北师大版数学选修44 模块检测A

第页模块检测A(时间：120分钟总分值：150分)一、选择题(每题5分，共50分)1.A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，那么E的离心率为()A.eq\r(5) B.2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析结合图形，用a表示出点M的坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，进而求出离心率.不妨取点M在第一象限，如下图，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，那么|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为(2a，eq\r(3)a).∵M点在双曲线上，∴eq\f(4a2,a2)－eq\f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq\r(2)a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).应选D.答案D2.极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))(t为参数)所表示的图形分别是()A.圆、直线 B.直线、圆C.圆、圆 D.直线、直线解析由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，所以x2＋y2＝x，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，它表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))为圆心，以eq\f(1,2)为半径的圆.由x＝－1－t得t＝－1－x，所以y＝2＋3t＝2＋3(－1－x)＝－3x－1，表示直线.答案A3.在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′,y′＝\f(1,3)y′)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′,y′＝3y′)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝3y))解析设eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，λ＞0，,y′＝μy，μ＞0))那么μy＝sinλx.即y＝eq\f(1,μ)sinλx比拟y＝3sinα与y＝eq\f(1,μ)sinλx，那么有eq\f(1,μ)＝3，λ＝2.∴μ＝eq\f(1,3)，λ＝2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y)).答案B4.设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么点P的极坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(3,4)π)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\r(2)，\f(5,4)π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,4)π)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,4)π))答案A5.在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))作曲线C的切线，那么切线长为()A.4 B.eq\r(7) C.2eq\r(2) D.2eq\r(3)解析ρ＝4sinθ化为普通方程x2＋(y－2)2＝4，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))化为直角坐标为(2eq\r(3)，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长＝eq\r(〔2\r(3)〕2＋〔2－2〕2－22)＝2eq\r(2).答案C6.柱坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)，1))对应的点的直角坐标是()A.(eq\r(3)，－1，1) B.(eq\r(3)，1，1)C.(1，eq\r(3)，1) D.(－1，eq\r(3)，1)解析由直角坐标与柱坐标之间的变换公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)，,z＝1.))答案C7.直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)t，,y＝－9＋\f(3,5)t))(t为参数)与圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)的位置关系是()A.相离 B.相切C.过圆心 D.相交不过圆心解析把直线与圆的参数方程化为普通方程分别为3x－4y－36＝0，x2＋y2＝4，得到圆的半径为2，圆心为(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断出直线和圆的位置关系.答案A8.把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t\f(1,2),y＝t－\f(1,2))) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝\f(1,sint)))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cost,y＝\f(1,cost))) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tant,y＝\f(1,tant)))解析xy＝1，x取非零实数，而A，B，C中的x的范围有各自的限制.答案D9.双曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,cosθ)，,y＝4tanθ))(θ为参数)，在以下直线的参数方程中：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3t，,y＝4t；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝1－\f(1,2)t；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－\f(4,5)t；))④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t；))⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3t，,y＝－4－4t))(以上方程中，t为参数)，可以作为双曲线C的渐近线方程的是()A.①⑤ B.①③⑤C.①②④ D.②④⑤解析由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应a＝3，b＝4且双曲线的焦点在x轴上，因此渐近线方程是y＝±eq\f(4,3)x.检验所给的直线的参数方程可知只有①③⑤符合条件.答案B10.曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋5t，,y＝1－2t))(t为参数)与坐标轴的交点是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,5)))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C.(0，－4)、(8，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9)))、(8，0)解析当x＝0时，t＝eq\f(2,5)，而y＝1－2t，即y＝eq\f(1,5)，得与y轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))；当y＝0时，t＝eq\f(1,2)，而x＝－2＋5t，即x＝eq\f(1,2)，得与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).