2022-2023学年八年级数学考点大串讲（北师大版）：一元一次不等式与一元一次不等式组（解析版）

专题02一元一次不等式与一元一次不等式组一．不等式的定义（共3小题）二．不等式的性质（共7小题）三．不等式的解集（共4小题）四．在数轴上表示不等式的解集（共5小题）五．一元一次不等式的定义（共1小题）六．解一元一次不等式（共3小题）七．一元一次不等式的整数解（共3小题）八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共2小题）九．一元一次不等式的应用（共2小题）十．一元一次不等式组的定义（共1小题）十一．解一元一次不等式组（共2小题）十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共2小题）十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）十五．一次函数与一元一次不等式（共3小题）考点一、不等式的相关概念1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.要点诠释：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．考点二、不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．要点诠释：（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.考点三、一元一次不等式（组）1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0)，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．要点诠释：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．3．一元一次不等式组及其解集含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．要点诠释：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．4．一元一次不等式组的解法由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组（其中a＞b）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集）（大大、小小找不到）注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．5．一元一次不等式（组）的应用列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．要点诠释：列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围.一．不等式的定义（共3小题）1．（2022春•三元区期中）据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日20：55顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（）（单位：吨）A．a≈6 B．a＞6 C．a＜7 D．6＜a＜7【分析】根据“6吨多”得到x的取值范围即可．【解答】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到6＜x＜7．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．2．（2022春•邓州市期中）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：≮表示不小于；≯表示不大于，＞＞表示远大于；＜＜表示远小于等．下列选项中表达错误的是（）A．2≮2 B．﹣1≯0 C．100＞＞1 D．﹣2＜＜﹣99【分析】根据≮表示不小于即可判断选项A，根据≯表示不大于即可判断选项B，根据＞＞表示远大于即可判断选项C，根据＜＜表示远小于即可判断选项D．【解答】解：A．2≮2表示2不小于2，即2小于或等于2，选项A不符合题意；B．﹣1≯0表示﹣1不大于0，即﹣1小于或等于0，选项B不符合题意；C．100＞＞1表示100远大于1，选项C不符合题意；D．﹣2＜＜﹣99表示﹣2远小于﹣99，这种表述是错误的，应该是﹣2远大于﹣99，即﹣2＞＞﹣99，选项D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了不等式，理解题意掌握不等式的相关定义是解题的关键．3．（2022春•封丘县期中）若x是非正数，则x≤0．（填不等号）【分析】根据不等关系解决此题．【解答】解：由题意得，x≤0．故答案为：≤．【点评】本题主要考查不等式的定义，熟练掌握不等式关系的表示是解决本题的关键．二．不等式的性质（共7小题）4．（2022春•皇姑区校级期中）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y【分析】根据不等式的性质进行分析判断．【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．5．（2022秋•富阳区期中）选择适当的不等号填空：若a＜b，则﹣2a＞﹣2b．【分析】根据不等式的性质，即可解答．【解答】解：∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故答案为：＞．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．6．（2022春•昌平区期中）如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，请你用“＞”或“＜”填空：x﹣3＜2．【分析】托盘天平是支点在中间的等臂杠杆，天平平衡时砝码的质量等于被测物体的质量，根据图示知被测物体的质量x小于砝码的质量．【解答】解：根据图示知被测物体的质量x小于砝码的质量，即x＜5，所以x﹣3＜2．故答案为：＜．【点评】本题考查了不等式的相关知识，利用“天平”的不平衡来得出不等关系，体现了“数形结合”的数学思想．7．（2022秋•鹿城区校级期中）当x＞y时，（1）请比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由．