑PPT课件第一章函数的极限与连续性第二章导数与微分第三章不定积分定积分及其应用第四章常微分方程第五章无穷级数第六章微积分的应用及数学模型初步第七章线性代数第八章概率论与数理统计1函数的极限与连续性第一章：函数的极限与连续性第二节极限第三节极限的运算第四节函数的连续性和间断性第五节初识数学软件Mathematica第一节函数（一）函数的概念一、函数及其性质定义1.1设x

和y是两个变量,D是给定的非空数集,如果变量x在D内任取一个确定的数值时,变量y按照一定的法则f都有确定的数值与之对应,则称变量y是变量x

的函数,记做其中变量x称为自变量,变量y称为因变量(或函数),数集D称为函数的定义域,f称为函数的对应法则.（一）函数的概念如果自变量x在定义域D内任取一个确定的数值时,只有唯一的函数值与之对应,则称该函数为单值函数;否则,如果有多个函数值与之对应,则称该函数为多值函数.如是单值函数;而是多值函数.如果没有特别说明,本书所讨论的函数都是单值函数.当x取确定数值时,通过法则f,函数有唯一确定的值y0与之相对应,称y0为函数y=f(x)在x0处的函数值,记做由全体函数值构成的集合称为函数的值域,记做M,即M={y|y=f(x),x∈D}.一、函数及其性质（一）函数的概念函数的表示方法常用的有三种:表格法、图像法、公式法(或解析法).例1解一、函数及其性质一、函数及其性质下列各组函数是否相等,为什么?解因为(1)与(2)中两函数的两要素分别相同,所以是相同的函数;(3)与(4)中两函数的定义域不同,所以是不同的函数;(5)与(6)中两函数的对应法则不同,所以是不同的函数.例2解（二）函数的定义域函数的定义域通常分为以下两种情况：(1)(2)对于实际问题,根据问题的实际意义确定.由解析式表示的函数,其定义域就是使表达式有意义的一切实数组成的集合.一、函数及其性质求函数的定义域由所给函数可知,要使函数有意义,必须有即，因此，所给函数的定义域为.

一、函数及其性质例3解（三）函数的几种特性1.有界性图1-1一、函数及其性质（三）函数的几种特性2.单调性一、函数及其性质（三）函数的几种特性2.单调性一般地,单调增加函数的图像为沿x轴正向单调上升的曲线,如图1-2所示;单调减少函数的图像为沿x轴正向单调下降的曲线,如图1-3所示.图1-2图1-3一、函数及其性质（三）函数的几种特性3.奇偶性一、函数及其性质（三）函数的几种特性3.奇偶性偶函数f(x)的图像关于y轴对称(见图1-4);奇函数的图像关于原点对称(见图1-5).图1-4图1-5一、函数及其性质（三）函数的几种特性4.周期性一、函数及其性质（四）分段函数在定义域的不同范围具有不同的表达式的函数称为分段函数，其定义域为各部分定义域的并集.分段函数是整个定义域上的一个函数,不能理解为多个函数.一般来说,分段函数需要分段求值,分段作图,分段表示.一、函数及其性质（四）分段函数王先生到郊外去观景,以2km/h的速度匀速步行1h后,他发现一骑车人的自行车坏了,便花了1h帮人把车修好,随后加快速度,以3km/h的速度匀速步行1h后到达终点,然后立即以匀速折返,耗时2h返回到出发点.请把王先生离家的距离关于时间的函数用图像法描绘出来.一、函数及其性质例4（四）分段函数王先生离家的距离y是时间x的函数，图形如图1-6所示.用解析法表示为该函数为分段函数,其函数定义域为［0,5］.图1-6一、函数及其性质解（五）反函数定义1.2设函数y=f(x)的定义域为D,值域为M.如果对于M中的每个数y,在D中都有唯一确定的数x与之对应,且使y=f(x)成立,则确定了一个以y为自变量,x为因变量的函数,称为函数y=f(x)的反函数,记做x=f－1(y),其定义域为M,值域为D.一、函数及其性质（五）反函数由于习惯上用x表示自变量,用y表示因变量,因此将反函数中x与y互换位置,即记做y=f－1(x

),x∈M，并称函数f－1(x

)是函数y=f(x

)的反函数.函数y=f(x

)与其反函数y=f－1(x

)的图像关于直线y=x对称(见图1-7).图1-7一、函数及其性质1.基本初等函数二、初等函数幂函数常值函数指数函数对数函数1.基本初等函数反三角函数三角函数以上六类函数统称为基本初等函数.二、初等函数2.复合函数

