安徽省宿州市宿城第一中学2021年高三数学理月考试卷含解析

安徽省宿州市宿城第一中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B2.已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．16参考答案：D【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】y==（）（cos2θ+sin2θ），由此利用基本不等式能求出y=的最小值．【解答】解：∵θ∈（0，），∴sin2θ，cos2θ∈（0，1），∴y==（）（cos2θ+sin2θ）=1+9+≥10+2=16．当且仅当=时，取等号，∴y=的最小值为16．故选：D．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意基本不等式和三角函数性质的合理运用．3.“更相减损术”是《九章算术》中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该方法的算法流程如图所示，根据程序框图计算，当a＝35，b＝28时，该程序框图运行的结果是（

）A.a＝6，b＝7 B.a＝7，b＝7 C.a＝7，b＝6 D.a＝8，b＝8参考答案：B【分析】根据题意，该程序将输入的a、b值加以比较，若a>b成立则用a-b的值替换a，并进入下一轮比较；若a>b不成立则用b-a的值替换b，并进入下一轮比较.直到使得a、b值相等时，终止运算并输出a、b值，由此结合题意进行运算可得本题答案.【详解】第一步，由于a=35且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“是"，将a-b的值赋给a，得a=7；第二步，此时a=7且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“否"，将b-a的值赋给b得b=21；第三步，此时a=7且b=21，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“否”，将b-a的值赋给b，得b=14；第四步，此时a=7且b=14，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“否”，将b-a的值赋给b得b=7；第五步，此时a=7且b=7，对判断框“a≠b”的回答为“否”，结束循环体并输出a、b的值.综上所述，可得最后输出的值为a=7，b=7.故选：B.【点睛】本题考查程序框图，要求学生掌握根据程序框图，求出输出结果，解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决，属中档题.4.若+与都是非零向量，则“++=”是“//(+)”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

（

）

C．充分必要条件

D．既不充分与不必要条件参考答案：A5.已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为A. B.C. D.参考答案：D分析】画出图象及直线，借助图象分析。【详解】如图，当直线位于B点及其上方且位于A点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是。故选D。【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。

6.设函数，则下列关于的结论错误的是（

）A．值域为

B．偶函数

C．不是周期函数

D．不是单调函数参考答案：C7.已知函数，当时，只有一个实数根；当3个相异实根，现给出下列4个命题：

①函数有2个极值点；

②函数有3个极值点；

③=4，=0有一个相同的实根

④=0和=0有一个相同的实根

其中正确命题的个数是

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C8.将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A． B．2 C．1+ D．2参考答案：C【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意找出使得λ+μ最大的顶点C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的最大值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+μ最大；作平行四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；又；∴；即λ+μ的最大值为．故选C．9.如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝，，BC＝2，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影为，则（

）A．－2 B． C．0 D．参考答案：A以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系如图，∵，BC＝2，∴，，，D的纵坐标为，∵点E为AB的中点，∴，若向量在向量上的投影为，设向量与向量的夹角为，所以，过D作DF⊥BC，垂足为F，在Rt△DFC中，，所以，所以，所以，，所以．10.已知点（x，y）满足不等式组，则z=x-2y的最大值为（）A.－7 B.－1 C.1 D.2参考答案：C作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，所以，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若

机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是___________.参考答案：12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则的取值范围是___________.参考答案：【分析】由题意可得直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围．【详解】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是，不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=，sin∠C1OA1=，∴取值范围是.【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．13.已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数=

参考答案：【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），由AM的斜率可求出a的值．【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用．14.执行如图所示的程序框图,若输入m=5则输出k的值为参考答案：4本题考查程序框图.

mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时,65＞50,所以k=4.15.已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，则x+2y的最小值为

；则xy的最小值为

．参考答案：8,8.【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：x＞0，y＞0，xy=x+2y，∵x+2y≥，当且仅当x=2y时取等号．即xy≥2可得：（xy）2≥8xy，∴xy≥8∴xy的最小值为8．同理：x+2y≥，当且仅当x=2y时取等号．∵xy≥8∴x+2y≥8．∴x+2y的最小值为8．16.将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之比为且前三组数据的频数之和等于，则的值为

.参考答案：根据已知条件知，所以17.设，则______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数（，实数）.（1）若，求实数a的取值范围；（2）求证：.参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】(1)将化为,解一元二次不等式可得答案;(2)先求出函数的最小值,再证明最小值即可.【详解】（1）∵，∴，即，解得.（2），当时，；当时，；当时，∵，∴，当且仅当即时取等号，∴.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了求分段函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.19.已知椭圆C:的左右顶点分别为A,B，右焦点为，离心率，点是椭圆C上异于A,B两点的动点，△APB的面积最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AP与直线交于点，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并作出证明．参考答案：【考点】（1）椭圆基本量；（2）联消判韦，点线距离，线圆位置关系，分类讨论（1）由题意得，，解得：所以，椭圆方程为：.（2）以为直径的圆与直线相切．证明：设直线：，则：，的中点为为联立，消去整理得：设，由韦达定理得：，解得：，故有：又，所以当时，，，此时轴，以为直径的圆与直线相切．当时，，所以直线，即：，所以点到直线的距离而，即知：，所以以为直径的圆与直线相切【点评】：解法常规，难度适当20.（12分）已知函数。（Ⅰ）确定在上的单调性；（Ⅱ）设在上有极值，求的取值范围。参考答案：（Ⅰ）

………………2分设，则………………4分所以，在上单调递减，所以，，

因此在上单调递减。

………………6分（Ⅱ）………………8分若，任给，，所以，在上单调递减，无极值；………………10分若，在上有极值时的充要条件是在上有零点，所以，解得综上，的取值范围是

………………12分21.如图，空间几何体ABCDE，△ABC、△ACD、△EBC均是边长为2的等边三角形，平面ACD⊥平面ABC，且平面EBC⊥平面ABC，H为AB中点．（1）证明：DH∥平面BCE；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）详见解析（2）【分析】（1）分别取，中点，，连接，，，，，通过面面平行的判定定理，证得面面，从而证得平面.（2）方法一（向量法）：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.方法二（几何法）：过点作垂线，垂足为，连接.由此作出二面角的平面角并证明，解直角三角形求得二面角的余弦值.【详解】（1）分别取，中点，，连接，，，，由面面且交于，平面，有面由面面且交于，平面，有面所以,，所以，由有，，所以，,所以面面，所以（2）法1：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系由面，所以面的法向量可取点,点,点，,，设面的法向量，所以，取设二面角的平面角为，据判断其为锐角.法2：过点作垂线，垂足为，连接.由（1）问可知又因为，所以平面，则有.所以为二面角的平面角.由题可知，所以,则所以，【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，包括向量法和几何法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（Ⅰ）设，，求证：（1）（2）数列是等差数列，并求出其公差；（Ⅱ）设，，且是等比数列，求和的值．

参考答案：解：