（2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为a＜3．（直接写出答案）【分析】（1）先求出（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）的值，再根据x＞y判断即可；（2）根据不等式的性质3得出a﹣3＜0，再求出答案即可．【解答】解：（1）﹣3x+5＜﹣3y+5，理由是：∵x＞y，∴y﹣x＜0，∴（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）＝﹣3x+5+3y﹣5＝3y﹣3x＝3（y﹣x）＜0，∴﹣3x+5＜﹣3y+5；（2）∵x＞y，（a﹣3）x＜（a﹣3）y，∴a﹣3＜0，∴a＜3，即a的取值范围是a＜3．故答案为：a＜3．【点评】本题考查了不等式的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．8．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a、b，定义T（a，b）的含义为：当a＜b，时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；根据以上材料，回答下列问题：（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，则m＝2或﹣2；（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．【分析】（1）由题意可得T（m2+1，﹣1）＝m2+1+1＝6，求出m的值即可；（2）由题意可得x＞4，y＜4，再求T（4，x）﹣T（4，y）＝4+x﹣（4﹣y）＝x+y＝8．【解答】解：（1）∵m2+1＞0，∴m2+1＞﹣1，∴T（m2+1，﹣1）＝m2+1+1＝6，解得m＝2或m＝﹣2，故答案为：2或﹣2；（2）∵x＞y，∴x＞4，y＜4，∴T（4，x）﹣T（4，y）＝4+x﹣（4﹣y）＝x+y，∵x+y＝8，∴T（4，x）﹣T（4，y）＝8．【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握平方根的运算，不等式的性质，弄清定义是解题的关键．9．（2022春•如东县期中）若a、b、c是三个非负数，并且2a﹣3b+c＝5，a﹣2b+c＝4，设m＝3a﹣b+7c，则m的最小值为24．【分析】由两个已知等式2a﹣3b+c＝5和a﹣2b+c＝4．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a﹣b+7c中a，b转化为c，即可得解．【解答】解：联立方程组，解得a＝c﹣2，b＝c﹣3，∵a≥0、b≥0，∴c﹣2≥0，c﹣3≥0，c≥3．∴m＝3a﹣b+7c＝3（c﹣2）﹣（c﹣3）+7c＝9c﹣3，当c＝3时，m有最小值，即m＝24，故答案为：24．【点评】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．10．（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求证：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求证：＜．【问题探究】（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）即﹣ac＞﹣bc不等式的两端同时加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变）合并同类项可得：bc＞ac即：ac＜bc得证．（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；（2）仿照（1）的方法进行求解即可．【解答】解：（1）∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），即﹣ac＞﹣bc，不等式的两端同时加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变），合并同类项可得：bc＞ac，即：ac＜bc，得证．故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变；（2）∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴＞（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），即﹣＞﹣，不等式的两端同时加（）可得：﹣+（）＞﹣+（）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变），即：，得证．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质．三．不等式的解集（共4小题）11．（2022春•嘉定区校级期中）若不等式组的解集是x＞2．（1）m的取值范围是m≤2；（2）试化简：|2m﹣5|+|3﹣m|．【分析】（1）根据不等式的解集的计算方法进行求解即可得出答案；（2）根据（1）中m的取值范围，根据绝对值的意义进行化简即可得出答案．【解答】解：（1）∵不等式组的解集是x＞2，∴m≤2．故答案为：m≤2；（2）∵m≤2，∴2m﹣5＜0，3﹣m＞0，∴|2m﹣5|+|3﹣m|＝﹣（2m﹣5）+3﹣m＝﹣3m+8．【点评】本题主要考查了不等式的解集及绝对值，熟练掌握不等式的解集的求法及绝对值的意义进行求解是解集本题的关键．12．（2021春•庐阳区校级期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．【分析】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．【解答】解：（1）解原方程组得：，∵x≤0，y＜0，∴，解得﹣2＜m≤3；（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，∵x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜﹣，∴﹣2＜m＜﹣，∴m＝﹣1．【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．13．（2021春•乐山期中）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．