(完整)初中数学一题多解题

(完整)初中数学一题多解题初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数。方法一：设较小的奇数为x，另外一个就是x+2。则有x(x+2)=323，解方程得：x1=17，x2=-19。所以，这两个奇数分别是17、19，或者-17，-19。方法二：设较大的奇数x，则较小的奇数为323/x。则有x-323/x=2，解方程得：x1=19，x2=-17。同样可以得出这两个奇数分别是17、19，或者-17，-19。方法三：设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为2x-1，2x+1。则有(2x-1)(2x+1)=323，即4x^2-1=323，x^2=81，x1=9，x2=-9。2x1-1=17，2x1+1=19；2x2-1=-19，2x2+1=-17。所以，这两个奇数分别是17、19，或者-17，-19。方法四：设两个连续奇数为x-1，x+1，则有x^2-1=323，x^2=324=4*81，x1=18，x2=-18。x1-1=17，x1+1=19；x2-1=-19，x2+1=-17。所以，这两个奇数分别是17、19，或者-17，-19。例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得以下方程组：13x+5y+9z=9.252x+4y+3z=3.20分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。解法一：凑整法。将两个方程相加，得5x+3y+4z=4.15。将第二个方程乘以3再与第一个方程相减，得7(x+y+z)=7.35，故x+y+z=1.05。解法二：主元法。将第一个方程乘以4再减去第二个方程，得52x+16y=44.8。将第二个方程乘以5再减去第一个方程，得16y+22z=11。解得y=0.55，z=0.5-0.5y=0.05，代入第一个方程得x=0.45，故x+y+z=1.05。综上，只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元。1.解题思路：根据题意列出方程组，消元求解。首先将y、z视为主元，x视为常数，解出y和z的表达式，代入x+y+z=105中求解x，得到x=0.5，y=0.55，z=3.95。因此，3辆大车和5辆小车一次可以运货24.5吨。2.解题思路：根据题意列出方程组，待定系数法求解。设甲、乙、丙三种货物分别为x、y、z，则根据题意列出方程组，设x+y+z=k，代入方程组中求解系数a和b，再代入x+y+z=k中求解k，得到k=1.05。因此，购买甲、乙、丙各1件共需1.05元。题35：已知，在直角三角形ABC中，CD⊥AB，AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CF·FD=AF·EF。根据题意，可以得到以下结论：由于AE平分∠BCA，所以∠CAF=∠BAE，∠CAE=∠EAB；又因为CD⊥AB，所以∠ACD=∠BCD，∠CAD=∠CBD。因此，△CAF∽△BAE，△ACD∽△BCD。又因为CF=FD，所以可以得到：2CF·FD=CF^2=AF·EF，即可证明结论。题36：已知，在三角形ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：CE/BC=CF/AC。根据题意，可以得到以下结论：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因为DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，所以△ADE∽△BDF。因此，CE/BC=CD/BD，CF/AC=FD/AD。又因为AD=BD+CD，所以可以得到CE/BC=CF/AC，即可证明结论。题37：已知，在三角形ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD，求证：AE^2=AD·AB。根据题意，可以得到以下结论：由于CE平分∠BCD，所以∠ACE=∠ECD，∠ACB=∠DCB。因此，△ACE∽△DCB。又因为D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，所以△ACD∽△ABC。因此，AE/AD=AC/AB，CE/CD=AC/BC。根据相似三角形的性质，可以得到AE^2=AD·AB，即可证明结论。题38：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，求证：PA/AD=PB/BD。根据题意，可以得到以下结论：由于PC为⊙ABC的切线，所以∠PCA=∠BCA，∠PCB=∠ACB。因此，△PCA∽△CAB，△PBC∽△ABC。又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD。因此，AD/BD=AC/BC。由相似三角形的性质，可以得到PA/AD=PB/BD，即可证明结论。题39：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，求证：△ADF∽△AEB。根据题意，可以得到以下结论：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因为CF⊥AE，所以△ACF∽△BCE。因此，AD/BD=AC/BC，AF/BE=AC/CE。又因为EF=CF，所以可以得到：AF/BE=CF/CE。因此，△ADF∽△AEB，即可证明结论。题40：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB。根据题意，可以得到以下结论：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD。又因为S⊙ADC=1/2·AD·AC，S⊙BDC=1/2·BD·BC，所以S⊙ADC：S⊙BDC=AD·AC：BD·BC。由于AD/BD=AC/BC，所以可以得到S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB，即可证明结论。