二、初等函数指出下列函数由哪些简单函数复合而成？（1）可以看做由复合而成.（2）可以看做由复合而成.二、初等函数例5解3.初等函数二、初等函数3.初等函数定义1.4三、多元函数的定义3.初等函数三、多元函数的定义求二元函数的定义域.该函数的定义域为满足的x,y,即定义域为D表示xOy面上以原点为圆心,a为半径的圆域,它为有界闭区域(见图1-8).图1-8三、多元函数的定义例6解3.初等函数二元函数的概念及平面区域的概念可以类似地推广到三元函数及空间区域上去.有三个自变量的函数称为三元函数.如u=f(x,y,z),三元函数的定义域通常是一个空间区域.一般地,还可定义n元函数u=f(x1,x2,…,xn),它的定义域是n维空间的区域.自变量多元的函数称为多元函数.三、多元函数的定义1.下列各组函数是否是相同的函数？习题1-12.求下列函数的定义域.5.判断下列函数的奇偶性.习题1-16.求下列函数的反函数.7.下列函数中,哪些是周期函数?对于周期函数,求出它的最小正周期.8.下列函数是由哪些简单函数复合而成的?习题1-19.求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.习题1-1第一章：函数的极限与连续性第二节极限第三节极限的运算第四节函数的连续性和间断性第五节初识数学软件Mathematica第一节函数一、数列的极限1.数列极限的概念定义1.5观察下列数列的极限.一、数列的极限例1解当n→∞时,数列(1)的通项越来越接近于常数1;而数列(2)的通项越来越接近于常数0;数列(3)的通项趋于无穷大;数列(4)的通项在－1与1之间交替出现而不趋于任何确定的常数,所以得一、数列的极限例1解2.数列收敛的判断准则定义1.6对于数列{un},若对任何正整数n,都有un≤un+1(或un≥un+1)成立,则称数列{un}为单调递增数列(或单调递减数列),单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列.定义1.7对于数列{un},如果存在正数M,使得对于任何正整数n,都有un≤M成立,则称数列{un}为有界数列;否则称该数列为无界数列.定理1.1(数列收敛判断定理)单调有界数列必有极限.一、数列的极限二、函数的极限1.x→∞时函数f(x)的极限定义1.8设函数y=f(x)在(－∞,+∞)内有定义,若当|x|无限增大时,相应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A,则A称为函数f(x)当x→∞时的极限,记做其中，“x→∞”表示x既可取正值且无限增大，也可取负值且绝对值无限增大.但有时x只能或只需取这两种变化中的一种情形,同理可得x→+∞或x→－∞时函数f(x)的极限定义.1.x→∞时函数f(x)的极限定义1.9设函数y=f(x)在［a

,+∞)(a为某个实数)内有定义.如果当自变量x取正值且无限增大时,相应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A,则称A为函数f(x)当x→+∞(读做“x趋于正无穷大”)时的极限,记做定义1.10设函数y=f(x)在(－∞,a］(a为某个实数)内有定义.如果当自变量x取负值且无限减小(或－x无限增大)时,相应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A,则称A为函数f(x)当x→－∞(读做“x趋于负无穷大”)时的极限,记做二、函数的极限1.x→∞时函数f(x)的极限定理1.2极限的充分必要条件是.讨论下列极限是否存在.(1)由图1-9知,由定理1.2知,不存在.(2)由图1-10知,,所以图1-9图1-10二、函数的极限解2.x→x0时函数f(x)的极限图1-11二、函数的极限2.x→x0时函数f(x)的极限定义1.11设函数f(x)在点x0的某去心邻域。内有定义.若当自变量x在该邻域内无限接近于x0时,函数f(x)无限接近于某一确定的常数A,则称A为函数f(x)当x→x0(读做“x趋近于x0”)时的极限，记做二、函数的极限2.x→x0时函数f(x)的极限设函数.当x≠2时,f(x)=x+2.当自变量x≠2且无限接近于2时,对应的函数值无限接近于常数4(见图1-12).图1-12二、函数的极限例32.x→x0时函数f(x)的极限定义1.12设函数f(x)在点x0的某左半邻域(x0－δ,x0)内有定义,当x从x0的左侧趋于x0时,函数f(x)以常数A为极限,则称A为函数f(x)在点x0处的左极限,记做类似地可以给出函数f(x)在点x0处的右极限定义,右极限记做函数的右极限和左极限统称为单侧极限.而相应地将称为双侧极限,简称极限.二、函数的极限2.x→x0时函数f(x)的极限定理1.3极限的充分必要条件是.由图1-13知，图1-13二、函数的极限例4解三、极限的性质四、无穷小1.无穷小的定义定义1.13若在自变量x的某一变化趋势下,函数f(x)的极限为零,则称函数f(x)为自变量x在该变化趋势下的无穷小量,简称无穷小.定理1.42.函数、极限与无穷小的关系