【分析】根据题意由|x+y|≤3得出﹣3≤x+y≤3，解二元一次方程组，得出x+y＝﹣m﹣1，得到不等式组﹣3≤﹣m﹣1≤3，求出m值，结合m为负整数即可得出结果．【解答】解：∵|x+y|≤3，∴﹣3≤x+y≤3，解，①+②得：3x+3y＝﹣3m﹣3，∴x+y＝﹣m﹣1，则﹣3≤﹣m﹣1≤3，解得：﹣4≤m≤2，又m是负整数，∴m的值为﹣4或﹣3或﹣2或﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和绝对值的意义，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．14．（2020春•西城区校级期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是③；（填序号）（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是x﹣1＝0（答案不唯一）；（写出一个即可）（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）先求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，再写出方程即可；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：（1）解方程3x﹣1＝0得：x＝，解方程x+1＝0得：x＝﹣，解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式组得：＜x＜，所以不等式组的关联方程是③，故答案为：③；（2）解不等式组得：＜x＜，这个关联方程可以是x﹣1＝0，故答案为：x﹣1＝0（答案不唯一）；（3）解方程3﹣x＝2x得：x＝1，解方程3+x＝2（x+）得：x＝2，解不等式组得：m＜x≤2+m，∵方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，∴0≤m＜1，即m的取值范围是0≤m＜1．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解关联方程的定义是解此题的关键．四．在数轴上表示不等式的解集（共5小题）15．（2022秋•越秀区校级期中）已知x是整数，并且|x|＜4，写出x可能取的所有数值并在数轴上表示．【分析】找到绝对值小于4的所有整数：1，2，3，0，﹣1，﹣2，﹣3，在数轴上表示即可．【解答】解：∵|x|＜4，∴﹣4＜x＜4．∵x是整数，∴x可能取的所有数值为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．在数轴上表示为：．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知数轴的特点是解题的关键．16．（2021春•全椒县期中）解不等式＜，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：去分母得，3（x﹣1）＜2x，去括号，3x﹣3＜2x，移项得，3x﹣2x＜3，合并同类项得，x＜3．在数轴上表示为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．17．（2022春•普宁市校级期中）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】首先解两个不等式，然后确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：由①得，x＞3，由②得，x≤4，所以不等式组的解集为：3＜x≤4，【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是掌握点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．18．（2022春•社旗县期中）从下列不等式中，任选两个不等式组成一个不等式组，解该不等式组，并把其解集表示在数轴上．①2x＞3x；②3（x+2）﹣1≥5﹣2（x﹣2）；③8x+1≤5x﹣3；④；⑤﹣3x＜0．【分析】选出两个不等式，组成不等式组，并解不等式组即可．【解答】解：（答案不唯一）选①和②，，解不等式①得，x＜0，解不等式②得，x≥0.8．解集在数轴上表示为所以不等式组无解．【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，能熟练地解不等式组是解题关键．19．（2022秋•博兴县期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离3．（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝2，那么x＝﹣1或3．（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜3，求|x﹣3|+|x+4|的值．【分析】（1）根据两点间的距离公式计算可得；（2）由|x﹣1|＝2表示的意义为：在数轴上到表示1和x的点的距离为2，据此解答可得；（3）由|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和3的点的距离之和，且x位于﹣4到3之间，据此解答可得．【解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离为﹣2﹣（﹣5）＝3，故答案为：3；（2）∵|x﹣1|＝2，即在数轴上到表示1和x的点的距离为2，∴x＝3或x＝﹣1，故答案为：﹣1或3；（3）∵|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和3的点的距离之和，且x位于﹣4到3之间，∴||x﹣3|+|x+4|＝3﹣x+x+4＝7．【点评】本题考查了整式的加减，数轴，利用了两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离．五．一元一次不等式的定义（共1小题）20．（2022春•临汾期中）在数学表达式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断6个式子即可．【解答】解：根据不等式的定义，依次分析可得：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3，这些不等式中只有1个式子x≠5符合一元一次不等式定义，而x＝3是等式，x2+2xy+y2是代数式，故选：A．