答案B二、填空题(每题5分，共25分)11.直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝1＋t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ>0，\f(3π,4)<θ<\f(5π,4)))，那么直线l与曲线C的交点的极坐标为________.解析把参数方程化为极坐标方程，联立方程组求解.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝1＋t，))得x－y＋2＝0，那么ρcosθ－ρsinθ＋2＝0.由ρ2cos2θ＝4得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4.∴ρcosθ＝－2，ρsinθ＝0.∴θ＝π，ρ＝2.∴直线l与曲线C的交点的极坐标为A(2，π).答案(2，π)12.设点M的直角坐标为(1，－eq\r(3)，4)那么点M的柱坐标为________.解析设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，那么有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝ρcosθ，,－\r(3)＝ρsinθ，,4＝z，))∴有ρ＝2，θ＝eq\f(5π,3)，z＝4.所以点M的柱坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)，4)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)，4))13.在平面直角坐标系中，倾斜角为eq\f(π,4)的直线l与曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么直线l的极坐标方程是________.解析将参数方程化为直角坐标方程求解.曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)，消去参数得(x－2)2＋(y－1)2＝1.由于|AB|＝2，因此|AB|为圆的直径，故直线过圆的圆心(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0，化为极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，即ρ(cosθ－sinθ)＝1.答案ρ(cosθ－sinθ)＝114.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))(t为参数)，那么C1与C2交点的直角坐标为________.解析将极坐标方程、参数方程转化为普通方程，联立求得交点坐标，或只将直线的极坐标方程转化为普通方程，再把曲线的参数方程代入直线的普通方程求交点坐标.由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2得x＋y＝－2.法一由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t，))得y2＝8x，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－2，,y2＝8x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－4，))即交点坐标为(2，－4).法二把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))代入x＋y＋2＝0得t2＋2eq\r(2)t＋2＝0，解得t＝－eq\r(2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－4，))即交点坐标为(2，－4).答案(2，－4)15.曲线C1的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，那么C1与C2交点的直角坐标为________.解析先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，然后联立方程组，解方程组即得交点坐标.将曲线C1的参数方程化为普通方程为y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x〔x≥0〕，,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲线C1与C2交点的直角坐标为(eq\r(3)，1).答案(eq\r(3)，1)三、解答题(共6题，共75分)16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cost，,y＝－2＋3sint))(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即eq\f(|1－〔－2〕＋m|,\r(2))＝2，解得m＝－3±2eq\r(2).17.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2eq\r(3)cosα，α).所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).当α＝eq\f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.18.(12分)说明由函数y＝2x的图像经过怎样的图像变换可以得到函数y＝4x－3＋1的图像.解因为y＝4x－3＋1＝22x－6＋1，所以只需把y＝2x的图像经过以下变换就可以得到y＝4x－3＋1的图像.先把纵坐标不变，横坐标向右平移6个单位，得到函数y＝2x－6的图像；再把横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数＝22x－6的图像；再把所得函数图像的横坐标不变，纵坐标向上平移1个单位即得函数y＝4x－3＋1的图像.19.(12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设椭圆的长轴长为10，中心为(3，0)，一个焦点在直角坐标原点；(1)求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；(2)当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为eq\f(640,91)时，求弦所在直线的直角坐标方程.解(1)由，得到a＝5，c＝3，故b＝eq\r(a2－c2)＝4.所以，椭圆的直角坐标方程为eq\f(〔x－3〕2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上式得到eq\f(〔ρcosθ－3〕2,25)＋eq\f(〔ρsinθ〕2,16)＝1，即25ρ2＝(16＋3ρcosθ)2，即5ρ＝16＋3ρcosθ，所以，椭圆的极坐标方程为ρ＝eq\f(16,5－3cosθ).(2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为θ，弦的两端分别为P1(ρ1，θ)，P2(ρ2，θ＋π)，那么有ρ1＝eq\f(16,5－3cosθ)，ρ2＝eq\f(16,5＋3cosθ).由于ρ1＋ρ2＝eq\f(640,91)，所以，eq\f(16,5－3cosθ)＋eq\f(16,5＋3cosθ)＝eq\f(640,91)，即eq\f(1,25－9cos2θ)＝eq\f(4,91)⇔cos2θ＝eq\f(1,4)⇔cosθ＝±eq\f(1,2)⇔θ＝eq\f(π,3)，或θ＝eq\f(2π,3).所以，所求直线的直角坐标方程为y＝eq\f(1,2)x或y＝－eq\f(1,2)x.20.(13分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(3)sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解(1)由ρ＝2eq\r(3)sinθ，得ρ2＝2eq\r(3)ρsinθ，从而有x2＋y2＝2eq\r(3)y，所以x2＋(y－eq\r(3))2＝3.(2)设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,2)t，\f(\r(3),2)t))，又C(0，eq