的充分必要条件是设,即x→x0

时,f(x)－A→0.若记α=f(x)－A,则当x→x0时,α为无穷小,且f(x)=A+α,于是得到有极限的函数与无穷小的关系.3.无穷小的运算性质性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积仍是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积仍是无穷小.四、无穷小四、无穷小例5例6解解五、无穷大1.无穷大的定义定义1.14在自变量x的某一变化趋势下,若函数的绝对值f(x)无限增大,则称函数f(x)为自变量x在该变化趋势下的无穷大量,简称无穷大.f(x)为x→x0的无穷大,记做.2.无穷大与无穷小的关系定理1.5在自变量的同一变化过程中,(1)如果函数f(x)是无穷小,且f(x)≠0,则是无穷大;(2)如果函数f(x)是无穷大,则是无穷小.六、二元函数的极限定义1.15当点(x,y)沿直线y=kx趋向于(0,0)点时,极限显然,此极限值随k值的不同而不同,故不存在.六、二元函数的极限例7解习题1-21.观察下列数列的变化趋势,写出它们的极限.2.利用函数的图形,求下列极限.3.设函数画出其图像,求极限及,并判定极限是否存在.4.证明：极限不存在.5.指出下列各题中,哪些是无穷小？哪些是无穷大？(1)y=cotx,当x→0时;(2)y=e－x,当x→+∞时;(3)y=lnx,当x→0时;(4),当x→∞时.6.指出下列函数在什么情况下是无穷小？在什么情况下是无穷大？7.求下列极限.习题1-2第一章：函数的极限与连续性第二节极限第三节极限的运算第四节函数的连续性和间断性第五节初识数学软件Mathematica第一节函数一、极限的四则运算定理1.6一般地,若f(x)为多项式函数,则对任意x0∈(－∞,+∞),都有

一、极限的四则运算例1解（1）因为所以（2）因为商的极限运算法则失效，由无穷小与无穷大的关系得求下列极限.(3)当x→3时分子和分母的极限均为零,但可约去公因子x－3≠0,即一、极限的四则运算例2解二、两个重要极限关于该极限不做理论推导，只通过列出的数值表(见表1-1),以观察其变化趋势.表1-1从表1-1看出,当x无限接近于0时,函数无限接近于1，理论上可以证明求下列函数的极限.二、两个重要极限例4解表1-2关于该极限也不做理论推导,只通过列出的数值表(见表1-2)来观察其变化趋势.从表1-2看出,当x增大时,函数变化的大致趋势，可以证明当x→∞时,函数的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为e=2.718281828…,即二、两个重要极限求下列函数的极限.二、两个重要极限例5解三、无穷小的比较定义1.16定理1.7设在自变量的同一变化过程中,α~α′,β~β′,且,则求下列极限.三、无穷小的比较例6解习题1-31.求下列极限.2.求a的值,使函数在x=0处的极限存在.3.求下列极限.4.证明：当x→0时,x3+2x2是比x高阶的无穷小.5.利用等价无穷小的性质,求下列极限.习题1-3第一章：函数的极限与连续性第二节极限第三节极限的运算第四节函数的连续性和间断性第五节初识数学软件Mathematica第一节函数一、一元函数的连续性（一）函数连续性的概念1.函数在一点处的连续性设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,给自变量x一个增量Δx,当自变量x由x0变到x0+Δx(x0+Δx仍在该邻域内)时,函数y相应由f(x0)变到f(x0+Δx),因此相应的函数增量为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)(见图1-14).图1-14（一）函数连续性的概念定义1.17定义1.18一、一元函数的连续性（一）函数连续性的概念讨论函数在x=0处的连续性.由图1-15知，即，所以函数f(x)在点x=0处连续。图1-15一、一元函数的连续性例1解（一）函数连续性的概念2.函数在区间内的连续性定义1.19一、一元函数的连续性（二）初等函数的连续性定理1.8两个连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数.若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续,则它的反函数x=φ(y)在对应区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上也单调增加(或单调减少)且连续.定理1.9一、一元函数的连续性（二）初等函数的连续性定理1.10若函数y=f(u)在点u=u0处连续,函数u=φ(x)在点x=x0处连续,且u0=φ(x0),则复合函数y=f［φ(x)］在点x=x0处连续.一切初等函数在其定义区间内均连续.定理1.11一、一元函数的连续性（二）初等函数的连续性求极限因为是初等函数，且在x=2处有定义，所以一、一元函数的连续性例2解当a,b分别为何值时,函数在(－∞,+∞)上连续.因为f(x)在(－∞,0)与(0,+∞)上都是初等函数,由初等函数的连续性知,f(x)在(－∞,0)与(0,+∞)上都连续.在分段点x=0处,f(0)=b,又由于当f(0－0)=f(0+0)=f(0)时,函数f(x)在x=0处连续,故得a+1=2=b,即a=1,b=2.综上所述,当a=1,b=2时,函数f(x)在(－∞,+∞)上连续.一、一元函数的连续性例3解（三）闭区间上连续函数的性质定理1.12（最值原理）闭区间上的连续函数在该区间上一定存在最大值和最小值.闭区间上的连续函数在该区间上一定有界.定理1.13(有界性定理)一、一元函数的连续性定理1.14(介值定理)设f(x)在闭区间［a,b］上连续,且f(a