【点评】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义判断即可，难度不大．六．解一元一次不等式（共3小题）21．（2022春•秦都区期中）解不等式．【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．【解答】解：去分母，得：3（2x﹣1）﹣（1+x）≥6，去括号，得：6x﹣3﹣1﹣x≥6，移项，得：6x﹣x≥6+1+3，合并同类项，得：5x≥10，系数化为1，得：x≥2．∴不等式的解集为：x≥2．【点评】本题考查了解一元一次不等式，正确的计算是解题的关键．22．（2022春•绵阳期中）关于x，y的方程组．（1）解方程组（含m的式子表示解）；（2）方程组的解满足2x﹣3y＜9，求m的范围．【分析】（1）利用加减法解关于x、y的方程组即可；（2）把（1）中的x、y代入2x﹣3y＜9得到关于m的不等式，然后解不等式即可．【解答】解：（1），①×3﹣②×2得9x﹣4x＝21m+24﹣6m+6，解得x＝3m+6，把x＝3m+6代入①得9m+18+2y＝7m+8，解得y＝﹣m﹣5，所以方程组的解为；（2）∵x＝3m+6，y＝﹣m﹣5，而2x﹣3y＜9，∴2（3m+6）﹣3（﹣m﹣5）＜9，解得m＜﹣2，即m的取值范围为m＜﹣2．【点评】本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质是解决问题的关键．也考查了二元一次方程组．23．（2022春•景泰县校级期中）解下列不等式：（1）2（x﹣1）≥x﹣5；（2）．【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【解答】解：（1）2x﹣2≥x﹣5，2x﹣x≥﹣5+2，解得：x≥﹣3；（2）1﹣3x＞2﹣4x，﹣3x+4x＞2﹣1，x＞1．【点评】本题考查了解一元一次不等式，正确的计算是解题的关键．七．一元一次不等式的整数解（共3小题）24．（2022春•新城区校级期中）利用不等式的性质解不等式＞x﹣1，并写出它的所有正整数解．【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求得不等式的解集，然后确定解集中的正整数解即可．【解答】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），去括号，得1+2x＞3x﹣3，移项，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，合并同类项，得﹣x＞﹣4，系数化为1，得x＜4，则不等式的正整数解为：1，2，3．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依据是不等式的性质，要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向改变．25．（2022春•兴文县期中）已知不等式3x＜4（x+1）﹣1的最小整数解为方程4x﹣ax＝﹣16的解，求a的值．【分析】首先求出不等式的解集，然后得出最小整数解，然后代入方程4x﹣ax＝﹣16，列出关于a的一元一次方程，从而得出a的值．【解答】解：解不等式3x＜4（x+1）﹣1得x＞﹣3，∴不等式的最小整数解为x＝﹣2，把x＝﹣2代入4x﹣ax＝﹣16，得﹣8+2a＝﹣16，解得：a＝﹣4．即a的值为﹣4．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是根据不等式的解集得出最小整数解．26．（2022春•泌阳县期中）解不等式：﹣1，并把不等式的解集表示在数轴上，并求出非负整数解．【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，再把x的取值范围在数轴上表示出来即可．【解答】解：，去分母：3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15，去括号：9x﹣6≥10x+5﹣15，移项：9x﹣10x≥﹣10+6，合并同类项：﹣x≥﹣4，系数化为1：x≤4．将不等式的解表示在数轴上如下：∴非负整数解：x＝0，1，2，3，4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘或除以同一个负数不等号的方向改变．八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共2小题）27．（2022春•德化县期中）已知“﹣x的与x的2倍的差大于x与10的和”．（1）试用不等式表示上述不等关系．（2）试用不等式的基本性质求出（1）中不等式的解集．（3）请在数轴上表示（2）中不等式的解集．【分析】（1）根据题意列出不等式解答即可；（2）根据不等式的基本性质解答即可；（3）根据不等式的解集表示解答即可．【解答】解：（1）﹣x的与x的2倍的差大于x与10的和用不等式表示为：﹣x﹣2x＞x+10，（2）﹣x﹣2x＞x+10，﹣x﹣2x﹣x＞10，﹣x＞10，x＜﹣3，（3）在数轴上表示为：．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集以及解一元一次不等式．注意系数化一时：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．28．（2021秋•温州校级期中）某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．【分析】（1）根据方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式即可；（2）根据公司买12台笔记本，列式计算即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得，5000×5+5000×80%（x﹣5）＜5000×90%x；（2）选择方案二，理由：方案一：5000×12×90%＝54000（元），方案二：5000×5+5000×80%×（12﹣5）＝53000（元），∵54000＞53000，∴选择方案二．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准不等量关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据优惠方案，列式计算．九．一元一次不等式的应用（共2小题）29．