山西省朔州市应县第一中学2022-2023学年高二数学第二学期期末监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等比数列中，已知，则的值为（）A． B． C． D．2．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（）A．18B．24C．30D．363．已知函数，若，则（）A．0 B．3 C．6 D．94．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线5．曲线在点处的切线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．45° D．120°6．已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则（）A． B． C． D．7．已知下表所示数据的回归直线方程为y，则实数a的值为x23456y3711a21A．16 B．18C．20 D．228．已知向量，，其中，．若，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．9．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（）A． B． C． D．11．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次不放回地抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为()A． B． C． D．12．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设__________.14．曲线的参数方程，化成普通方程为_____________.15．双曲线的虚轴长为，其渐近线夹角为__________.16．高一（10）班有男生人，女生人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取男生的人数为__________人．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）国内某知名大学有男生14111人，女生11111人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取121人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到1.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过1.15的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：k2=n参考数据：P(1．111.151.1251.1111.1151.111k2.7163.8415.1246.6357.87911.82818．（12分）已知二阶矩阵对应的变换将点变换成，将点变换成.（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若向量，计算.19．（12分）如图几何体中，底面为正方形，平面，，且.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小.20．（12分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，求的数学期望.21．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：月份广告投入量收益他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）残差绝对值大于的数据被认为是异常数据，需要剔除：（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；（ⅱ）若广告投入量时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.22．（10分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品.（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，（i）记一等品的件数为，求的分布列；（ii）求这三件产品都不能通过检测的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据数列是等比数列得到公比，再由数列的通项公式得到结果.【详解】因为数列是等比数列，故得到进而得到，则故答案为：D.【点睛】这个题目考查了等比数列的通项的求法，是简单题.2、C【解析】解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C4把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A3而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有A3∴编号为红球和蓝球不放到同一个盒子里的种数是C423、C【解析】

分别讨论当和时带入即可得出，从而得出【详解】当时（舍弃）．当时，所以，所以选择C【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，分段函数问题需根据函数分段情况进行讨论，属于基础题．4、B【解析】方程，可化简为：，即.整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B.5、C【解析】

求导得：在点处的切线斜率即为导数值1.所以倾斜角为45°.故选C.6、C【解析】

根据切线方程计算，，再计算的导数，将2代入得到答案.【详解】函数的图像在点处的切线方程是故答案选C【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.7、B【解析】

，代入回归直线方程得，所以，则，故选择B.8、D【解析】

已知向量，，根据，得到，即，再利用基本不等式求解.【详解】已知向量，，因为，所以，即，又因为，，所以，当且仅当，，即时，取等号，所以的最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9、C【解析】

函数关于轴对称的解析式为，则它与在有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象得到.【详解】函数关于轴对称的解析式为，函数，两个函数的图象如图所示：若过点时，得，但此时两函数图象的交点在轴上，所以要保证在轴的正半轴，两函数图象有交点，则的图象向右平移均存在交点，所以，故选C.【点睛】本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量.10、B【解析】

根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立关于，，之间的关系式，求出结果.【详解】解：连接，，根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分别是椭圆和的半焦距，，即.，.即，.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题.11、B【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B，则，，所以.故选B.12、B【解析】分析：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有种方法；甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有种方法，则分配方法共有种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由反证法的定义得应假设：【详解】由反证法的定义得应假设：故答案为：【点睛】本题主要考查反证法的证明过程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14、．【解析】

用代入法或消元法可化参数方程为普通方程．【详解】在中，由得，代入得，整理得．又，∴所求普通方程为．故答案为：．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，在转化时要注意变量的取值范围有没有发生变化，如果有变化必须加上变量的范围，如本题中，如果答案是，则其为直线，如果答案是，则其为射线，图形发生了变化．15、60°．【解析】

计算出的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.【详解】由题意知，双曲线的虚轴长为，得，所以，双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的倾斜角分别为、，因此，两渐近线的夹角为，故答案为.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.16、6【解析】分析：根据分层抽样的定义直接计算即可.详解：设抽取男生的人数为，因为男生人，女生人，从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，所以，取男生的人数为，故答案为.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1.5；（2）①4111；②在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”．【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽70人，女生抽50人，故x=5,y=2，由此求得男生平均运动事件为1.5小时；（2）计算k=120(15×45-5×55)2试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为120×1400014000+10000=70故x=5,y=2，则该校男生平均每天运动时间为：0.25×2+0.75×12+1.25×23+1.75×18+2.25×10+2.75×5故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；（2）①样本中“运动达人”所占比例是20120=1②由表可知：故K2的观测值故在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验.18、（1）；（2）．【解析】分析：（1）利用阶矩阵对应的变换的算法解出，再求（2）先计算矩阵的特征向量，再计算详解：（1），则，，解得，，，，所以，所以；（2）矩阵的特征多项式为，令，解得，，从而求得对应的一个特征向量分别为，.令，求得，，所以.点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换．19、（1）见解析（2）【解析】

（1）由，，结合面面平行判定定理可证得平面平面，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接交于点，连接，利用线面垂直的判定定理可证得平面，从而可知所求角为，在中利用正弦求得结果.【详解】（1）四边形为正方形又平面平面又，平面平面平面，平面平面平面平面（2）连接交于点，连接平面，平面又四边形为正方形平面，平面即为与平面所成角且又即与平面所成角为：【点睛】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.20、【解析】

的可能值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】的可能值为，则；；.故分布列为：故.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.21、（1）应该选择模型①，理由见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）【解析】

（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。（2）（i）利用回归直线参数计算方法，分别得到，建立方程，即可。（ii）把代入回归方程，计算结果，即可。【详解】（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.（Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为的数据后，得；.；.；，所以关于的线性回归方程为：.（ⅱ）把代入回归方程得：，故预报值约为万元.【点睛】本道题考查了回归方程的计算方法，难度中等。22、（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析【解析】

（1）设随机选取一件产品，能通过检测的事件为,，事件等于事件“选取一等品都通过或者选取二等品通过检测”，由此能求出随机选取1件产品，能够通过检测的概率；（2）（i）随机变量的取值有：0，1，2，3，分别求出其概率即可．（ii）设随机选取3