)≠f(b

),μ为介于f(a

)与f(b

)之间的任何数,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ.(见图1-16)（三）闭区间上连续函数的性质推论(零点定理)设f(x)在闭区间［a,b］上连续,且f(a

)·f(b

)<0,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0(见图1-17).一、一元函数的连续性图1-16图1-17一、一元函数的连续性证明：方程sinx－x+1=0在0与π之间有实根.例4证明设f(x)=sinx－x+1,因为f(x)在(－∞,+∞)内连续,所以f(x)在［0,π］上连续,且f(0)=1>0,f(π)=－π+1<0,因此由零点定理知,至少存在一点ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0,即方程sinx－x+1=0在(0,π)内至少有一个实根.二、一元函数的间断点定义1.20(间断点的分类)二、一元函数的间断点讨论函数在x=1处的连续性.例5解因为函数f(x)在分段点x=1处的左、右极限虽然左右极限存在但不相等,即不存在.所以x=1是函数f(x)的第一类跳跃间断点.如图1-18所示,图像在x=1处出现了跳跃现象.图1-18二、一元函数的间断点讨论函数在x=0处的连续性.例6解图1-19因为函数在x=0处无定义,且不存在,所以x=0是的第二类间断点.又因为当x→0时,函数在-1到1之间作无限次震荡(见图1-19),这样的间断点称为震荡间断点.三、二元函数的连续性和间断点定义1.21定义1.22三、二元函数的连续性和间断点例7讨论函数在原点处的连续性.解由第二节中的例7知,不存在,所以函数在原点处不连续,即(0,0)是函数f(x,y)的间断点.习题1-41.讨论下列分段函数在分段点处的连续性.若为间断点,判定其类型,并写出连续区间.2.设试确定常数a,b的值,使f(x)在点x=0处连续.3.求下列极限.习题1-44.求下列函数的间断点并判定其类型;如果是可去间断点,则补充定义使函数在该点连续.5.证明：方程x5－3x=1在区间(1,2)中至少有一个实根.6.证明：方程x·2x=1至少有一个小于1的正根.7.设f(x),g(x)在区间［a,b］上连续,且f(a)>g(a),f(b)<g(b),证明：方程f(x)=g(x)在(a,b)内必有实根.8.求下列各极限.第一章：函数的极限与连续性第二节极限第三节极限的运算第四节函数的连续性和间断性第五节初识数学软件Mathematica第一节函数一、常用的数学常数二、常用数学函数三、赋值语句四、自定义函数五、绘制简单函数图形例如In［1］:=Plot［Sin［x］,{x,0,2*Pi}］

(*绘制sinx的图像*)五、绘制简单函数图形例如In［2］:=Plot［{x,x^2,x^3},{x,-1,1}］(*绘制多个图形*)Out［2］=In［3］:=ListPlot［{{0,0},{1,1},{2,4},{3,9}}］(*绘制点图*)五、绘制简单函数图形例如Out［3］=In［4］:=f［x_］:=x^2+1In［4］:=Plot［f［x］,{x,-1,1}］(*绘制自定义函数图形*)Out［4］=六、函数的极限习题1-51.用一条命令给出处的函数值.2.自定义函数f(x),求f(10－1),f(1),f(10).3.绘制函数在－0.1到0.1的图形.4.设函数,作出f(x)在－1到1的图形.5.若求:习题1-56.求下列极限值.谢谢观看2导数与微分第二章：导数与微分第二节函数的求导规则第三节三种特殊的求导方法第四节微分及其在近似计算中的应用第五节偏导数与全微分第一节导数的概念第六节导数的应用第七节用Mathematica求导数及应用问题1.变速直线运动的瞬时速度一、问题的提出设一质点做变速直线运动,其位移函数是s=s(t),其中t是时间,s是位移,讨论它在时刻t0的瞬时速度v(t0).当时间由t0改变到t0+Δt(Δt是时间的改变量)时,相应的函数改变量为Δs=s(t0+Δt)－s(t0).Δs是质点在Δt时间内运动的距离(见图2-1).图2-11.变速直线运动的瞬时速度一、问题的提出从时刻

