洛伦兹变换的详细推导

第三节洛伦兹变换式教课内容：洛伦兹变换式的推导；狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的缩短和时间的延缓；要点难点：狭义相对论时空观的主要结论。基本要求：认识洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；认识狭义相对论中同时性的相对性以及长度缩短和时间延缓观点；理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及二者的差别。三、洛伦兹坐标变换的推导xxvtxxvt1212vcvcyyyyzzzzttvxc2ttvxc2121vc2vc或据狭义相对论的两个基本假定来推导洛仑兹变换式。时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们以为时间和空间都是平均的，所以时空坐标间的变换一定是线性的。关于随意事件P在S系和S'系中的时空坐标(x，y，z，t)、(x'，y'，z'，t')，因S'相关于S以平行于x轴的速度v作匀速运动，明显有y'=y,z'=z。在S系中察看S系的原点，x=0；在S'系中察看该点，x'=-vt'，即x'+vt'=0。所以x=x'+vt'。在随意的一个空间点上，能够设：x=k（x'+vt'），k是—比率常数。相同地可获得：x'=k'（x-vt）=k'（x+(-v)t）依据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上边两个等式的形式就应当相同（除正、负号），所以k=k'。由光速不变原理可求出常数k设光信号在S系和S'系的原点重合的刹时从重合点沿x轴行进，那么在任一刹时（t或t'），光信号抵达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=ct,x'=ct'，则：kc1v2c21vc2由此获得。xxvtxvt2x2这样，就获得1vc1vc，。由上边二式，消去x'获得tvxc2ttvxc2t2vc21vc1，综合以上结果，；若消去x获得就获得洛仑兹变换，或洛仑兹反变换可见洛仑兹变换是两条基来源理的直接结果。议论（1）能够证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描绘高速运动的电磁现象，而牛顿力学不合用描绘高速现象，故它有必定的合用范围。（2）当|v/c|<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情况。故牛顿力学仅是相对论力学的特别情况—低速极限。四、相对论速度变换公式洛仑兹变换是事件的时空坐标在不一样惯性系之间的关系，依据洛仑兹变换能够获得狭义相对论的速度变换公式。设物体在S、S'系中的的速度分别为ux,uy,uz，ux,uy,uz，依据洛仑兹变换式可得：dxuxvdtdt1vuxc2uxuxvdt221vc1vc1vuxc2，即：所以：dydydt1vuxc2因y'=y,z'=z，有dy'=dy,dt1vc2dz'=dz则，即uyuy1vc2uzuz1vc21vuxc21vuxc2。同理：所以得相对论的速度变换公式：uxuxvuyuy1vc2uzuz1vc21vuxc21vuxc21vuxc2、、其逆变换为：uxuxvuyuy1vc2uzuz1vc21vuxc21vuxc21vuxc2、、。议论（1）当速度u、v远小于光速c时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转变为伽利略速度变换式uxuxv。（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c。证明：设S'系中察看者测得沿x'方向流传的一光信号的光速为c，在S系中的察看cvcuxvcc2者测得该光信号的速度为：1，即光信号在S系和S'系中都相同。第四节狭义相对论的时空观一、一、同时的相对性观点狭义相对论的时空观以为：同时是相对的。即在一个惯性系中不一样地址同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不必定是同时的。比如：在地球上不一样地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞翔的飞船上来看，他们不必定是同时出生的。如图设S系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中搁置一灯P。当灯发出闪光时：S系的察看者以为，闪光相对他以相同速率流传，所以同时抵达A、B两头；系（地面上）的察看者以为，A与光相向运动（v、c反向），B与光同向运动，所以光先抵达A再抵达B，不一样时抵达。结论：同时性与参照系相关—这就是同时的相对性。假定两个事件P1和P2，在S系和S系中测得其时空坐标为：由洛伦兹变换得：在S系和S系中测得的时间间隔为t2t1和（t2-t1），它们之间的关系为：可见，两个相互间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。议论（1）在S系中同时发生：t=t，但在不一样地址发生，x2x1，则有：21这就是同时的相对性。即在

（2）在S系中同时发生：t2=t1，并且在相同地址发生，x2S系中同时同地址发生的两个事件，在S’系中也同时同地址发生。（3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后

x1

，则有：假定在S系中，t时刻在x处的质点经过t时间后抵达xx处，则由：获得由于v≯c，u≯c，所以t与t同号。即事件的因果关系，互相次序不会颠倒。4）上述状况是相对的。同理在S’系中不一样地址同时发生的两个事件，在S系看来相同也是不一样时的。（5）当vc时，tt，回到牛顿力学。二、长度缩短（洛伦兹缩短）假定一刚性棒AB静止于S’系中lx2x1，在S系中同时t1t2t丈量得x2x1。由洛伦兹坐标变换式：得：即ll1vc2固有长度察看者与被测物体相对静止时，长度的丈量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l0表示。即洛伦兹缩短（长度缩短）1vc2察看者与被测物体有相对运动时，长度的丈量值等于其原长的倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹缩短（长度缩短）。议论：（1）长度缩短效应拥有相对性。若在S系中有一静止物体，那么在S系中察看者将同时丈量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有即看人家运动着的尺子变短了。（2）当v<<c时，有ll三、时间膨胀（时间延缓）t2tvxxc2t2t11211vc2由洛伦兹变换得，事件P1、P2在S系中的时间间隔为tt2t1，事件P1、P2在S’系中的时间间隔为tt2t1。假如在’S系中两事件同地址发生，即x2x1，则有：固有时间（原时）的观点在某一惯性系中同一地址先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用表示，且：t01vc2时间膨胀在S系看来：t0，称为时间膨胀。

。议论（1）时间膨胀效应拥有相对性。若在S系中同一地址先后发生两事件的时间间隔为t（称为原时），则同理有就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。（2）当v＜＜c时，有tt（3）实验已证明μ子，π介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完整不一样。例1:在惯性系S中，有两个事件同时发生，在xx轴上相距1.0103m处，从另一惯性系S’中察看到这两个事件相距2.0103m。问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少t2t，tt2t10，x2x11.0103m。解：由题意知，在S系中，1，即而在S’系看来，时间间隔为tt2tx2x12.0103m。1，空间间隔为由洛伦兹坐标变换式得：t310331035.77106s12310322c由（）式得代入（）式得例2:半人马星座α星是离太阳系近来的恒星，它距地球为4.31016m。