江苏省泰州市姜堰芦庄中学高三数学文上学期摸底试题含解析

江苏省泰州市姜堰芦庄中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数满足约束条件若函数的最大值为1，则的最小值为A. B. C. D.参考答案：A略2.若函数

有两个零点，并且不等式恒成立则实数的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：B3.正四棱锥V—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则AB两点的球面距为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B8.已知数列为等差数列,为其前项和,且,则

（）A．25

B．27

C．50

D．54

【答案】B4.在等差数列{an}中，Sn为前n项和，，则A.33

B.11

C.50

D.60参考答案：A由.故选A.5.对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x参考答案：D考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：直接利用已知条件，判断函数的奇偶性，以及函数的周期性，然后判断选项即可．解答：解：对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），说明函数是偶函数，满足f（x﹣π）=f（x）的函数是周期为π的函数．对于A，不是偶函数，不正确；对于B，也不是偶函数，不正确；对于C，是偶函数，但是周期不是π，不正确；对于D，f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，是偶函数，周期为：π，正确．故选：D．点评：本题考查抽象函数的奇偶性函数的周期性的应用，基本知识的考查．6.已知全集，集合A=，集合B=则右图中的阴影部分表示（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略7.已知为i虚数单位，若复数的虚部为－3，则（

）．A．5 B． C． D．参考答案：C因为，所以，所以，所以，所以．故选．8.已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（

）（A）1

（B）

（C）

（D）3参考答案：A9.下列结论正确的是(

) A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λ B．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0” C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 D．若命题P：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：?x∈R，x2﹣x+1＞0参考答案：C考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．若，则不存在实数λ使得=2λ；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角；C．利用逆否命题的定义即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．解答： 解：A．若向量∥，，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；D．命题P：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：?x∈R，x2﹣x+1≥0，不正确．故选：C．点评：本题考查了向量共线定理及其夹角公式、逆否命题的定义、命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．10.在△中，角所对的边分别为，若，则△的面积等于A．10

B．

C．20

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.动点P与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为A，B，C，D（逆时针方向），且P点到A，B，C的距离分别为a，b，c。若a2+b2=c2，则点P的轨迹是___________；P点到D点的最大距离为___________。参考答案：圆x2+（y+1）2=2；2+12.已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA=2cm，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点B，AB=cm，则△ABC的面积为

cm2。参考答案：略13.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.参考答案：【分析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.14.（坐标系与参数方程选做题）设Ｍ、Ｎ分别是曲线和上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是

参考答案：略15.已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，则的面积为_____________.参考答案：略16.已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数

.

参考答案：17.已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=

．参考答案：【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用正弦定理化简已知表达式，通过不共线，求出a、b、c的关系，利用余弦定理求解即可．【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理2sinA=，可得2a++3c=，则2a+=﹣3c=﹣3c（﹣），即（2a﹣3c）=，又因∵不共线，则2a﹣3c=0，，即2a==3c∴，，∴．故答案为：．【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（），直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（I）求的表达式；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ），-------------------------------------------3分由题意知，最小正周期，，所以，∴

-----------------------------------------6分（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.

-------------------------9分令，∵,∴，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或

∴或.

-------------------12分

略19.（本小题满分14分）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上的一个定点，过点任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两点、，证明：直线的斜率为定值．参考答案：（1）（法1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，所以，

…………1分且圆的直径为．…………2分由题意，动圆与轴相切，所以，两边平方整理得：，所以曲线的方程．

……6分（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图6－1）．在直角梯形中，，即动点到定点的距离比到轴的距离1．…3分又动点位于轴的上方（包括轴上），所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等．故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线．所以曲线的方程．

……………6分（2）①（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6－2．设直线的斜率为（），则直线的斜率为．

………………7分因为是曲线：上的点，所以，直线的方程为．由，解得或，所以点的坐标为，……………9分以替换，得点的坐标为．

……………10分所以直线的斜率为定值．………14分（法2）因为是曲线：上的点，所以，．又点、在曲线：上，所以可设，，

……7分而直线，的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即，……9分整理得．……10分

所以直线的斜率…11分…13分

…14分为定值．………14分20.已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）因为

………1分

，

………3分所以

.

………6分（或

………3分）（Ⅱ）因为所以.

………8分所以.所以.

………10分

所以.所以.

………12分所以的取值范围为.

………13分

略21.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过VP﹣BCD=VB﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．【解答】解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE?平面PCD，DF?平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S△BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵VP﹣BCD=VB﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．【点评】考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．22.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求f(x)的单调区间；（3）若对于任意，都有，求实数a的取值范围.参考答案：（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可