t0到

t0+Δt这一段时间内质点运动的平均速度为当Δt很小时,可以用近似地表示质点在t0时刻的瞬时速度.显然,Δt越小,近似程度越好.当Δt→0时,如果极限limΔt→0ΔsΔt存在,则称该极限为质点在t0时刻的瞬时速度,即2.平面曲线的切线及其斜率一、问题的提出定义2.1设点M是曲线L上的一个定点.点N是曲线L上的一个动点,当点N沿曲线L趋向于点M时,如果割线MN的极限位置MT存在,则称直线MT为曲线L在点M处的切线(见图2-2).图2-22.平面曲线的切线及其斜率一、问题的提出下面来求切线MT的斜率.设曲线L的方程为y=f(x),点M和N的横坐标分别为x0和x0+Δx,则割线MN的斜率为其中φ是割线MN的倾角.如果当点N沿曲线L趋于点M时,割线MN的极限位置存在,即点M处的切线存在.此时Δx→0，φ→α,割线MN的斜率tanφ趋向于切线MT的斜率tanα,即二、导数的概念1.导数的定义定义2.2设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量Δx(Δx≠0,x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数有增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).如果极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为即如果上述极限不存在,则称函数y=f(x)在点x0处不可导.（2.1）二、导数的概念1.导数的定义为了方便起见,导数的定义式还可以写成以下两种形式:令Δx=h,则(2.1)式变成若令x0+Δx=x,当Δx→0时,有x→x0,则(2.1)式变成二、导数的概念2.单侧导数定义2.3如果极限与存在,则称它们分别为函数y=f(x)在点x0处的左导数和右导数,分别记做.显然,函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件是y=f(x)在点x0处的左导数和右导数都存在且相等,即二、导数的概念2.单侧导数定义2.4若函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导,则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,并且在区间的左、右端点处都存在,则称函数y=f(x)在闭区间［a,b］上可导.若函数y=f(x)在某区间内可导,则对于该区间内的每一个x,都有唯一确定的导数值f′(x)与之对应,这样就确定了一个新的函数,称之为函数y=f(x)的导函数,简称导数,记做f′(x),y′，.二、导数的概念2.单侧导数由导数的定义,若y=f(x)在某区间I上可导,则y=f(x)在I上的导函数为或显然,函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x

)在点x0处的函数值,即三、求导举例三、求导举例例1解求线性函数y=bx+c(b,c为常数)的导数.特别地,当b=0时,得(c)′=0,即常数的导数为零.三、求导举例例2解求幂函数y=xn(n为正整数)的导数.一般地,对任何幂函数,都有(xμ)′=μxμ－1(μ∈R).利用这个公式,得三、求导举例例3解求函数y=sinx的导数.三、求导举例例4解求对数函数(a>0,a≠1)的导数.特别地,当a=e时,得.三、求导举例例5解求指数函数y=ax(a>0,a≠1)的导数.特别地，当a=e时,得(ex)′=ex.四、导数的几何意义根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可知,若函数y=f(x)在点x0处的导数存在,则曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线称为曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的法线.若f′(x0)≠0,则过点M(x0,y0)的法线方程为四、导数的几何意义例6解求抛物线y=x2在点(2,4)处的切线方程和法线方程.由导数的几何意义知,抛物线y=x2在点(2,4)处的切线斜率为所求的切线方程为

y－4=4(x－2),即y=4x－4，法线方程为五、可导与连续的关系定理2.1如果函数y=f(x)在点x0处可导,则函数f(x)一定在点x0处连续.例7考察函数y=x在x=0处的连续性与可导性.习题2-11.用导数定义求在x=4处的导数.2.设f′(x0)或f′(0)存在,按照导数定义观察下列极限,指出A各表示什么？3.一质点作直线运动,其运动方程为s=3t2+1,求t=2时的瞬时速度.？习题2-14.问曲线上哪一点的切线与直线y=3x－1平行？5.试确定常数a,b的值,使函数在x=1处连续且可导.6.已知,求,问f′(0)是否存在？？第二章：导数与微分第二节函数的求导规则第三节三种特殊的求导方法第四节微分及其在近似计算中的应用第五节偏导数与全微分第一节导数的概念第六节导数的应用第七节用Mathematica求导数及应用问题一、函数的和、差、积、商的求导法则定理2.2如果函数与在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）都在点x处可导，并且且有如下求导法则:一、函数的和、差、积、商的求导法则推论1法则(1)与(2)可推广到有限多个可导函数的情形.推论2(kf(x))′=kf′(x)(k为常数).推论3一、函数的和、差、积、商的求导法则例1已知，求.

解一、函数的和、差、积、商的求导法则例2求的导数.

解即同理可得

一、函数的和、差、积、商的求导法则例3求的导数.

解即同理可得

二、复合函数的求导法则定理2.3(链锁法则)若函数在点x处可导,函数在点处可导,则复合函数在x处可导,且有或例4求的导数.