题41：已知，在三角形ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB的度数。根据题意，可以得到以下结论：由于AD/CD=CD/BD，所以AD^2=CD^2，即AC^2-AD^2=BC^2-CD^2。又因为CD⊥AB，所以AC^2-AD^2=BC^2，即AC^2=AD^2+BC^2。因此，∠ACB为90度，即可得出结论。题42：已知，CD是三角形ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，则∠ACB一定是90度吗？为什么？根据题意，可以得到以下结论：由于CD是三角形ABC的AB边上的高，所以AD+BD=AB。又因为AD/CD=CD/BD，所以AD/BD=CD^2/BD^2。因此，可以得到AD^2=CD^2·BD/AD，即AD^3=CD^2·BD。因此，如果AD/CD=CD/BD成立，那么∠ACB一定是90度，否则就不一定。题43：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，△BDC的内切圆⊙O2，求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB。根据题意，可以得到以下结论：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因为△ADC和△BDC的内切圆分别与CD、BC相切，所以CD和BC分别为它们的公切线。因此，根据切线的性质，可以得到AD=AS，BD=BS，其中AS和BS分别为⊙O1和⊙O2的切点到D的距离。又因为S⊙O1=1/2·AD·AC，S⊙O2=1/2·BD·BC，所以S⊙O1：S⊙O2=AD·AC：BD·BC=AD：DB，即可证明结论。题44：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，△BDC的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：R1+R2+R=CD。根据题意，可以得到以下结论：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因为△ADC和△BDC的内切圆分别与CD、BC相切，所以CD和BC分别为它们的公切线。因此，根据切线的性质，可以得到AD=AS，BD=BS，其中AS和BS分别为⊙O1和⊙O2的切点到D的距离。又因为S⊙O1=1/2·AD·AC，S⊙O2=1/2·BD·BC，S⊙O=1/2·AB·AC=1/2·AB·BC=1/2·AC·BD，所以R1+R2+R=AS+BS+2R=2S⊙O+2R=CD，即可证明结论。题45：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P，求证：△PAD的面积和△PBC的面积相等。根据题意，可以得到以下结论：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因为以AC和BD为直径的圆分别为⊙O1和⊙O2，所以∠APO1=∠BPO2=90度。因此，AP和BP分别为⊙O1和⊙O2的直径，所以△PAD和△PBC都是直角三角形，且∠PAD=∠PBC=90度。又因为AP=AC，BP=BC，所以S△PAD=1/2·AP·AD=1/2·AC·CD=S△PBC，即可证明结论。题目59（题53的逆命题6）已知如图，AC=CE，CF⊥AB，CB=BE，∠ABC=∠EBF，求证：AF=2EF。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为CB=BE，所以BG=BA。所以三角形ABG为等腰三角形，即AG=AB。又因为AC=CE，所以AE=EC。所以三角形AEC为等腰三角形，即∠AEC=∠ACE。因为AC⊥CE，所以∠ACE=90度，所以∠AEC=90度。所以∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以AG=2EC。所以AF=AG-GF=2EC-GF=2EF。题目60（题53的逆命题7）已知如图，AC=CE，AC⊥CE，∠ABC=∠EBF，CF⊥AB，求证：AF=2EF。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为AC⊥CE，所以∠ACE=90度，所以三角形AEC为等腰三角形，即∠AEC=∠ACE。所以∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以AG=2EC。所以AF=AG-GF=2EC-GF=2EF。题目61（题53的逆命题8）已知如图，AC=CE，AC⊥CE，CB=BE，∠ABC=∠EBF，求证：AF=2EF。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为AC⊥CE，所以∠ACE=90度，所以三角形AEC为等腰三角形，即∠AEC=∠ACE。所以∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以AG=2EC。所以AF=AG-GF=2EC-GF=2EF。题目62（题53的逆命题9）已知如图，AF=2EF，CF⊥AB，CB=BE，∠ABC=∠EBF，求证：AC=CE，AC⊥CE。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为AF=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE，所以三角形CGB为等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因为∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以AC⊥CE。题目63（题53的逆命题10）已知如图，AC⊥CE，AF=2EF，CF⊥AB，∠ABC=∠EBF，求证：AC=CE，CB=BE。