（2022春•吴江区期中）某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若医院计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1530元，那么最多租用甲型客车多少辆？【分析】设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（6﹣x）辆，利用总租金＝每辆甲型客车的租金×租用数量+每辆乙型客车的租金×租用数量，结合总租金不超过1530元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（6﹣x）辆，依题意得：280x+220（6﹣x）≤1530，解得：x≤．又∵x为整数，∴x的最大值为3．答：最多租用甲型客车3辆．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．30．（2022春•新丰县期中）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？【分析】（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，由题意：若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设该班购买m盒A款的文具盒，由题意：某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，由题意得：，解得：，答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；（2）设该班购买m盒A款的文具盒，由题意得：6m+4（40﹣m）≤210，解得：m≤25，答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键时：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．一十．一元一次不等式组的定义（共1小题）31．（2022春•潍坊期中）写出一个解集为﹣1≤x＜2的一元一次不等式组．【分析】根据“大小小大中间找”构造不等式组则可．【解答】解：当解集为﹣1≤x＜2时，构造的不等式组为．答案不唯一【点评】本题考查了一元一次不等式解集与不等式组之间的关系，解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．一十一．解一元一次不等式组（共2小题）32．（2022秋•湖里区校级期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：﹣x≥﹣1，解得x≤1，由②得：1+x＞3x﹣3，解得x＜2，∴不等式组的解集为x≤1．将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．33．（2022春•淅川县期中）解不等式组．（1）将不等式组的解集在数轴上表示出来；（2）求出最小整数解与最大整数解的和．【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而表示在数轴上即可；（2）结合不等式组解集得出其最小整数解与最大整数解，继而相加可得答案．【解答】解：（1）解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣4＜x≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：（2）该不等式的最小整数解为﹣3，最大整数解为2，所以最小整数解与最大整数解的和为﹣3+2＝﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．一十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）34．（2022秋•碑林区校级期中）解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，由≥﹣1，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，∴该不等式组的最小整数解为﹣2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．35．（2022春•宁明县期中）解不等式组（组）：（1）解不等式3x﹣3≤5x﹣9．（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可；（2）分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再写出范围内的非负整数解即可．【解答】解：（1）移项得：3x﹣5x≤3﹣9，合并得：﹣2x≤﹣6，解得：x≥3；（2），解第一个不等式得，x≤1，解第二个不等式得，x＜4，∴不等式组的解集为x≤1，∴该不等式组的非负整数解为0，1．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．36．（2022春•巴州区期中）（1）解不等式：．（2）已知2﹣2（a﹣1）＞3a﹣1，化简：|2﹣2a|+|a﹣3|．（3）求不等式组的整数解．【分析】（1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可；（2）先求出不等式2﹣2（a﹣1）＞3a﹣1的解集，再根据绝对值的性质化简即可；（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1），原不等式整理，得，去分母，得2x﹣10﹣18+15x≤﹣3，移项，得2x+15x≤10+18﹣3，合并同类项，得17x≤25，系数化为1，得x≤；（2）2﹣2（a﹣1）＞3a﹣1，去括号，得2﹣2a+2＞3a﹣1，移项，得﹣2a﹣3a＞﹣1﹣2﹣2，合并同类项，得﹣5a＞﹣5，系数化为1，得a＜1，∴|2﹣2a|+|a﹣3|＝2﹣2a+3﹣a＝5﹣3a；（3），由①得x＞﹣，由②得x，∴不等式组的解集为：，∴不等式组整数解为﹣1，0，1．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共2小题）37．（2022春•通州区期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以40岁为例计算，220﹣40＝180，180×0.8＝144，180×0.6＝108，所以40岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（）A．