解函数由函数与复合而成,根据复合函数的求导法则,得

二、复合函数的求导法则例5如果将空气以100cm3/s的常速注入球状的气球,假定气体的压力不变,那么,当半径为10cm时,气球半径增加的速度是多少？解设在t时刻气球的体积与半径分别为V和r,显然所以V通过中间变量r与时间t发生联系,是一个复合函数由题意知,=100cm3/s,要求的值.根据复合函数求导法则,得将已知数据代入上式,得所以,即在r=10cm这一瞬间,半径以的速度增加.三、反函数的求导法则定理2.4若函数在区间内单调可导,且,则它的反函数在区间内也可导,且有或.上述结论可简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.三、反函数的求导法则例6求的导数.

解因为是的反函数,在区间内单调、可导,且,所以即同理可得三、反函数的求导法则例7求的导数.

解因为是的反函数,在区间内单调、可导,且,所以即.同理可得三、反函数的求导法则例8设,求y′.解四、高阶导数已知变速直线运动的速度v(t)是位移函数s(t)对时间t的导数,即,而加速度a又是速度函数v(t)对时间t的变化率,即速度函数v(t)对时间t的导数,因此这种导数的导数或［s′(t)］′叫做s对t的二阶导数,记做.故变速直线运动的加速度就是位移函数s对时间t的二阶导数.四、高阶导数定理2.5四、高阶导数例9解求指数函数的n阶导数.

，，.依此类推

,即特别地四、高阶导数例10解设y=sinx,求y(n).习题2-21.求下列各函数的导数.2.求下列各函数在指定点处的导数值.3.求曲线y=2x3+3x2－12x+1上具有水平切线的点.习题2-24.求下列函数的导数.5.求下列函数的导数(f,g是可导函数).6.求下列函数指定阶的导数.第二章：导数与微分第二节函数的求导规则第三节三种特殊的求导方法第四节微分及其在近似计算中的应用第五节偏导数与全微分第一节导数的概念第六节导数的应用第七节用Mathematica求导数及应用问题一、隐函数的求导法则定义2.6若在二元方程中,当x取某区间的任一值时,总有满足方程的唯一确定的y存在,则称二元方程在该区间内确定了一个隐函数.隐函数的求导方法是:在方程两边同时对x求导,把y看成x的函数,应用复合函数的求导法则,得到一个含有的方程,解出即为所求的隐函数的导数.一、隐函数的求导法则例1求由方程所确定的隐函数的导数y′.解方程两边同时对x求导.注意到y是x的函数,由复合函数求导法则得解出y',得隐函数的导数为二、对数求导法直接求某些显函数的导数比较繁琐时,可将它化为隐函数,用隐函数的求导法则求其导数.将显函数化为隐函数的常用方法是等号两边取对数,称为对数求导法.对数求导法适用于由乘、除、乘方、开方运算所构成的比较复杂的函数及(称为幂指函数).二、对数求导法例2设(x大于0),求.解两边取对数,得两边对x求导,得所以

三、参数式函数的求导法则定义2.7若参数方程

（2.2）确定y与x的函数关系y=f(x),则称此函数为由参数方程(2.2)确定的函数或参数式函数.三、参数式函数的求导法则若函数,都可导,且,又具有单调连续的反函数,则参数方程所确定的函数可看成是由与复合而成的函数,根据复合函数与反函数的求导法则,有(2.3)三、参数式函数的求导法则例3摆线,，求(1)在任意点处的切线斜率;(2)在处的切线方程与法线方程.解（1）由导数的几何意义知,摆线在任意点处的切线斜率为（2）当时,摆线上对应点的坐标为,在此点处的切线斜率为所以切线方程为法线方程为习题2-31.求由下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数.2.用对数求导法求下列函数的导数.3.求由下列各参数方程所确定的函数y=y(x)的导数.习题2-34.求曲线,在处的切线方程和法线方程.*5.设第二章：导数与微分第二节函数的求导规则第三节三种特殊的求导方法第四节微分及其在近似计算中的应用第五节偏导数与全微分第一节导数的概念第六节导数的应用第七节用Mathematica求导数及应用问题一、引例例1一块正方形金属薄片受温度变化影响时,其边长由x0变到x0+Δx(见图2-3),问此薄片的面积改变了多少？图2-3解设此薄片的边长为x,面积为A,则A=x2,薄片受温度变化影响时,面积的改变量可看成是当自变量x自x0取得增量Δx时,函数A相应的增量ΔA,即一、引例例1一块正方形金属薄片受温度变化影响时,其边长由x0变到x0+Δx(见图2-3),问此薄片的面积改变了多少？解上式中,ΔA由两部分组成:第一部分2x0Δx是Δx的线性函数,称为ΔA