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为AF=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB为等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。题目64（题53的逆命题11）已知如图，CB=BE，∠ABC=∠EBF，AC⊥CE，AF=2EF，求证：AC=CE，CF⊥AB。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为AF=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB为等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因为∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以CF⊥AB。题目65（题53的逆命题12）已知如图，AC=CE，AF=2EF，CF⊥AB，∠ABC=∠EBF，求证：AC⊥CE，CB=BE。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为AF=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB为等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因为AE⊥EG，所以AC⊥CE。题目66（题53的逆命题13）已知如图，AC⊥CE，AF=2EF，CB=BE，∠ABC=∠EBF，求证：AC=CE，CF⊥AB。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为AF=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB为等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因为∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以CF⊥AB。题目67（题53的逆命题14）已知如图，AC=CE，AC⊥CE，AF=2EF，∠ABC=∠EBF，求证：CB=BE，CF⊥AB。证明：首先，连接EF并延长交AB于点G，因为∠ABC=∠EBF，所以三角形ABG与三角形EBF相似。又因为AF=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因为AE=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB为等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因为∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以CF⊥AB。题目68已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，求S△BCD=？解：首先，因为CM平分∠ACB，所以AM=MB。又因为S△ACM=30，所以S△ABC=60。又因为∠ACB=90度，所以AB^2=AC^2+BC^2。所以BC^2=AB^2-AC^2。又因为CD⊥AB，所以BC^2=BD·BA。所以BD=BC^2/BA=（AB^2-AC^2）/AB。又因为S△DCM=6，所以S△DCB=12。所以S△BCD=S△DCB-S△DCM=6。题目92：在直角三角形ABC中，CD是AB边上的高，且∠ACD=3∠BCD，E是AB的中点，求∠ECB的度数。解析：根据题意，我们可以列出以下等式：$\begin{cases}\angleACD=3\angleBCD\\AE=EB\end{cases}$由于$\angleACD+\angleBCD=90^\circ$，所以$\angleBCD=\frac{1}{4}\angleACB$。又因为$\angleACB=90^\circ$，所以$\angleBCD=22.5^\circ$。由于$AE=EB$，所以$\triangleAEC$和$\triangleBEC$是等腰三角形，$\angleECB=\angleECA=\frac{1}{2}\angleACB=45^\circ$。因此，$\angleECB=45^\circ$。题目94：在三角形ABC中，$\angleC$的平分线交AB于D，交三角形ABC的外接圆于E，若CD·CE等于三角形ABC面积的2倍，求证：$\angleACB=90^\circ$。解析：根据题意，我们可以列出以下等式：$CD\cdotCE=2[S_{\triangleABC}]$其中，$S_{\triangleABC}$表示三角形ABC的面积。又因为$\angleAEC=90^\circ$，所以$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AB\cdotEC$。因此，$CD\cdotCE=AB\cdotEC$。又因为$\triangleADE\sim\triangleAEC$，所以$\frac{AD}{AE}=\frac{DE}{EC}$，即$\frac{AD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{DE}{EC}$。又因为$\triangleBDE\sim\triangleBEC$，所以$\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{EC}$，即$\frac{BD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{DE}{EC}$。因此，$\frac{AD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{BD}{\frac{1}{2}AB}$，即$AD=BD$。又因为$\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AC=BC$。