108≤p≤144 B．108＜p＜144 C．108≤p≤190 D．108＜p＜190【分析】根据“最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6”列出不等式．【解答】解：根据题意知：（220﹣年龄）×0.6≤p≤（220﹣年龄）×0.8，由220﹣40＝180，180×0.8＝144，180×0.6＝108，知108≤p≤144．故选：A．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出由实际问题抽象出一元一次不等式，实际问题列一元一次不等式时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．38．（2022春•薛城区期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以30岁为例计算，220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（）A．114≤p≤152 B．114＜p＜152 C．114≤p≤190 D．114＜p＜190【分析】根据“最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6”列出不等式．【解答】解：根据题意知：（220﹣年龄）×0.6≤p≤（220﹣年龄）×0.8，由220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，知114≤p≤152．故选：A．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出由实际问题抽象出一元一次不等式，实际问题列一元一次不等式时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．一十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）39．（2021秋•开福区校级期中）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需130元；购买5个A奖品和4个B奖品共需230元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．购买预算金不超过920元，请问学校有几种购买方案．【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买3个A奖品和2个B奖品共需130元；购买5个A奖品和4个B奖品共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的且购买预算金不超过920元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元．（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，依题意，得：，解得：10≤m≤12．∵m为整数，∴m＝10，11，12，∴40﹣m＝30，29，28．∴学校有三种购买方案，方案一：购买A种奖品10个，B种奖品30个；方案二：购买A种奖品11个，B种奖品29个；方案三：购买A种奖品12个，B种奖品28个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．40．（2022春•景泰县校级期中）由于疫情原因，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元；2个A型口罩和1个B型口罩共需28元．（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？（2）药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案最省钱，最少需要多少元钱？【分析】（1）设一个A型口罩的售价是x元，一个B型口罩的售价是y元，根据“1个A型口罩和2个B型口罩共需32元；2个A型口罩和1个B型口罩共需28元”列方程组求解即可；（2）设A型口罩a个，根据“A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍”确定a的取值范围，即可求解．【解答】解：（1）设一个A型口罩、一个B型口罩进价分别为x元、y元．依题得：，解得：，答：一个A型口罩和一个B型口罩的进价分别是8元，12元．（2）设A型口罩购进a个，则B型口罩购进（500﹣a）个；依题有：，解得：，∵a为整数，∴a＝330，331，332，333四种方案，即：方案一：购进A型口罩330个，B型口罩170个；方案二：购进A型口罩331个，B型口罩169个；方案三：购进A型口罩332个，B型口罩168个；方案四：购进A型口罩333个，B型口罩167个；（3）∵一个A型口罩比一个B型口罩便宜，∴A型口罩多进时购进费用少，即：购进A型口罩330个，B型口罩170个时购进费用最少．最少费用为330×8+170×12＝4680（元）．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．41．（2022秋•婺城区期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱（20﹣m）个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案．【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．依题意，得：，解得：．答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20﹣m）个A型垃圾箱．依题意，得：，解得：5≤m≤．又m为整数，m可以为5，6，7，∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．42．（2021春•阜南县期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同，（1）求这两种书的单价；（2）若购买《艾青诗选》的数量不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？【分析