的线性主部;第二部分(Δx)2是比Δx高阶的无穷小,即当很小时,(Δx)2可以忽略不计,面积增量ΔA

可以近似地用2x0Δx表示,即其中ΔA

的线性主部2x0Δx就叫做面积函数A=x2在点x0处的微分.二、微分的概念定义2.8若函数在点x处的增量可以表示为其中A与Δx无关,ο(Δx)是比Δx高阶的无穷小量,则称函数在点x处可微,并称其线性主部AΔx为函数在点x处的微分,记做或,即二、微分的概念定理2.5二、微分的概念例2求函数在x=1,时的改变量及微分.解函数的改变量为在点处,所以函数的微分二、微分的概念例3解半径为r的球,其体积为,当半径增大Δr时,求体积的改变量及微分.解体积的改变量为显然有体积微分为三、微分的几何意义如图2-4所示,点是曲线y=f(x)上一点,当自变量x有微小改变量Δx时,得到曲线上另一点,于是MQ=Δx,NQ=Δy.过点M作曲线的切线MT,其倾角为α,则图2-4四、微分的运算法则1.微分基本公式四、微分的运算法则2.函数的和、差、积、商的微分运算法则四、微分的运算法则3.复合函数的微分法则根据微分的定义可知,当u是自变量时,函数的微分是若u不是自变量,而是x的可导函数,则复合函数的导数为,于是复合函数的微分为可见,无论u是自变量还是中间变量,函数的微分总保持同一形式,这个性质称为一阶微分形式不变性.四、微分的运算法则例4设,求.解法1解法2由公式,得由一阶微分形式不变性,得四、微分的运算法则例5求由方程确定的隐函数y=f(x)的微分及导数.解解对方程两边求微分,得即所以五、微分在近似计算中的应用设函数在点处的导数且Δx很小时,有近似公式

（2.4）或（2.5）上式中,若令x0+Δx=x,则有（2.6）五、微分在近似计算中的应用例6计算的近似值.解设,则,因此取，，则有五、微分在近似计算中的应用例7计算的近似值.解若把看做,x=64是一个较大的数,不符合公式所要求的很小的条件,故不能直接用公式.由于

由近似公式得

习题2-41.已知y=x3－x,计算当x=2,Δx分别等于1，0.1，0.01时的Δy及dy的值.2.求下列函数的微分.3.利用微分求近似值.(1)arctan1.02;(2)ln1.01;(3)4.当很小时,证明下列近似公式.(1)ln（1+x)≈x;(2)tanx≈x(x用弧度作单位).5.如果半径为15cm的球的半径伸长2mm,球的体积约扩大多少？第二章：导数与微分第二节函数的求导规则第三节三种特殊的求导方法第四节微分及其在近似计算中的应用第五节偏导数与全微分第一节导数的概念第六节导数的应用第七节用Mathematica求导数及应用问题一、偏导数（一）偏导数的概念1.偏增量与全增量定义2.9设函数在点的某邻域内有定义,当自变量x在x0处在处取得改变量Δx(Δx≠0),而自变量保持不变时,函数相应的改变量称为函数关于x的偏增量.类似地有函数关于y的偏增量当自变量x,y分别在x0,y0取得改变量Δx,Δy时,函数相应的改变量称为函数的全增量.一、偏导数（一）偏导数的概念2.偏导数的定义定义2.10设函数在点的某一邻域内有定义.若极限存在,则称此极限值为函数在点处对x的偏导数,记为part1一、偏导数（一）偏导数的概念2.偏导数的定义定义2.10part2类似地,若极限存在,则称此极限值为函数在点处对y的偏导数,记为一、偏导数（一）偏导数的概念2.偏导数的定义定义2.10part3如果函数在区域D内每一点(x,y)处都存在对x的偏导数,则称函数在D内存在对x的偏导函数,简称偏导数,记为类似地,可以定义函数对自变量的偏导数,记为一、偏导数从偏导数的定义可以看出,偏导数的实质就是把一个自变量固定,将二元函数看成是关于另一个自变量的一元函数的导数.因此,求二元函数的偏导数时,只需将一个自变量视为常量,利用一元函数的求导方法对另一个自变量进行求导即可.(二)偏导数的计算一、偏导数例1求的偏导数.解把y看做常量,对x求导数,得把x看作常量,对y求导数,得(二)偏导数的计算一、偏导数例2求