因此，$\triangleABC$是等腰直角三角形，$\angleACB=90^\circ$。题目95：在三角形ABC中，$\angleACB=90^\circ$，CD⊥AB，D为垂足，CM平分$\angleACB$交AB于M，若AC>BC，求证：$\angleDCM=\frac{1}{2}(\angleB-\angleA)$。解析：根据题意，我们可以列出以下等式：$\begin{cases}CM$平分$\angleACB\\AC>BC\end{cases}$又因为$\angleACB=90^\circ$，所以$\triangleACM$和$\triangleBCM$都是直角三角形。因此，$\angleAMC=\angleBMC=45^\circ$。又因为$\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AC=BC$。因此，$\triangleAMC$和$\triangleBMC$是等腰直角三角形，$\angleMAC=\angleMBC=45^\circ$。又因为$\angleDCA=\angleDCB$，所以$\triangleDCA\cong\triangleDCB$，即$DA=DB$。因此，$\triangleADM$和$\triangleBDM$是等腰三角形，$\angleAMD=\angleBMD$。因此，$\angleDCM=\angleAMC-\angleAMD=\angleBMC-\angleBMD=\frac{1}{2}(\angleB-\angleA)$。题目96：在三角形ABC中，$\angleACB=90^\circ$，CD⊥AB，D为垂足，CE为AB边上的中线，且DE=DC，求三角形ABC中较小的锐角的度数。解析：根据题意，我们可以列出以下等式：$\begin{cases}CD=DE=DC\\CE$为AB边上的中线\end{cases}$又因为$\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AC=BC$。因此，$\triangleABC$是等腰直角三角形，$\angleBAC=\angleABC=45^\circ$。又因为$CE=\frac{1}{2}AB$，所以$\triangleCDE$是等腰直角三角形，$\angleCED=\angleCDE=45^\circ$。因此，$\triangleCED$是等边三角形，$CD=DE=CE=\frac{1}{2}AB$。又因为$\angleBAC=45^\circ$，所以$\angleBCA=45^\circ$。因此，$\triangleABC$中较小的锐角是$\angleBAC$，其度数为$45^\circ$。题目97：在三角形ABC中，$\angleACB=90^\circ$，CE平分$\angleACB$交AB于E，且EC+BC=AC，求AC/BC。解析：根据题意，我们可以列出以下等式：$EC+BC=AC$又因为$\angleACE=\angleECB$，所以$\triangleACE\sim\triangleECB$，即$\frac{AC}{EC}=\frac{EC}{BC}$，即$AC\cdotBC=EC^2$。因此，$EC^2+BC^2=AC^2$。又因为$\angleACB=90^\circ$，所以$AC^2+BC^2=AB^2$。因此，$EC^2+BC^2=AB^2-BC^2$，即$EC^2=AB^2-2BC^2$。又因为$EC+BC=AC$，所以$EC=AC-BC$。因此，$(AC-BC)^2=AB^2-2BC^2$，即$AC^2-2AC\cdotBC+BC^2=AB^2-2BC^2$。因此，$AC^2-AB^2=BC^2-2AC\cdotBC+BC^2$，即$(AC-AB)(AC+AB)=BC^2-2AC\cdotBC+BC^2$。又因为$AC+AB=BC$，所以$(AC-AB)BC=BC^2-2AC\cdotBC+BC^2$，即$(AC-AB)BC=BC^2-AC\cdotBC$。因此，$\frac{AC}{BC}-1=\frac{BC}{AC}$，即$\left(\frac{AC}{BC}\right)^2-\frac{AC}{BC}-1=0$。解得$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$。题目98：在三角形ABC中，$\angleACB=90^\circ$，两直角边的差为$2\sqrt{2}$，CD⊥AB，D为垂足，BD-AD=$2\sqrt{3}$，求三角形ABC中的三边长。解析：根据题意，我们可以列出以下等式：$\begin{cases}BD-AD=2\sqrt{3}\\BC-AC=2\sqrt{2}\end{cases}$又因为$\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AC=BC$。因此，$\triangleABC$是等腰直角三角形，$\angleBAC=\angleABC=45^\circ$。又因为$BD-AD=2\sqrt{3}$，所以$\frac{BD}{AD}=\frac{2\sqrt{3}+AD}{AD}$，即$BD=2\sqrt{3}+AD$。又因为$\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AD=BD-2\sqrt{2}$。因此，$AD=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$AC=BC=\sqrt{8}$。因此，三角形ABC的三边长分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$\sqrt{8}$。题目99：圆内接三角形ABC中，直径AB=4，AB边上的高CD=$2\sqrt{3}$，求$\angleA$的度数。解析：根据题意，我们可以列出以下等式：$\begin{cases}AB=4\\CD=2\sqrt{3}\end{cases}$又因为$\triangleACD\sim\triangleABC$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即$\frac{AC}{4}=\frac{2\s