《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题及答案《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：______姓名：______学号：______一、单项选择题（每题3分共18分）1.若事件A、B适合P(AB)=0，则以下说法正确的是(D)。(A)A与B互斥(互不相容);(B)P(A)=0或P(B)=0;(C)A与B同时出现是不可能事件;(D)P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)=0/P(A)=0。2.设随机变量X其概率分布为X-1012P0.20.30.10.4，则P{X≤1.5}=P{X=0}+P{X=1}=0.3+0.1=0.4。3.设事件A1与A2同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（C）。(A)P(A)=P(A1A2)不一定成立；(B)P(A)≥P(A1)+P(A2)−1不一定成立；(C)P(A)=P(A1∪A2)成立；(D)P(A)≤P(A1)+P(A2)−1不一定成立。4.设随机变量X~N(−3,1),Y~N(2,1),且X与Y相互独立,令Z=X−2Y+7，则Z~N(1,5)。5.设X1,X2,⋯,Xn为正态总体N(μ,σ2)的一个简单随机样本，其中σ=2,μ未知，则S2是一个统计量。6.设样本X1,X2,⋯,Xn来自总体X~N(μ,σ2),σ未知。统计假设为H0：μ=μ0（μ已知），H1：μ≠μ0。则所用统计量为t=(X̄-μ0)/(S/√n)。二、填空题(每空3分共15分)1.P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A)/P(A)=1。2.X的密度函数f(x)=dF(x)/dx=e^(-x)(1+x)，P(X>2)=1-F(2)=e^(-2)。3.θ̂是总体分布中参数θ的无偏估计量，θ̂是总体分布中参数θ的一致最小方差无偏估计量。(1)根据给出的概率分布，可以列出随机变量X和Y的联合分布表如下：|X/Y|-1|1||:-------:|:-------:|:-------:||-1|1/4|1/2||1|1/12|1/24|(2)判断X与Y是否相互独立，需要计算边缘分布并比较。边缘分布如下：P(X=-1)=1/3P(X=1)=2/3P(Y=-1)=1/4+1/12=1/3P(Y=1)=1/2+1/24=13/24由于P(X=-1)P(Y=-1)=1/9≠P(X=-1,Y=-1)=1/4，所以X与Y不是相互独立的。解：七、首先需要修改第一句话的语法错误。联合密度函数为：$$f(x,y)=\begin{cases}12e^{-(3x+4y)},&x>0,y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}$$(1)要求$P(0\leqX\leq1,0\leqY\leq2)$，计算如下：$$P(0\leqX\leq1,0\leqY\leq2)=\iint_{0\leqx\leq1,0\leqy\leq2}12e^{-(3x+4y)}dxdy$$(2)要求$X$的边缘密度，计算如下：$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\begin{cases}3e^{-3x},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases}$$六、工厂出售一台设备的净盈利$Y$可表示为：$$Y=\begin{cases}100,&X\geq1\\-200,&-300<X<1\end{cases}$$则$P(Y=100)=e^{-4}$，$P(Y=-200)=1-e^{-4}$。因此，工厂出售一台设备的净盈利的期望为：$$E(Y)=100\cdote^{-4}-200\cdot(1-e^{-4})\approx33.64\text{元}$$九、已知$X$和$Y$的数学期望分别为$-2$和$2$，方差分别为$1$和$4$，相关系数为$-0.5$。则有：$$E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=-6$$$$D(2X-Y)=2^2D(X)+D(Y)-4cov(X,Y)=12$$十、1000户居民每日用电量服从$[0,20]$上的均匀分布，由中心极限定理可知，这1000户居民每日用电量的总和近似服从均值为$1000\cdot10=10000$，方差为$1000\cdot\frac{20^2}{12}=333333.33$的正态分布。因此，这1000户居民每日用电量超过$10100$度的概率为：$$P\left(\frac{X-10000}{\sqrt{333333.33}}>\frac{10100-10000}{\sqrt{333333.33}}\right)=1-\Phi(0.27)\approx0.395$$其中$\Phi(x)$表示标准正态分布函数。假设有1000户居民，第i户居民的用电量为Xi，则Xi服从均值为μ=20的连续均匀分布，即Xi~U[20,100+20]，即Xi~U[20,120]。如果已知第i户居民的用电量，我们可以计算出每户用电量的期望值为E(Xi)=70和方差为Var(Xi)=400/3。如果我们想知道1000户居民的用电量总和X，我们可以使用中心极限定理。由于每户用电量是独立同分布的，我们可以得到X~N(1000*70,1000*400/3)。现在我们想知道X>10100的概率。根据标准正态分布表，我们可以得到P(Z>1.96)=0.025，其中Z是标准正态分布的随机变量。因此，我们可以得到P(X>10100)=P(Z>(10100-1000*70)/sqrt(1000*400/3))=P(Z>3.06)=0.001。因此，1000户居民的用电量超过10100的概率为0.001。假设我们从总体X中取样本x1,x2,…,xn，其中X的密度函数为f(x)=(θ+1)x^θ，其中θ>0是未知的。我们想要求θ的最大似然估计。首先，我们可以写出似然函数L(x1,x2,…,xn,θ)=∏(θ+1)xi^θ。然后，我们可以对似然函数取对数，得到lnL(x1,x2,…,xn,θ)=nln(θ+1)+θ∑ln(xi)。对θ求导数，得到dlnL/dθ=n/(θ+1)+∑ln(xi)，令其等于0，解得θ的最大似然估计为θ^=(-n/∑ln(xi))-1。假设我们从某商店每天每百元投资的利润率X中