在点(1,2)处的偏导数.解先求偏导函数,有在(1,2)处的偏导数就是偏导函数在(1,2)处的值,所以(二)偏导数的计算一、偏导数例3设,求函数f(x,y)在原点处的偏导数.解由偏导数的定义知,f(x,y)在原点处关于x与y的偏导数分别为(二)偏导数的计算一、偏导数（三）高阶偏导数定义2.11设二元函数在区域D内的偏导数和仍然是自变量x,y的函数,若这两个偏导数的偏导数存在,则称它们为函数的二阶偏导数.按对变量求导次序的不同,有下列四个二阶偏导数,分别表示为其中偏导数与称为二阶混合偏导数.一、偏导数（三）高阶偏导数例4设函数,求它的二阶偏导数.解1函数的一阶偏导数为一、偏导数（三）高阶偏导数例4设函数,求它的二阶偏导数.解2二阶偏导数为一、偏导数（三）高阶偏导数定理2.6若函数的两个混合偏导数在区域D内连续,则在该区域内该定理说明二阶混合偏导数在连续的情况下与求导次序无关.二、全微分1.全微分的定义定义2.12若函数在点处的某个邻域内有定义,若函数在点处的全增量可以表示为二、全微分1.全微分的定义定义2.12其中A,B是不依赖于Δx,Δy的常数,是当时比ρ高阶的无穷小,则称二元函数在点处可微,并称是函数在点处的全微分,记做dz,即二、全微分2.全微分与连续、偏导数的关系定理2.7(可微的必要条件)若函数在点处可微,则它在点处连续,且两个偏导数都存在,并有,.一般地,记,,则函数的全微分可写成二、全微分2.全微分与连续、偏导数的关系定理2.8(可微的充分条件)若函数在点处的两个偏导数都存在且连续,则函数在该点一定可微.二、全微分2.全微分与连续、偏导数的关系例5求函数在点(2,－1)处,当Δx=0.02,Δy=－0.01时的全增量与全微分.解由定义知,全增量函数的两个偏导数在点(2,－1)处连续,所以全微分存在,且于是,在点(2,－1)处的全微分为二、全微分2.全微分与连续、偏导数的关系例6求的全微分.解

因为，所以二、全微分3.全微分在近似计算中的应用二、全微分3.全微分在近似计算中的应用例7计划用水泥建造一个无盖的圆柱形水池,要求内半径为3m,内高为5m,侧壁和底的厚度均为0.2m,问大约需要多少水泥?解圆柱体体积,则因为Δr=0.2m,Δh=0.2m都比较小,所以可用全微分近似代替全增量,即

所以故建造该水池大约需要水泥24.504m3.二、全微分3.全微分在近似计算中的应用例8利用全微分计算的值.解设函数.取x=1,y=2,Δx=－0.03,Δy=0.01,则故三、多元复合函数及隐函数的微分法1.复合函数微分法定理2.9设,在点处有偏导数,在对应点有连续偏导数,则复合函数在点处有偏导数和,且三、多元复合函数及隐函数的微分法1.复合函数微分法为了辅助理解多元复合函数的求导法则,可画出复合函数的结构示意图(见图2-5).由图清楚地看出z是u,v的函数,u,v又是x,y的函数,其中u,v是中间变量,x,y是自变量.图2-5三、多元复合函数及隐函数的微分法1.复合函数微分法例9求函数,,偏导数,.解因为所以三、多元复合函数及隐函数的微分法1.复合函数微分法例10求函数,

,.解令则可看成由复合而成的复合函数,所以其中三、多元复合函数及隐函数的微分法2.隐函数微分法设方程确定了隐函数,又,存在且.将代入原方程，得恒等式，两端对x求导得及因为,由上式解得这是一元隐函数的求导公式.三、多元复合函数及隐函数的微分法2.隐函数微分法例11设xsiny+yex=0,求解法1解法2两边对x求导(y是x的函数),得解上述方程,得令F(x,y)=xsiny+yex,则代入一元隐函数的求导公式,得三、多元复合函数及隐函数的微分法2.隐函数微分法三、多元复合函数及隐函数的微分法2.隐函数微分法例12求由方程所确定的隐函数的两个偏导数，.解令,则，，，由二元隐函数的偏导数公式,得三、多元复合函数及隐函数的微分法2.隐函数微分法例13设方程F(x,y,z)=0可以确定任一变量为其余两个变量的函数,且知F(x,y,z)的所有偏导数存在且不为零,求证：解由于所以习题2-51.求下列函数的偏导数.2.设求及3.设,求4.证明：z=ln（x2+y2)满足拉普拉斯方程.习题2-55.求下列函数的全微分.6.求函数,当x=2,y=1,Δx=0.1,Δy=0.2时的全增量及全微分.7.计算的近似值.8.计算的近似值.9.设有一无盖圆柱形容器,它的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm,内半径为4cm,求容器外壳体积的近似值.习题2-510.求下列复合函数的偏导数(或全导数).11.求下列函数的一阶偏导数.12.求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数.第二章：导数与微分第二节函数的求导规则第三节三种特殊的求导方法第四节微分及其在近似计算中的应用第五节偏导数与全微分第一节导数的概念第六节导数的应用第七节用Mathematica求导数及应用问题一、微分中值定理及洛必达法则1.微分中值定理定理2.10（罗尔定理)若函数满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;(3),则至少存在一点,使得